Статья на тему 3. «Некоторые вопросы технологии обучения теме «Тела вращения» и решению задач на вычисление объемов круглых тел»

Некоторые вопросы технологии обучения теме «тела вращения» и решению задач на вычисление объемов круглых тел

Аннотация: 

В статье  затрагиваются некоторые вопросы технологии обучения решению задач по теме «Тела вращения» в курсе стереометрии, геометрии, в рамках элективного курса. Приведены темы элективного курса и рассмотрена технология обучения с помощью ключевых задач. Выделены основные моменты одной из тем и рассмотрены способы доступного изложения задачи для учащихся с учетом уровневой дифференциации.    

Ключевые слова: шар, круглые тела, тела вращения, уровневая дифференциация, технология, методика, ключевые задачи, элективный курс.

При изучении в старших классах темы о телах вращения и в процессе обучения решению задач на вычисление объемов круглых тел, как правило, ограничивается изложением основных свойств, которые применяются к решению лишь некоторых, наиболее простых задач. Вместе с тем, изучение тел вращения представляет гораздо больший интерес с точки зрения нестандартных умений и навыков, приобретаемых учащимися, а также опыта решения широкого круга задач. Многообразие видов задач на вычисление объемов тел вращения позволяет полноценно учитывать не только уровневую дифференциацию учащихся, но и предложить интересный элективный курс для «продвинутых» учащихся.

Подробное изучение данной темы представляется возможным в рамках элективного курса «Задачи повышенной трудности по теме «Тела вращения». Представляется целесообразным проведение занятий в первой половине 11-го года обучения, после того, как в конце десятого года было завершено изучение основных геометрических тел разделов планиметрии.

Предлагается элективный курс из 8 занятий в следующем виде:

№ занятия	Тема
1	Повторение материала, изученного в 10-м классе. Основные формулы, определения и свойства тел вращения. Зависимости между основными характерными параметрами круглых тел. Простейшие, типовые задачи.
2	Задачи на вписанные и описанные тела вращения и на комбинации многогранников, круглых тел и на вычисление их объемов.
3	Метод вспомогательного объема при решении стереометрических задач с правильными многогранниками и телами вращения.
4	Стереометрические задачи, предусматривающие использование методов начал анализа применительно к вычислению объемов тел вращения.
5	Задачи на сечения, их комбинации и вычисление объемов усеченных фигур, вписанных и описанных тел вращения.
6	Применение декартовых координат и векторов при решении геометрических задач по теме «Тела вращения».
7	Зачетное занятие. Контрольная в письменной форме.
8	Завершающее занятие, обобщение изученного материала.

Представляется наиболее интересной для данного элективного курса «Задачи повышенной трудности по теме «Тела вращения» технология обучения математике с помощью ключевых задач.

Цель технологии: развитие индивидуальных способностей учащихся с помощью ключевых задач, которые формируются применительно к каждой из изучаемых тем в рамках элективного курса.

Прогнозируемый результат: успешное усваивание материала всеми группами учащихся с учетом уровневой дифференциации.

Для достижения целей данной технологии основным моментом являются ключевые задачи по каждой из изучаемых тем. Эти задачи обеспечивают успешное обучение на уровне стандарта всеми группами учащихся.

Каждое из восьми занятий в рамках элективного курса имеет длительность в два академических часа. Соответственно, занятие включает:

·        Урок в виде лекция, который раскрывает новую изучаемую тему крупным блоком,

·        Урок в виде практического занятия, посвященный решению ключевых задач различного уровня сложности.

Среди заключительных занятий элективного курса:

·        Урок в виде консультации, когда учащиеся готовят вопросы и задачи, вызвавшие затруднение,

·        Урок в виде зачета (коллоквиума), когда повторяется тема целиком, излагаемая, преимущественно, самими старшеклассниками,

·        Контрольный урок, который проводится в письменной форме,

·        Завершающий урок, посвященный анализу и обобщению всего пройденного материала.

Для примера, приведем решение ключевой задачи из нескольких пунктов ко второму занятию элективного курса.

Задача

Сторона основания  правильной треугольной пирамиды  равна 6, двугранный угол между боковыми гранями пирамиды равен . Точки  и  – середины ребер  и  соответственно,  – высота в треугольнике . Найти:

1) площадь треугольника ,

2) объем шара, вписанного в пирамиду ,

3) радиус вписанного в пирамиду  шара.

Для решения задачи по первому пункту, учащиеся рассматривают сечение пирамиды плоскостью  и находят площадь , используя угол :

где

Затем, самостоятельно определяют вид  и записывают выражение для вычисления угла :

         Таким образом, задача сводится к вычислению длины отрезка . Для учащихся это означает решение задачи из планиметрии о вычислении медианы в .

Можно предложить учащимся воспользоваться стандартной формулой для медианы треугольника:

Очевидно, для решения задачи необходимо вычислить длину отрезка , что можно сделать, используя второе, пока незадействованное исходное условие задачи:

Получаем:

Таким образом,

и, соответственно:

Подставляя найденное значение угла , находим:

Для решения задачи по второму пункту учащиеся вначале самостоятельно находят объем  пирамиды , исходя из стандартных базовых знаний:

Площадь полной поверхности пирамиды равна:

Тогда, радиус вписанного шара равен:

Объем вписанного шара равен:

Заметим, что:

Наконец по третьему пункту, учащиеся вновь используют стандартную формулу для вписанного шара:

где  – площадь полной поверхности пирамиды :

Далее следует:

         В результате получаем:

Задачи, аналогичные рассмотренной по структуре и учитывающие основные позиции элективного курса и уровневую дифференциацию учащихся, являются хорошим стимулом для достижения цели формирования мотивации к учебно-познавательной деятельности.

Список литературы:

1.     Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учеб. для 10кл. школ с углубленным изучением математики. — 4-е изд., доработ., М.: Рос.акад.наук, Рос.акад.образов., изд-во «Просвещение», 2006; — 270 с.

2.     Васильева, Г.Н. Современные технологии обучения математике [Электронный ресурс] : учеб. пособие. Ч. 1 / Г.Н. Васильева, В.Л. Пестерева. – Пермь : Пермский гос. гуманит.-пед. ун-т, 2013. – С. 7–14. ЭБС«IPRbooks»

3.     Ермак Е.А. Развитие пространственного мышления при изучении геометрии: Учебное пособие. Псков: Псковский государственный университет, 2014. 48с.

4.     Калинин А.Ю. Терешин Д.А. Геометрия, 10-11 классы. / Учебник для образовательных учреждений. Профильный уровень. М., Издательство МЦМНО, 2011 – 624с.

5.     Танеев, Х.Ж. Развитие познавательных интересов личности в процессе общего математического образования Текст. / Х.Ж. Танеев, М.П. Боярский-Екатеринбург: Издательство дом учителя.-2001.- с.80