Совместная с учащейся творческая работа по математике "Графический способ решения уравнений"

ГУО «Средняя школа № 38 г.Гомеля»

Творческая работа

Графический способ решения уравнений

Секция: математика

Работу выполнила:
ученица 10 «Б» класса
Елезова Виктория Александровна

Руководитель:
учитель математики
Веренич Денис Вячеславович

Гомель, 2005 г.
Содержание

Введение      ……………………………………………..          3

Глава 1. Основные понятия                                                     4

1.1 Уравнение       ………………………………………          4

1.2 Функция. График функции …………………………         7

1.3 Общие методы решения уравнения      ……………         10

Глава 2. Графический способ решения уравнений…….         14

Глава 3. Практическое применение
графического способа решения уравнений          17

3.1 Сравнительное решение уравнения      ……………         17

3.2 Пример решения задания графическим способом...         21

3.3 Графическое решение неравенств        ...………….         23

Заключение  ……………………………………………...         26

Список использованной литературы …………………..         27

Введение

Работа «Графический способ решения уравнений», посвящена теоретическому обобщению и практическому применению графического метода к решению различных уравнений, в том числе и уравнений с параметром, и уравнений содержащих знак модуля.

Идея рассмотрения этого способа возникла по нескольким причинам:

1.                построение графиков основных функций (таких как y=x; y=x²; y=x³; y=; y=; y=sinx и т.д.), чаще всего не вызывает затруднений у учеников;

2.                в школе практически не уделяется должного внимания решению уравнений с параметром и уравнений содержащих знак модуля (тем более с параметром);

3.                решение стандартными методами уравнений с параметром и уравнений содержащих знак модуля, приводит к очень длинным, а, следовательно, и к длительным по времени, решениям, что недопустимо, особенно в связи с введением тестирования.

Конечно же, в данной работе рассмотрены далеко не все возможности применения графического метода решения, поэтому для себя я ставлю задачу расширить и ещё работать над адоптацией применения графического способа к решению уравнений с параметром и уравнений содержащих знак модуля, но и к решению аналогичных неравенств, а также рассмотреть возможность применения данного метода в геометрии и началах анализа. Но это уже план работы к следующему году.

Глава 1. Основные понятия.

1.1 Уравнение

Уравнение – это математическое утверждение, записываемое в виде равенства двух буквенных выражений с переменными, которое истинно при одних значениях переменных и ложно при других их значениях.

Решить уравнение – значит, найти все его корни, или доказать, что
их нет.

Корень уравнения – это такое значение переменной, при котором уравнение становится верным числовым равенством. Уравнение может иметь один, два, три и большее число корней, а так же бесконечное их множество или не иметь корней вовсе.

Уравнением с одним неизвестным х называется равенство

f(x)=g(x) 
(где f(x) и g(x) – заданные функции от переменной х), в котором требуется найти все значения х, при которых данное равенство является верным. Функция  f(x) называется левой частью, а g(x) – правой частью уравнения. В частности, может быть g(x)=с, где с – число.

Областью определения уравнения называется множество всех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл и левая, и правая части уравнения. Область определения уравнения является пересечением областей определения функций  f(x) и g(x).

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнения с параметрами задаёт множество уравнений (для всех возможных значений параметров). То есть получаем уравнение вида f(x;а)=g(x;а), где аÎR.

Например, линейное уравнение ax + b = c с неизвестным x можно рассматривать как уравнение с параметрами a, b, и c. Его решением при a ¹ 0 является x = (c - b) / a. Если a = 0, то получается “уравнение” b = c, и если действительно b = c, то корнями данного уравнения являются все действительные числа. Если же b ¹ c, при этом a = 0, то данное уравнение корней не имеет.

Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим случай в качестве примеров следующие объекты:

·        функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y — переменные; k — параметр, k ¹ 0);

·        линейная функция: y = kx + b (x и у — переменные, k и b —параметры);

·        линейное уравнение: ax + b = 0 (x — переменная; a и b —параметры);

·        уравнение первой степени: ax + b = 0 (x — переменная; a и b — параметры, a ¹ 0);

·        квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0 (x — переменная; a, b и c — параметры, a ¹ 0).

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Ответ к задаче “решить уравнение с параметрами” должен выглядеть следующим образом: уравнение при таких-то значениях параметров имеет корни …, при таких то значениях параметров — корни …, при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет.

