Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение тригонометрических уравнений (10 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение тригонометрических уравнений (10 класс)

библиотека
материалов

Лукманова Дилара Маратовна, учитель математики высшей квалификационной категории шк. №45

План-конспект урока алгебры (10 класс) на тему: 
«Решение тригонометрических уравнений»



Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Дидактические цели урока:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по теме;

- проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по теме.

Развивающие цели урока:

- совершенствовать, развивать умения и навыки по решению тригонометрических уравнений;

- формировать способность анализировать, обобщать полученные знания;

- формировать логическое мышление.

Воспитательные цели урока:

- стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии;

- приучать к умению общаться и выслушивать других;

- развитие творческой самостоятельности и инициативы.

Задача урока: повторить общие методы решения уравнений и рассмотреть приложения этих методов к решению тригонометрических уравнений.



Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Форма урока: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Методы: конкретизация учебного материала, классификация изученного, методы взаимопроверки.





Ход урока

План:

  1. Организационный момент.

1.1. Ответить на вопросы учащихся по данной работе.

1.2. Повторить алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений:

Sin x=1 tg(x/3)=√3

Cos 2x=-1 ctg(π-π/3)=-1

    1. Устная работа: решение уравнений:

x=x-2

x=x-3

Повторить, что эти уравнения можно решить:

  1. Переходом к уравнению- следствию (с последующей проверкой полученных корней)

  2. Переходом к уравнению или системе уравнений и неравенств, равносильных исходному уравнению.

  1. Подготовка к работе на основном этапе.

Сегодня мы рассмотрим два способа оформления решения уравнения: с переходом к уравнению-следствию и переход к уравнению или системе уравнения и неравенств, равносильных данному на некотором множестве М.

  1. 1. Рассмотрим уравнение √(1-sin x)= cos x. (1)

Возведя уравнение (1) в квадрат , получаем уравнение

1-sin x=cos2x, (2)

являющееся следствием уравнения (1). Так как cos2x=1-sin2x, то уравнение (2) можно переписать в виде

sin x(1- sin x)=0. (3)

Уравнение (3) имеет две серии решений:

xk=πk , k ϵ Z, xn= π/2+ 2πn, n ϵ Z.

Так как

(1-sin xk)= 1, cos xk =(-1)k ;

(1-sin xn)= 0, cos xn =0,

то все числа xn являются решениями уравнения (1), а из чисел xk решениями уравнения (1) являются только те, для которых k= 2m, то есть xk= 2πm, m ϵ Z.

Ответ: (π/2)+ 2πn, n ϵ Z, 2πm, m ϵ Z.

2. Решим уравнение log3cos 2x= log3sin x. (4)

После потенцирования уравнения (4) и применения формулы косинуса двойного угла получаем уравнение

1-2sin2 x= sin x (5)

являющееся следствием уравнения (4). Множество всех решений уравнения (5) состоит из объединения всех решений уравнений

sin x=1/2 и sin x= -1.Все решения этих простейших тригонометрических уравнений задаются тремя сериями решений

xm=( π/6)+ 2πm, m ϵ Z, xn= (5π/6)+ 2πn, n ϵ Z, xk= (-π/2)+πk, k ϵ Z.

Проверка показывает, что все числа серий xm и xn являются решениями уравнения (4), но ни одно число серии xk не является решением уравнения (4). Следовательно, все решения уравнения (4) задаются сериями xm и xn

Ответ: (π/6)+ 2πm, m ϵ Z, (5π/6)+2πn, n ϵ Z.

  1. 1. Решим уравнение 1+ sin x=|cos x| . (6)

Обе части уравнения (6) определены и неотрицательны на множестве всех действительных x. Поэтому после возведения уравнение (6) в квадрат получаем равносильное ему уравнение

(1+sin x)2= cos2 x,

которое можно переписать в виде

2 sin x(1+sin x)= 0 (7)

Уравнение (7) имеет две серии решений

xk= πk, k ϵ Z, xn=(-π/2)+2πm, m ϵ Z.

Все эти числа, и только они, являются решениями уравнения (6), равносильного уравнению (7).

Ответ: πk, k ϵ Z, (-π/2)+2πm, m ϵ Z.

2. Решим уравнение (sin x- 1)(tg x- 1)= 0. (8)

Уравнение (8) равносильно совокупности систем

sin x-1=0,

x≠(π/2)+πk, k ϵ Z (9)

и

tg x-1=0, (10)

x ϵ R.

Уравнение системы (9) имеет серию решений xk=(π/2)+2πk, k ϵ Z , ни одно из чисел xk не удовлетворяет второму условию этой системы. Значит, система (9) не имеет решений.

Уравнение системы (10) имеет серию решений xn=(π/4)+πn, n ϵ Z , каждое из которых удовлетворяет второму условию этой системы. Следовательно, только числа xn являются решениями совокупности систем (9) и (10), а значит, и равносильного ей уравнения (8).

Ответ: (π/4)+ πn, n ϵ Z.



  1. Вспомним методы решения тригонометрических уравнений, которые мы рассматривали: метод замены переменной, метод разложения на множители, метод введения дополнительного угла.

Сопоставьте:

  1. sin 2x- cos x=0; А. Метод замены переменной

  2. sin x-+5cos x=0; Б. Метод разложения на множества

  3. sin x-+cos x=1; В. Метод однородных уравнений

  4. sin 5x- sin x=0; Г. Метод введения дополнительного

  5. 4sin2x- cos x=1; угла

  6. sin2x+ 2sin x cos x- 3 cos2 x=0.

  1. Парная самостоятельная работа

I II

1). 2sin x+√(6cos x)=0 1). √(1+sin x)= √6 sinx

2). (sin2 x+2cos x-1)√(1+2sin x)=0 2). (4cos2x-12cosx+5)√(-sinx)=0



  1. Подведение итогов урока. Выставление оценок. Домашнее задание.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Дидактические цели урока:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по теме;

- проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по теме.

Развивающие цели урока:

- совершенствовать, развивать умения и навыки по решению тригонометрических уравнений;

- формировать способность анализировать, обобщать полученные знания;

- формировать логическое мышление.

Воспитательные цели урока:

- стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии;

- приучать к умению общаться и выслушивать других;

- развитие творческой самостоятельности и инициативы.

Автор
Дата добавления 26.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров288
Номер материала 459792
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх