Геометрия
в жизни и практической деятельности
Учителю математики следует шире
использовать на уроках задачи, возникающие в практической деятельности человека
и показывающие необходимость математических знаний для людей самых разных
профессий.
Я привожу задачи с несложной и
совершенно реальной фабулой, требующие для своего решения самых различных идей
и методов школьной геометрии.
Построение
треугольника
З а д а ч а 1. Для
определения по карте места нахождения S судна с помощью радиопеленгатора определяют
углы SAB и SBA, где А и В береговые радиомаяки, изображённые на карте. Ту же
задачу решают с помощью радиолокатора, определяя расстояние от S до А и до В.
как найти на карте месторасположение судна по данным: а) радиопеленгатора, б)
радиолокатора?
Р е ш е н и е сводится
к построению треугольника:
а) по стороне и двум углам,
б) по трём сторонам.
Сумма углов
треугольника
З а д а ч а 2. Для
измерения величины угла между наклонной и горизонтальной прямыми на местности
используют специальный прибор – эклиметр, принцип действия которого ясен из
рис. 1 (ОР – нить с грузиком, отвес). Докажите, что нить ОР показывает на шкале
величину искомого угла.
Рис.1
Рис.2
Р е ш е н и е. Проведём
прямую ОВ, перпендикулярную прямой OS.
Так как угол OPS прямой, то суммы
величин углов PSO и SOP, POB и SOP равны. Отсюда следует, что величины углов
POB и PSO равны.
Теорема Пифагора
З а д а ч а 3. Телевизионные
радиосигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны.
При каком наибольшем расстоянии s от определяющей антенны высоты H можно
принять телепередачу с помощью приёмной антенны высоты h? Определите, при каком
максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны в 20 м с
Останкинской телебашни (её высота 538 м).
Р е ш е н и е. Вершина В
принимающей антенны (рис.2) за счёт шаровой поверхности Земли будет в крайнем
случае ещё видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат
на касательной к земной поверхности. В этом случае имеем
| АС |2
= | ОА |2 – | ОС |2 = Н (2R + Н),
где R – радиус Земли. Так как Н
очень мало по сравнению с 2R, то полагаем, что 2R + Н 2R, а поэтому | АС | .
Полагая в этой формуле | АС | 3,6 • 103
• , при R
6,4 • 10
Определив таким же образом | ВС |,
найдём | АВ |. Увеличив полученную величину на 15% получаем искомую формулу для
s (в метрах): s 4,1 • 103 ( + ), которая и приводится в
справочниках. Из неё теперь нетрудно получить ответ на второй вопрос задачи.
Длина окружности
З а д а ч а 4. При
правильном (без пробуксовки) повороте колёса экипажа должны катиться по дугам
концентрических окружностей. Возможно ли это при одинаковой линейной скорости
вращения ободов колёс? Выясните, как эта проблема решена технически в
автомобиле и вагоне поезда.
Р е ш е н и е. Пусть
точки А и А1 (рис. 3) соответствуют началу поворота, а точки В и В1 – его
окончанию. Тогда за одно и то же время обод одного колеса пробегает дугу АВ, а
другого – дугу А1В1. Из формулы длины дуги окружности замечаем, что эти дуги
разной длины. Значит, ободы колёс должны вращаться с разной линейной скоростью.
В автомобиле нужный эффект
достигается за счёт того, что каждое колесо (в том числе и ведущие) имеет свою
ось, и потому они могут вращаться даже с различными угловыми скоростями. В
вагоне поезда соответствующие пары колёс сидят на одной оси и вращаются с
одинаковой угловой скоростью. Необходимый эффект достигается за счёт конической
поверхности обода колеса (рис. 4,а). Колёса на повороте как бы меняют свой
диаметр: одно увеличивается, а другое уменьшается (рис.4,б)
Рис. 3
Рис. 4
З а д а ч а 5. Впервые
длину радиуса Земли нашёл древнегреческий учёный Эратосфен. Эратосфен узнал:
когда в городе А солнце находится в зените, в городе В, находящемся с А на
одном меридиане, солнечные лучи с отвесной прямой угол величины В
= 7о
12' (рис. 5). Оценив по времени движения каравана расстояние от А до В (800
км), он вычислил радиус Земли. Какое значение у него получилось?