1.2 Функция. График функции.

Постоянная величина – величина, которая в условиях данной задачи сохраняет одно и то же значение (обозначается a, b, c, …).

Переменная величина – величина, которая в условиях данной задачи может принимать различные значения из некоторого множества Х (обозначается x, y, z, …).

Функция – это закон (правило), по которому каждому значению переменной х из некоторого числового множества D ставится в соответствие единственное значение переменной y из множества Е. Обозначают так: y=f(x), xÎX, или y=y(x), xÎX.

Переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у – зависимой переменной, или функцией.

Множество D называется областью определения функции (обозначается D(f) или D(y)).

Множество Е называется областью изменения (или множеством значений) функции (обозначается Е(f) или Е(y)).

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям данной функции.

Координатной плоскостью называется плоскость, на которой определена прямоугольная (декартовая) система координат, задаваемая двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом отсчета О и одинаковым масштабом.

Точка О называется началом координат. Горизонтальная ось Ох называется осью абсцисс, вертикальная ось Оу – ось ординат.

Различают следующие виды функций: явные и неявные, сложные, обратные.

Основные способы задания функции следующие: аналитический, параметрический, графический, табличный и описательный.

Приведем примеры графиков функций, наиболее часто используемых в графическом методе решения уравнений:

1)    Линейная функция у=х (прямая)

2)    Обратная пропорциональность у= (гипербола)

3)   

Квадратичная у=х² (парабола)

Если известен график функции у=f(x), то с помощью геометрических преобразований этого графика можно построить графики функций у=f(-x), у=-f(x), у=f(x+а), у=f(x)+а, у=f(kx), у=kf(x), у=f(|x|), у=|f(x)| и их комбинации.

Перечислим элементарные геометрические преобразования графиков:

·        зеркальное отражение (осевая симметрия) относительно оси Ох или Оу;

·        преобразование центральной симметрии относительно начала координат (А(х, у)®В(-х, -у));

·        параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси Ох или Оу;

·        сжатие или растяжение графика вдоль оси Ох или Оу.

Подробно эти преобразования рассмотрены на схеме 1.

1.3 Общие методы решения уравнения

Основные методы решения рациональных уравнений:

1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле

Также используется теорема Виета: x₁ + x₂ = – b / a; x₁x₂ = c / a.

2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях, очевидно, что удобно обозначить.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований.

В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например

Уравнение (x + a)⁴ + (x + b)⁴ = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t – (a + b) / 2.

Симметрическое уравнение (возвратное) a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a₁x + a₀ = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.

Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если a + b = c + d и т.д.

4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + … + a₁x + a₀ = 0 ищем в виде p / q, где p — делитель a₀, q — делитель a_n, p и q взаимно просты, pÎZ, qÎN.

5) “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов.

Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются лишь знаком: если |a| = |b|, то либо a = b, либо a = -b.

В некоторых случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке.

При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что

|f(x)|=

В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много решений.

Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак модуля под знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.

Выделим общие методы решения уравнений.

Общие методы решения уравнений:

1.     Использование области определения уравнения.

В начале решения уравнения полезно найти область определения уравнения. Если она состоит из нескольких точек,  то остается только проверить, какие из них удовлетворяют уравнению. Если область определения  - пустое множество, то уравнение не имеет решений. Если же область определения более сложная или ее вычисление связано с трудностями, используется другой метод.

2. Разложение на множители.

Если в уравнении  функцию   можно разложить на множители, т.е. представить ее в виде произведения нескольких других функций, ,то решение исходного уравнения для  сводится к решению совокупности уравнений:

В частности,

3.     Замена переменной.

Если уравнение можно представить в виде, то заменой  решение исходного уравнения сводится к нахождению корней  уравнения  и последующему решению уравнения  для каждого полученного корня.

4.     Использование ограниченности функций.

Некоторые уравнения таковы, что при любом значении  из его области определения левая и правая части уравнения удовлетворяют условиям  и  соответственно, где а – некоторое число. Тогда решение уравнения сводится к нахождению значений , для которых одновременно и .

Если же хотя бы одно из неравенств – строгое, то исходное уравнение не имеет решений.

5.     Использование монотонности функций.

