Статья и презентация по алгебре 10 на тему "Решение задач с параметром методом областей"

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА ОБЛАСТЕЙ при РЕШЕНИИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ И МОДУЛЕМ НА ЗАНЯТИЯХ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА И.А.Пелина, учитель математики МОУ «Средняя общеобразовательная школа     города Шумихи

Профильное обучение позволяет за счёт изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся. Одним из таких изменений является введение в учебный процесс элективных занятий, в соответствии с профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования старшеклассниками. В профильных физмат классах нашей школы, ребята изучают такие курсы, как: <<Решение текстовых задач>>, <<Задачи с параметром и модулем>>, <<Решение конкурсных уравнений и неравенств>> и другие.

Тема решения задач с параметром и модулем актуальна всегда в рамках изучения математики в школе, но в программах по математике (в том числе и в профильных классах) недостаточно времени уделяется изучению этой темы. И если задачи с модулем ребята решают более или менее успешно, то задачи с параметром вызывают у детей немало трудностей, а для успешной сдачи экзамена умение решать задачи с параметром необходимо. Поэтому появилась необходимость изучения курса <<Задачи с параметром и модулем>>, задачами которого ставятся: сформировать у обучающихся представления о задачах с параметром и модулем как задачах исследовательского содержания; научить учащихся применять аналитические методы при решении таких задач; выполнять изображения на плоскости и уметь использовать их в решении задач,

Использование метода областей помогает обучающимся наглядно <<увидеть>> решение уравнения или неравенства на координатной плоскости.

Тема («Графическое решение неравенств и их систем является подготовительной для обучения ребят решать задачи методом областей. Приведу пример применения алгоритма отыскания решения неравенства с двумя переменными.

Решить неравенство f(x,y)>0, значит найти множество всех значений переменных, при которых неравенство истинно. Если неравенство содержит только две переменные, то множество его решений это множество упорядоченных пар чисел, каждая пара геометрически изображается точкой на координатной плоскости, множество всех решений неравенства с двумя переменными изображается некоторой областью на координатной плоскости.

Для изображения множества решений неравенства f(x,y)>O на координатной плоскости поступают так:

1.     Строят график уравнения f(x,y)=(), линия разбивает плоскость на несколько областей.

2.     Проверяют выполнимость неравенства f(x,y)>0 для произвольной точки (х,у) каждой области

З. Если неравенство выполняется в этой точке, то оно выполняется и во всей рассматриваемой области.

4. Если неравенство нестрогое, то множество точек линии f(x,y)=O (границу области), включают во множество решений, изображая её сплошной линией; если неравенство строгое, то множество точек линии не включают во множество решений и изображают пунктиром.

Пример. Изобразите на координатной плоскости множества решений неравенства. а) Зу — 2х > 6 ; б) у 2х ² +2х; в) х² — 4х + у + бу -- 12 д о .

1.    Пунктирной линией строим график уравнения Зу — 2х 6.

2.    Пусть А (0;3) контрольная точка, тогда  верно, значит решением является верхняя полуплоскрсть относительно прямой. З. Для каждой точки (х;у) выполняется неравенство Зу — 2х > 6.

Задание 1. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенств. (Работа в парах.) а) у х +3, б) у <x-4, в) (х-6)² + (у-5)² д 4, г) у

      + х² -3х>0, д) у              е) у>(х-1)

Решением системы неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющих каждому неравенству системы. Множество решений системы на координатной плоскости это пересечение множеств решений всех неравенств, входящих в систему.

Пример 2. Изобразить множество решений системы неравенств на координатной плоскости (коллективное выполнение задания).

а) 6)  в)

Задание 2, Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств, (Ученики выполняют эту работу в парах, затем представляют свои результаты классу.)

а) е)

Задание З. Изобразите на координатной плоскости области определения функций.

                                                  1                   ²                                               1

+ lg(y-x); в) Z=

После выполнения таких тренировочных заданий переходим к применению метода областей к решению неравенств с параметром и модулем,

Реализацию этого метода можно сформулировать в виде алгоритмического предписания,

1.     Найдите область определения неизвестной величины (переменной).

2.     Выражения, стоящие под модулем приравняйте к нулю и решите все полученные уравнения

З. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям из пункта 2.

4.     Раскройте модули в исходном выражении и рассмотрите все случаи его новой записи, которая получилась после тождественных преобразований. Для каждого нового уравнения и неравенства постройте его графический образ. Объедините все построенные графики на одном рисунке.

5.     Установите по рисунку из пункта 4 область изменения, как рассматриваемой величины, так и параметра,

6.     По рисунку из пункта 4 найдите контрольные значения параметра.

7.     Запишите ответ.

Пример3. Решите неравенство х ² -4х - 2lx -а + а +2 О .

1.     Область допустимых значений — множество действительных чисел

2.     Приравниваем выражения, стоящие под модулем к нулю. х-а=0, а=х.

3.     Строим х=а.

3.1.       Рассмотрим х-а2 0, х ² — 4х —2(х — а) + а +22 0;

                                                                                                                                                                                                                                                                                          2                                    2

Строим параболу а

вершина (3; 2—), ветви направлены вниз.

3.2.Выбираем контрольную точку (3; 1), и подставляем её координаты в

                                    системузначит                                закрашиваем          часть

(неверно),

полуплоскости ниже прямой х=а, с внешней стороны параболы.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Строим а ' х ² —2х+2. параболу а = х ² —2х + 2, вершина (1; 1), ветви направлены вверх.

0 < 1,верно,

3,4.Выбираем контрольную точку (0; 1),       значит 1 ' 0 ² —2,0+ 2,верно, закрашиваем часть полуплоскости выше прямой х=а, с внешней стороны параболы.

4.     Выбираем контрольные значения на оси ОА, проводим прямые через точки (О;ап), перпендикулярные оси и смотрим какие линии будет пересекать прямая, такие корни будет иметь уравнение, а для неравенства эти значения будут границами промежутков и записываем ответ.

4.1.       ае (— оо;1], две точки пересечения, значит два корня уравнения

                                     2                           2

 7-За,

4.2 ае (1;2], меньший корень уравнения а = х ² -2х +2, и больший корень

                                                                                 2                           2

уравнения а —

а = х ² -2х+2,  а-1 , меньший - х = 1

7—3а, больший х = 3+ 7—3а .

4.3 а е 2;2— , меньший корень уравнения, а = х ² -2х+2, то есть х

    оба корня уравнения, а —                   , то есть

3

       4.4 а = 2— , оба корня уравнения а = х 2х+2, то есть                   а— 1 , и один

22

    корень уравнения а —     + 2х —   х=З .

4.5 а Е  , оба корня уравнения а

Таким образом, ответ запишется в следующем виде:

1)                                                      —оо;З—

2)                                                      а Е               —оо;1— а

              З) а е 2;24), хе —оо;1—                                                                 7 -За;+оо

                         4) а Е 2—;+оо , х Е —oo;l— а                                  а —1;+0 .

После решения более сложных заданий проводится семинарское занятие по данной теме и самостоятельная работа. Опыт работы показывает, что обучающиеся справляются с заданиями хорошо (курс ведётся уже четвёртый раз), однако на ЕГЭ решение задач с параметрами всё-таки западает. Используемая литература.

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-12 классов вечерней школы под ред. Глейзера, стр,357.

В.С.Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, стр. 143, 122,123.

Метод областей — ещё одна грань реализации технологии УДЕ. Математика в школе