Р е ш е н и е. Так как
прямые SА и SВ (лучи солнца) параллельны, то величины углов АОВ и SВР равны, а
потому из формулы для длины дуги окружности находим: (км)
Рис. 5
З а д а ч а 6. Известно,
что пучок света от фар расходится под углом = 2о к направлению
движения, а на дороге проектируемой категории видимость должна быть не менее s
метров. Какой радиус закругления допустим на такой дороге?
Р е ш е н и е. Пусть
автомобиль находится в точке А (рис. 6) и фары освещают дугу АВ длины l.
Так как направленные движения совпадают с касательной к траектории, то сумма
углов СОА и САО равны сумме углов МАС и САО. Отсюда следует, что величина угла
АОВ равна 4о. Так как в нашем случае должно выполняться неравенство l
s, то из
формулы для длины дуги окружности получаем , или R > 14, 3 · s.
Площадь треугольника
З а д а ч а 7. В
землеустроительной практике иногда бывает необходимо ломаную границу АВС (рис.
7) двух полей заменить отрезком так, чтобы площади полей не изменились. Как это
сделать?
Рис. 6
Рис. 7
Р е ш е н и е. Через
точку В проведем прямую, параллельную прямой АС. Она пересечет границу массива
в некоторой точке D. Покажем, что отрезок АD и может служить искомой границей.
После спрямления границы поля как
бы поменялись треугольниками АОВ и DOC. Требуется доказать, что эти
треугольники равновелики. Но это сразу следует из равновеликости треугольников
АВС и АDС.
Площади
многоугольников
З а д а ч а 8. В
землеустроительной практике нужно разделить участок треугольной формы на три
равновеликих трапеции, так как такая форма удобнее для механизированной
обработки. Как это сделать?
Р е ш е н и е . Через
точку О пересечения медиан треугольника АВС (рис. 8) проведем прямые,
параллельные сторонам. Получим разбиение треугольника на три трапеции ОDAE,
ОЕВF, ОFСD. При этом
SODAE = SODAE + SOF1E
SOEBF = SCEBD1 + SOD1F
Отрезок DD1,
параллельный стороне АВ, делиться медианой СС1 пополам. Поэтому
площади параллелограммов ОDAF1 и OEBD1 равны.
Треугольники ОF1E и ОD1F конгруэнтны по стороне и двум
прилежащим углам. Значит, их площади тоже равны. Поэтому трапеции ODAE и OEBF
равновелики. Аналогично устанавливается равенство площадей трапеции ОFCD и
ODAE.
Рис. 8
Рис. 9
Объем призмы
З а д а ч а 9. При одном
из способов защиты почв от смыва на склонах штампуют лунки в форме
прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (сторона квадрата 50
см.) и высотой 10см. Определите, сколько литров воды может собраться в такой
лунке на склоне с углом наклона в 10о, если:
а) одна из сторон основания лунки
горизонтальна,
б) одна из диагоналей основания
лунки горизонтальна.
Р е ш е н и е.
а) Из рис. 9 видно, что | BL|= 50
tg 10о < 10. Поэтому в момент наибольшего наполнения лунки слой
воды представляет собой призму высоты 50 см, основанием которой является
трапеция Аа1В1L. Поэтому объем воды
V= 25 · (|AA1|+|LB1|)
· 50 = 500 · 25 (2 – 5 tg 10о) 14 (л).
б) Так как одна из диагоналей
основания параллелепипеда горизонтальна, то перпендикулярная ей диагональ АС
(рис.10) расположена по направлению склона и образует с плоскостью воды угол
в10о.
Рис. 10
Поэтому |А1L|=10ctg 10о
56,7.