Если на некотором промежутке  функции  и , входящие в уравнение , таковы, чтонепрерывна и возрастает, а непрерывна и убывает, то равенство возможно только при единственном значении , которое и является корнем данного уравнения на рассматриваемом промежутке. Иногда этот корень можно найти подбором.

6.      Принцип суперпозиции.

Иногда корень уравнения можно найти, заметив, что функция, находящаяся в одной из его частей, является суперпозицией нескольких более простых функций.

В частности, если  – корень уравнения , то  является также корнем уравнений ,  и т.д.

7.  Графический метод.

Об этом методе поговорим подробнее.

Глава 2. Графический способ решения уравнений.

Уравнения можно решать графически. Для этого нужно начертить графики Нам уже известны графики следующих уравнений:

ax + by + c = 0 — прямая линия.

xy = k — гипербола.

(x - a)² + (y - b)² = R² — уравнение окружности с центром A(a, b) и радиусом R.

К этому виду приводятся с помощью выделения полных квадратов уравнения вида:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0.

ax² + bx + c = 0 — парабола y = ax² c вершиной в точке A(m, n), где
m = -b / 2a, а  n = (4ac - b²) / 4a.

Уравнение с одной переменой можно записать так: f(x) = g(x), где
f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.

Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и
у = g(x).

Решение уравнения есть множество значений переменой х, при которых графики функций у=g(x) и у=f(x) пересекаются. Это показано на рисунках
1 и 2.

Решение уравнения с двумя переменными  f(x,y)=0 есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Эти примеры в полной мере характеризуют основные принципы графического метода решения уравнений.

Но все это лишь теоретические примеры. Попробуем дать полное описание этого метода для уравнения с одной переменной.

Пусть дано уравнение с одной переменной, записанное в виде:
 f(x) = g(x),

где f(x) и g(x) – некоторые функции (причем возможно g(x)=с –некоторое число). Тогда для решения уравнения графическим методом нам необходимо выполнить один из двух алгоритмов:

алгоритм 1

1.1                   Представить это уравнение с помощью равносильных преобразований в виде f₁(x) = g₁(x) , где f₁(x) и g₁(x) ¹ с – функции, чьи графики строятся без затруднений.

1.2                   Построить эскизы графиков функций f₁(x) и g₁(x)(определяя основные точки – пересечение с осями координат (по возможности), координаты вершины параболы и т.д.)

1.3                   Найти точки пересечения этих графиков, которые и будут являться решением уравнения.

алгоритм 2

2.1     Представить уравнение с помощью равносильных преобразований в виде:   f₁(x) = с.

2.2     Нарисовать эскиз графика функции  f₁(x).

2.3     Перенести ось Ох на прямую у = с.

2.4     Найти точки пересечения с новой осью Ох’.

Замечание: При построении графиков функций, в случае необходимости, нужно пользоваться разделом 1.2 и схемой 1.

С помощью графического метода решения не всегда, к сожалению, можно определить точное значение корня (корней) уравнения, но он очень помогает при необходимости ответить на следующие вопросы:

А) существуют ли у данного уравнения корни и сколько их;

Б) на какие множества следует разбить область определения уравнения, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения.

Серьезным и, в последнее время, часто использующимся вопросом при решении уравнений с параметром стали задачи, в которых спрашивается, сколько корней в зависимости от а имеет уравнение на некотором
промежутке?

Не меньшую проблему составляют и уравнения содержащие знак модуля, тем более, когда в таких уравнениях так же присутствует параметр.

При решении таких уравнений оказывается (в подавляющем большинстве) графический способ решения уравнений наиболее оптимальным, за счет скорости и краткости решения.

Так, например, при решении уравнений с модулем практически не приходится рассматривать все получаемые промежутки, поскольку график (или графики) полностью демонстрирует нам представление о поведении и значениях той или иной функции, содержащей знак модуля. После построения графика остается только поразмышлять о том, где может располагаться параметр или решение уравнения.

Глава 3. Практическое применение
графического способа решения уравнений

3.1 Сравнительное решение уравнения

Найти все значения а, при которых уравнение : a|x| - |x – 2| = 0 имеет единственное решение и найти эти решения.

1 способ:

a|x|-|x-2|=0;

преобразуем это уравнение

a|x|=|x-2|;

очевидно, по свойствам модуля, что

a³ 0;

по определению модуля

|x|=

|x-2|=

следовательно числовая прямая разбивается на 3 промежутка:

(-¥;0),[0;2),[2;+¥)

тогда, исходя из свойств модуля наше уравнение принимает вид:

a|x|-|x-2|=

решим это уравнение на каждом из промежутков.

1)   xÎ[2;+¥)

ax-(x-2)=0;

ax-x+2=0;

x(a-1)=-2;

x=;

найдем промежутки изменения параметра а, при которых уравнение имеет корни на данном промежутке:

³ 2;

-2³ 0;

-2³ 0;

³ 0

£ 0

aÎ[0; 1).

Рассмотрим второй промежуток:

2) xÎ[0;2)

ax-(-x+2)=0;

ax+x-2=0;

x(a+1)=2

x=

найдем промежутки изменения параметра а, при которых уравнение имеет корни на данном промежутке:

0£<2;

0£<1;

aÎ(-¥;-1)È(0;+¥).

Последний промежуток:

3) xÎ(-¥;0)

-ax-(-x+2)=0;

-ax+x-2=0;

x(-a+1)=2;

x=;

найдем промежутки изменения параметра а, при которых уравнение имеет корни на данном промежутке:

<0;

-a+1<0;

-a<-1;

a>1

aÎ(1;+¥).

Выпишем все а, которые были получены в процессе решения уравнения:

a³ 0;

1) aÎ[0;1);

2) aÎ(-¥;-1)È(0;+¥);

3) aÎ(1;+¥).

Найдем те значения параметра, которые встречаются только один раз во всем решении – это  a=0 и a=1.

Найдем корни уравнения, соответствующие полученным значениям параметра:

При a=0

0|x|-|x-2|=0;

|x-2|=0;

x=2.

При a=1

|x|-|x-2|=0;

x=2:(1+1);

x=1.

Ответ: при a=0, x=2, при  a=1, x=1.

2 способ (графический)

a|x|-|x-2|=0;

преобразуем это уравнение

a|x|=|x-2|;

очевидно, по свойствам модуля, что a³ 0;

Построим графики функций f(x)=|x| и g(x)=|x-2|.

Очевидно, что соответствующие части графиков параллельны только в случае, когда угловые коэффициенты равны (т.е. а=1).

По графику легко заметить, что графики функций af(x) и g(x) будут иметь только одну общую точку в двух случаях: при а=1 и при а=0 (прямая совпадающая с осью Ох). В данных условиях получим точки пересечения при х=1 или х=2 соответственно. Проверим. Выпишем все а, которые были получены в процессе решения уравнения:

a³ 0;

1) aÎ[0;1);

2) aÎ(-¥;-1)È(0;+¥);

3) aÎ(1;+¥).

Т.е. по количеству совпадений (решений) числовую прямую можно разбить на несколько промежутков:

1) a< 0          - нет корней;

2) a=0           - 1 корень;

3) aÎ(0;1)     - 2 корня;

4) a=1           - 1 корень;

5) aÎ(1;+¥)  - 2 корня.

Ответ: при a=0, x=2, при  a=1, x=1.

3.2 Пример решения задания графическим способом

Пример 1. Сколько корней, в зависимости от а может иметь уравнение:
|x²-5x+6|=a.

Решение: По свойствам модуля получаем, что при a < 0 уравнение корней не имеет.

Определим функцию: f(x)=|x²-5x+6|

Построение графика функции начнем с графика функции :

f₁(x)=x²-5x+6 ® f(x)

Для более точных построений найдем точки пересечения f₁(x) с осью Ох. Решим уравнение f₁(x)=0;

x²-5x+6=0

По теореме Виета получаем: x₁=2;  x₂=3.

Найдем координаты вершины параболы f₁(x):

x=;  x=2,5; f(2,5)=-0,25.

Строим график f₁(x) и преобразовываем его в график f(x).

По полученному графику f(x) определяем количество корней уравнения в зависимости от а:

a < 0 – нет корней;

a=0 – 2 корня;

a > 0,25 – 2 корня;

a = 0,25 – 3 корня;

aÎ(0;0,25) – 4 корня.

Ответ: при  a < 0 – нет корней;

a=0 – 2 корня;

a > 0,25 – 2 корня;

a = 0,25 – 3 корня;

aÎ(0;0,25) – 4 корня.

3.3 Графическое решение неравенств.

Неравенства с одной или двумя переменными можно решать графически.

Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) > g(x), где
f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.

Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и
у = g(x).

Решение неравенства есть множество значений переменой х, при которых график функций у=g(x), так как f(x)>g(x). Это показано на рисунках.

Решение неравенства с двумя переменными f(x,y)>0 есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Рассмотрим на примерах решение некоторых неравенств с двумя переменными.

Пример 1. Решить графически неравенство

x + у > 0.

Решение. Запишем неравенство в виде у> -х. Построим прямую у= -х. Координаты точек плоскости, которые лежат выше этой прямой, есть решение неравенства.

Пример 2. Решить графически неравенство

х² – у > 0.

Решение. Запишем неравенство в виде у < x² .

Построим кривую у = х² (парабола) (рисунок).

Решение неравенства есть координаты точек плоскости, которые лежат ниже построенной параболы.

При решении систем неравенств с двумя переменными находят пересечение областей решений этих неравенств.

Пример 3.Решить графически систему неравенств

                   

Решение. Решение первого неравенства системы есть координаты точек плоскости (рисунок), которые лежат вне окружности х²+у²=4; решение второго неравенства есть координаты точек верхней полуплоскости; решение третьего неравенства есть координаты точек правой полуплоскости.

Решением системы являются координаты точек, которые лежат в заштрихованной области.

Заключение

Пусть дано уравнение с одной переменной, записанное в виде:
 f(x) = g(x),

где f(x) и g(x) – некоторые функции (причем возможно g(x)=с –некоторое число). Тогда для решения уравнения графическим методом нам необходимо выполнить один из двух алгоритмов:

алгоритм 1

1.1                   Представить это уравнение с помощью равносильных преобразований в виде f₁(x) = g₁(x) , где f₁(x) и g₁(x) ¹ с – функции, чьи графики строятся без затруднений.

1.2                   Построить эскизы графиков функций f₁(x) и g₁(x)(определяя основные точки – пересечение с осями координат (по возможности), координаты вершины параболы и т.д.)

1.3                   Найти точки пересечения этих графиков, которые и будут являться решением уравнения.

алгоритм 2

2.1     Представить уравнение с помощью равносильных преобразований в виде:   f₁(x) = с.

2.2     Нарисовать эскиз графика функции  f₁(x).

2.3     Перенести ось Ох на прямую у = с.

2.4     Найти точки пересечения с новой осью Ох’.

С помощью графического метода решения не всегда, к сожалению, можно определить точное значение корня (корней) уравнения, но он очень помогает при необходимости ответить на следующие вопросы:

А) существуют ли у данного уравнения корни и сколько их;

Б) на какие множества следует разбить область определения уравнения, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения.

Список использованной литературы

1.           Алгебра и начала анализа. Издание второе, переработанное и дополненное. А. Г. Мордкович. Москва, изд. “Высшая школа”, 1987.

2.           Алгебра. Пособие для самообразования. С. М. Никольский. Москва, изд. “Наука”, 1985.

3.           Алгебра. Справочник школьника. В.М. Стрельченя. Минск, изд. «УниверсалПресс», 2004.

4.           Алгебраический тренажёр. А. Г. Мерзляк. Москва - Харьков, изд. “Илекса”, изд. “Гимназия”, 1998.

5.           Готовимся к экзамену по математике. Д. Т. Письменный. Москва, изд. “Айрис”, 1996.

6.           Задачи по математике для поступающих во ВТУЗы. Р. Б. Райхмист. Москва, изд. “Высшая школа”, 1994.

7.           Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Вавилов В. В., Мельников И. И. Москва, изд. “Наука”, 1987.

8.           Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Москва, изд. “Айрис”, 1997.

9.           Математика. Сборник тестов. Н.А. Микулик, В.М. Климович, В.И. Юринок. Минск, изд. «ТетраСистемс», 2005.

10.       Справочник по методам решения задач по математике. А. Г. Цыпкин. Москва, изд. “Наука”, 1989.

11.       Тысяча и один пример. Равенства и неравенства. А. М. Назаренко, Л. Д. Назаренко. Сумы, изд. “Слобожанщина”, 1994.

Краткое описание документа:

Работа выполнена учащейся 10 класса под моим руководством, для городского конкурса "Гаазовские чтения" в секции "Математика"

Работа «Графический способ решения уравнений», посвящена теоретическому обобщению и практическому применению графического метода к решению различных уравнений, в том числе и уравнений с параметром, и уравнений содержащих знак модуля.