Лукманова Дилара
Маратовна, учитель математики высшей квалификационной категории шк. №45
План-конспект урока алгебры
(10 класс) на тему:
«Решение тригонометрических уравнений»
Тема урока:
«Решение тригонометрических уравнений»
Дидактические цели урока:
- обобщить и систематизировать знания
учащихся по теме;
- проконтролировать степень усвоения
знаний, умений и навыков по теме.
Развивающие цели урока:
- совершенствовать, развивать умения и
навыки по решению тригонометрических уравнений;
- формировать способность анализировать,
обобщать полученные знания;
- формировать логическое мышление.
Воспитательные цели урока:
- стимулировать мотивацию и интерес к
изучению тригонометрии;
- приучать к умению общаться и выслушивать
других;
- развитие творческой самостоятельности и
инициативы.
Задача урока:
повторить общие методы решения уравнений и рассмотреть приложения этих методов
к решению тригонометрических уравнений.
Тип урока:
обобщение и систематизация знаний.
Форма урока:
фронтальная, групповая, индивидуальная.
Методы:
конкретизация учебного материала, классификация изученного, методы
взаимопроверки.
Ход
урока
План:
1. Организационный
момент.
1.1. Ответить на вопросы
учащихся по данной работе.
1.2. Повторить алгоритм
решения простейших тригонометрических уравнений:
Sin x=1 tg(x/3)=√3
Cos 2x=-1 ctg(π-π/3)=-1
1.3.
Устная работа: решение уравнений:
√x=x-2
√x=x-3
Повторить, что эти
уравнения можно решить:
1) Переходом
к уравнению- следствию (с последующей проверкой полученных корней)
2) Переходом
к уравнению или системе уравнений и неравенств, равносильных исходному
уравнению.
2. Подготовка
к работе на основном этапе.
Сегодня мы рассмотрим два
способа оформления решения уравнения: с переходом к уравнению-следствию и
переход к уравнению или системе уравнения и неравенств, равносильных данному на
некотором множестве М.
I.
1. Рассмотрим уравнение √(1-sin x)=
cos x.
(1)
Возведя
уравнение (1) в квадрат , получаем уравнение
1-sin x=cos2x, (2)
являющееся
следствием уравнения (1). Так как cos2x=1-sin2x,
то уравнение (2) можно переписать в виде
sin x(1-
sin x)=0.
(3)
Уравнение (3) имеет две серии решений:
xk=πk
, k ϵ Z, xn= π/2+ 2πn,
n ϵ Z.
Так
как
√(1-sin
xk)= 1, cos xk =(-1)k ;
√(1-sin
xn)= 0, cos xn =0,
то
все
числа
xn
являются
решениями уравнения (1), а из чисел xk
решениями уравнения (1) являются только те, для которых k=
2m,
то есть xk=
2πm,
m ϵ Z.
Ответ:
(π/2)+ 2πn, n ϵ Z, 2πm, m ϵ Z.
2.
Решим уравнение log3cos
2x=
log3sin x.
(4)
После
потенцирования уравнения (4) и применения формулы косинуса двойного угла
получаем уравнение
1-2sin2
x=
sin x (5)
являющееся
следствием уравнения (4). Множество всех решений уравнения (5) состоит из
объединения всех решений уравнений
sin x=1/2
и sin x=
-1.Все решения этих простейших тригонометрических уравнений задаются тремя
сериями решений
xm=( π/6)+
2πm, m ϵ Z, xn= (5π/6)+ 2πn, n ϵ Z, xk= (-π/2)+πk, k ϵ Z.
Проверка
показывает, что все числа серий xm
и xn являются решениями уравнения (4), но ни одно число серии xk
не является решением уравнения (4). Следовательно, все решения уравнения (4)
задаются сериями xm
и xn
Ответ: (π/6)+ 2πm,
m ϵ Z,
(5π/6)+2πn, n ϵ Z.
II.
1. Решим уравнение 1+ sin x=|cos x| . (6)
Обе
части уравнения (6) определены и неотрицательны на множестве всех
действительных x. Поэтому после
возведения уравнение (6) в квадрат получаем равносильное ему уравнение
(1+sin x)2=
cos2 x,
которое
можно переписать в виде
2 sin x(1+sin x)=
0 (7)
Уравнение
(7) имеет две серии решений
xk= πk,
k ϵ Z,
xn=(-π/2)+2πm,
m ϵ Z.
Все
эти числа, и только они, являются решениями уравнения (6), равносильного
уравнению (7).
Ответ:
πk,
k ϵ Z,
(-π/2)+2πm, m ϵ Z.
2. Решим
уравнение (sin x-
1)(tg x-
1)= 0. (8)
Уравнение (8)
равносильно совокупности систем
sin x-1=0,
x≠(π/2)+πk,
k ϵ Z (9)
и
tg x-1=0,
(10)
x ϵ R.
Уравнение системы
(9) имеет серию решений xk=(π/2)+2πk,
k ϵ Z , ни одно из
чисел xk не удовлетворяет второму условию этой системы. Значит, система (9) не
имеет решений.
Уравнение системы
(10) имеет серию решений xn=(π/4)+πn,
n ϵ Z , каждое из
которых удовлетворяет второму условию этой системы. Следовательно, только числа
xn
являются решениями совокупности систем (9) и (10), а значит, и равносильного ей
уравнения (8).
Ответ: (π/4)+
πn,
n ϵ Z.
3. Вспомним
методы решения тригонометрических уравнений, которые мы рассматривали: метод
замены переменной, метод разложения на множители, метод введения
дополнительного угла.
Сопоставьте:
1. sin
2x-
cos x=0; А.
Метод замены переменной
2. sin x-+5cos x=0; Б.
Метод разложения на множества
3. sin x-+cos x=1; В.
Метод однородных уравнений
4. sin
5x-
sin x=0; Г.
Метод введения дополнительного
5. 4sin2x-
cos x=1; угла
6. sin2x+
2sin x cos x- 3 cos2 x=0.
4. Парная
самостоятельная работа
I II
1). 2sin x+√(6cos x)=0 1).
√(1+sin x)= √6 sinx
2). (sin2 x+2cos
x-1)√(1+2sin x)=0 2). (4cos2x-12cosx+5)√(-sinx)=0
5. Подведение
итогов урока. Выставление оценок. Домашнее задание.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.