Сравнивая с длиной диагонали |А1С1| = 50 70,7, заключаем, что
вода не покрывает полностью основание лунки.
Определив положение точки L,
построим (рис.11) сечение параллелепипеда плоскостью поверхности воды.
Рис. 11
Для этого достаточно провести через
L прямую, параллельную горизонтальной диагонали В1D1, и
продолжить стороны А1В1 и А1D1.
Объем воды получим, если вычтем из
объема пирамиды АА1МN объема конгруэнтных пирамид ВB1МЕ и
DD1NF. Основание пирамиды АА?МN является равнобедренный
прямоугольный треугольник с высотой А1L, основание которого |МN| = 2
|А1L|. Поэтому VAA1MN = | AA1| • | A1L|І 10,7 (л).
Основание пирамиды ВВ1МЕ
– равнобедренный прямоугольный треугольник, высота которого равна |О1L|=|A1L|
- |A1O1| 24,4. Высота пирамиды равна |О1Р| (см.
рис. 11), а |О1Р| = |АА1| - |РО| 3,8. (рис.10). Отсюда VBB1ME
= | P1O |
• | O1L|2 = 0,6 (л).
Значит, объем воды в лунке равен
9,5 л. Сравнение вариантов а) и б) показывает, что первый способ штампования
лунок целесообразнее.
Объем шара
З а д а ч а 10. При защите
почвы отводной эрозии на склонах иногда делают лунки в форме полушара диаметра
d. Сколько воды может накопится в такой лунке на склоне с углом наклона ?
Рис. 12
Р е ш е н и е. Объем
воды равен объему (рис.12) шарового сегмента:
V = H2
(d – H),
где Н – высота сегмента. Так как
расстояние от центра лунки до поверхности воды
| OP | = , то Н =
Отсюда находим
Несколько задач
практического характера
В курсе геометрии учащиеся
знакомятся с формами геометрических тел и формулами для вычисления их
поверхностей и объемов. Однако часто учащиеся чувствуют себя совершенно
беспомощными при решении задач, где геометрический факт является не главным, а
только вспомогательным для ответа на чисто производственный вопрос. Затрудняют
их также задачи на комбинации геометрических тел или, такие в которых элементам
геометрических фигур и самим фигурам даются не школьные названия, а иные,
принятые в технике. Таким задачам желательно уделять более серьезное внимание,
подчеркивая каждый раз то, что они очень часто встречаются в производстве: в
токарном, слесарном, столярном деле и т.д.
Приведем несколько таких задач.
1. Воронка имеет форму усеченного
конуса, у которого диаметры оснований 600 и 300 мм, а высота 500 мм. Сколько
жести пойдет на ее изготовление, если на припуск добавляется 5% площади
поверхности воронки?
2. Паровой котел (рис.1) имеет
длину 8000 мм и внешний диаметр 4000 мм. Какое количество листов стали марки
Ст3 КП необходимо для его изготовления, если известно, что лист стали такой
марки имеет размеры 6 х 1,5 м?
Внутри котла проходят четыре
жаровые трубы диаметром 400 мм. Вычислите их общий объем.
Рис. 1
3. Из деталей, имеющих формы
правильной треугольной и четырехугольной призм, необходимо изготовить цилиндры
наибольшего объема. Какой процент материала пойдет в отходы в каждом случае?
4. Для придания детали формы
“фланец” определяют угол среза для соответствующей установки резца. По данным на
рис. 2 найдите ?
Рис. 2
5. Для правильной обработки детали
формы “клин” на токарном станке необходимо рассчитать угол конуса , т.е. величину
угла АОВ на рис. 3. Вычислите по данным размерам.
Рис. 3
6. На рис. 4 показан ящик для
упаковки арматуры и даны его размеры (в мм). Определите объем ящика и
количество материала, необходимого для его изготовления. Можно ли изготовить
ящик такого же объема, на который пойдет меньше материала того же качества?
Рис. 4
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.