Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение тригонометрических уравнений (10 класс)

Решение тригонометрических уравнений (10 класс)

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Лукманова Дилара Маратовна, учитель математики высшей квалификационной категории шк. №45

План-конспект урока алгебры (10 класс) на тему: 
«Решение тригонометрических уравнений»



Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Дидактические цели урока:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по теме;

- проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по теме.

Развивающие цели урока:

- совершенствовать, развивать умения и навыки по решению тригонометрических уравнений;

- формировать способность анализировать, обобщать полученные знания;

- формировать логическое мышление.

Воспитательные цели урока:

- стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии;

- приучать к умению общаться и выслушивать других;

- развитие творческой самостоятельности и инициативы.

Задача урока: повторить общие методы решения уравнений и рассмотреть приложения этих методов к решению тригонометрических уравнений.



Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Форма урока: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Методы: конкретизация учебного материала, классификация изученного, методы взаимопроверки.





Ход урока

План:

  1. Организационный момент.

1.1. Ответить на вопросы учащихся по данной работе.

1.2. Повторить алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений:

Sin x=1 tg(x/3)=√3

Cos 2x=-1 ctg(π-π/3)=-1

    1. Устная работа: решение уравнений:

x=x-2

x=x-3

Повторить, что эти уравнения можно решить:

  1. Переходом к уравнению- следствию (с последующей проверкой полученных корней)

  2. Переходом к уравнению или системе уравнений и неравенств, равносильных исходному уравнению.

  1. Подготовка к работе на основном этапе.

Сегодня мы рассмотрим два способа оформления решения уравнения: с переходом к уравнению-следствию и переход к уравнению или системе уравнения и неравенств, равносильных данному на некотором множестве М.

  1. 1. Рассмотрим уравнение √(1-sin x)= cos x. (1)

Возведя уравнение (1) в квадрат , получаем уравнение

1-sin x=cos2x, (2)

являющееся следствием уравнения (1). Так как cos2x=1-sin2x, то уравнение (2) можно переписать в виде

sin x(1- sin x)=0. (3)

Уравнение (3) имеет две серии решений:

xk=πk , k ϵ Z, xn= π/2+ 2πn, n ϵ Z.

Так как

(1-sin xk)= 1, cos xk =(-1)k ;

(1-sin xn)= 0, cos xn =0,

то все числа xn являются решениями уравнения (1), а из чисел xk решениями уравнения (1) являются только те, для которых k= 2m, то есть xk= 2πm, m ϵ Z.

Ответ: (π/2)+ 2πn, n ϵ Z, 2πm, m ϵ Z.

2. Решим уравнение log3cos 2x= log3sin x. (4)

После потенцирования уравнения (4) и применения формулы косинуса двойного угла получаем уравнение

1-2sin2 x= sin x (5)

являющееся следствием уравнения (4). Множество всех решений уравнения (5) состоит из объединения всех решений уравнений

sin x=1/2 и sin x= -1.Все решения этих простейших тригонометрических уравнений задаются тремя сериями решений

xm=( π/6)+ 2πm, m ϵ Z, xn= (5π/6)+ 2πn, n ϵ Z, xk= (-π/2)+πk, k ϵ Z.

Проверка показывает, что все числа серий xm и xn являются решениями уравнения (4), но ни одно число серии xk не является решением уравнения (4). Следовательно, все решения уравнения (4) задаются сериями xm и xn

Ответ: (π/6)+ 2πm, m ϵ Z, (5π/6)+2πn, n ϵ Z.

  1. 1. Решим уравнение 1+ sin x=|cos x| . (6)

Обе части уравнения (6) определены и неотрицательны на множестве всех действительных x. Поэтому после возведения уравнение (6) в квадрат получаем равносильное ему уравнение

(1+sin x)2= cos2 x,

которое можно переписать в виде

2 sin x(1+sin x)= 0 (7)

Уравнение (7) имеет две серии решений

xk= πk, k ϵ Z, xn=(-π/2)+2πm, m ϵ Z.

Все эти числа, и только они, являются решениями уравнения (6), равносильного уравнению (7).

Ответ: πk, k ϵ Z, (-π/2)+2πm, m ϵ Z.

2. Решим уравнение (sin x- 1)(tg x- 1)= 0. (8)

Уравнение (8) равносильно совокупности систем

sin x-1=0,

x≠(π/2)+πk, k ϵ Z (9)

и

tg x-1=0, (10)

x ϵ R.

Уравнение системы (9) имеет серию решений xk=(π/2)+2πk, k ϵ Z , ни одно из чисел xk не удовлетворяет второму условию этой системы. Значит, система (9) не имеет решений.

Уравнение системы (10) имеет серию решений xn=(π/4)+πn, n ϵ Z , каждое из которых удовлетворяет второму условию этой системы. Следовательно, только числа xn являются решениями совокупности систем (9) и (10), а значит, и равносильного ей уравнения (8).

Ответ: (π/4)+ πn, n ϵ Z.



  1. Вспомним методы решения тригонометрических уравнений, которые мы рассматривали: метод замены переменной, метод разложения на множители, метод введения дополнительного угла.

Сопоставьте:

  1. sin 2x- cos x=0; А. Метод замены переменной

  2. sin x-+5cos x=0; Б. Метод разложения на множества

  3. sin x-+cos x=1; В. Метод однородных уравнений

  4. sin 5x- sin x=0; Г. Метод введения дополнительного

  5. 4sin2x- cos x=1; угла

  6. sin2x+ 2sin x cos x- 3 cos2 x=0.

  1. Парная самостоятельная работа

I II

1). 2sin x+√(6cos x)=0 1). √(1+sin x)= √6 sinx

2). (sin2 x+2cos x-1)√(1+2sin x)=0 2). (4cos2x-12cosx+5)√(-sinx)=0



  1. Подведение итогов урока. Выставление оценок. Домашнее задание.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Краткое описание документа:

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Дидактические цели урока:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по теме;

- проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по теме.

Развивающие цели урока:

- совершенствовать, развивать умения и навыки по решению тригонометрических уравнений;

- формировать способность анализировать, обобщать полученные знания;

- формировать логическое мышление.

Воспитательные цели урока:

- стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии;

- приучать к умению общаться и выслушивать других;

- развитие творческой самостоятельности и инициативы.

Автор
Дата добавления 26.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров250
Номер материала 459792
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх