Статья по математике на тему "Математика вероятностей"

Кислякова Лина Аркадьевна ,учитель математики

высшей квалификационной категории

МОУ "Рыбницкий теоретический лицей-комплекс"

город Рыбница, Приднестровье.

МАТЕМАТИКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

     В данной статье рассмотрены задачи по теории вероятностей, причем с полными теоретическими обоснованиями.

      Ключевые слова: события, вероятность, противоположные события,  случайность.

     Математика случайностей - это вся наша жизнь,  неорганическая, органическая и социальная. И это наука. И это искусство, так как сама жизнь есть искусство делать достаточные заключения  из  недостаточных предпосылок. Недаром одной из ранних книг по теории вероятностей Я. Бернулли было дано название "Искусство предположений".

     Теперь теория вероятностей – наука, помогающая из знания о наблюдаемых явлениях сделать достаточно достаточные выводы о явлениях не наблюдаемых, что позволило ей занять достойное место в жизни человечества.

     Задачи по теории вероятностей разнообразны. Они, на мой взгляд, очень хорошо развивают логику мышления ребят. Хотя здесь, как и в алгебре, есть формулы, которые необходимо применять в решениях. Но вместе с тем в них меньше "шаблона"  и автоматизма, который иногда наблюдается в решениях по алгебре. Чтобы решить задачу по теории вероятности, учащимся необходимо подумать и определить, казалось бы,  в самых простых задачах, что мы имеем; сумму или произведение событий?

  1) если сумму, то, каких событий - совместных или несовместных?

  2) если произведение, то каких событий - зависимых или независимых?

Задача 1.

     В ящике 20 белых, 30 чёрных и 40 красных шаров. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или чёрным?

Решение.

     А-событие появления белого  шара. В-событие появления черного шара. Имеем сумму двух событий, так как может произойти одно из событий -А или В. События А и В несовместимы, так как шар не может быть и белым, и красным. Значит решаем по формуле: вероятность суммы несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).  Вероятность каждого события определяем по формуле классической вероятности                      Р(А)=n₁/N,           Р(В)=n₂/N      

Р(А)+Р(В)=20/ 90+30 /90=2/ 9+1/ 3=5/ 9=0,555...=0.6. 

     Ответ: вероятность вынуть белый или чёрный шары равна 0,6.

     Задача 2. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения первого-0,75, второго-0,8. Какова вероятность поражения цели стрелками?

Решение.

    А - событие поражения цели первым стрелком, В- событие поражения цели вторым стрелком. С- искомое событие. Имеем сумму двух событий, так как цель поразить может первый или второй стрелок, и события эти совместны, так как они могут одновременно поразить цель, Вероятность определяем по  формуле суммы совместных событий: Р(С)=Р(А(+Р(В)-Р(А) Р(В) =0,75+0,8-(0,75)(0,8)=1,55-0,6=0,95.

2 способ.

      Рассмотрим  событие С₁ противоположное искомому, что оба стрелка промахнулись.  Оно является результатом произведения двух независимых событий А₁ и В ₁, то есть Р(С₁)=Р(А₁ )Р(В₁ ) так как противоположные события составляют  полную группу событий  и вероятность их суммы равна 1, то мы легко можем определить вероятность событий А₁ и В₁. Р(А₁)=1 -0,75 =0,25,

Р(В₁)=1-0,8=0,2. Тогда Р(С₁)=(0,25)(0,2)=0,05, аналогично находим вероятность искомого события Р(С)=1-Р(С₁)=1-0,05=0,95.  

     Ответ: вероятность поражения цели равна 0,95.

     Задача 3. В первом ящике по 5 белых и чёрных шаров, а во втором по 10 белых и чёрных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

  Решение.

     А-событие появление шара из 1 ящика, В-событие появления белого шара из 2 ящика, С- искомое событие. Имеем произведение событий, так как происходит и событие А и событие В.Эти события независимые, так как появление белого шара со второго ящика не зависит от того, что происходило в первом  ящике. Значит, находим вероятность по формуле произведения независимых событий. Р(АВ)=Р(А) Р(В),  Р(А)=5/ (5+5)=1/ 2,   Р(В)=10/ (10+10=1/ 2,  Р(С)=(1/ 2)(1/ 2)=1/ 4=0,25.

     Ответ: вероятность того, что оба шара белые равна 0,25.

     Задача 4. Найти вероятность того, что наугад вынутых из урны два шара белые. В  урне находятся 3 белых и пять чёрных шаров, предполагается, что наугад вынутый шар возвращается в урну.

 Решение.

     А-событие появления первого белого шара, В-событие появления второго белого шара, С-искомое событие. Имеем произведение двух событий, так как имеем два шара, то есть произошло и событие А, и событие В. Данные события зависимые, так как вероятность события В зависит от того, произошло или нет событие А, то есть, какой шар вынули. Значит, вероятность определяем по

формуле произведения зависимых событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В).  Р(А)=n/N=3/(3+5)=3/8, Р_А (В)=(n-1)/N=(3-1)/(8-1)=2/7, Р(С)=( 3/8)(2/7)=3/28= 0,1.

     Ответ: вероятность вынуть два белых шара равна 0,1.

     Особый   интерес вызывает у ребят решение задач на вероятность с применением комбинаторики.

     Например. Задача 5. Из букв слова " барабан" наудачу последовательно извлекают 3 буквы и склеивают в ряд. Какова вероятность, что получится слово "раб"?.

Решение.

     С-искомое событие. Вероятность определим по формуле классической  вероятности Р(С)=n/N. Благоприятные исходы  n=1,  так как  слово "раб" можно получить только одной комбинацией букв.    Количество возможных комбинаций из 7 по 3, так как барабан имеет 7 букв и нам надо выбрать 3 буквы. Количество общих исходов находим по формуле сочетания   

C_Nⁿ =A_Nⁿ/n ! . N=C ₇³ =7 *6*5/1*2*3=35, Р (С) =1 /35 =0,029=0,03.

     Способ 2.

     Искомое событие С можно рассматривать как произведение трёх зависимых событий: А-событие появления буквы "р", В- событие появления буквы "а", Д-событие появления буквы "б". Тогда вероятность определяем по формуле произведения зависимых событий  Р(С)=Р(А)*Р_А(В)*Р_АВ(Д). Вероятность событий А, В, Д определяется по формуле классической вероятности: Р(А)=1/7,

Р_А(В)=3/(7-1)=3/6=1/2,  Р_АВ (Д)=2/(6-1)=2/5, Р(С)=1/7*1/2*2/5=1/35=0.03.

Ответ: вероятность получить слово "раб" равна 0,03.

    Задача 6. В группе  8 юношей и 5 девушек. Среди членов группы разыгрывается 4 билета. Какова вероятность, что среди обладателей окажутся 2 юноши и 2девушки?

 Решение.

      С-искомое событие. Вероятность его определим по формуле классической вероятности. Р(С)=n/N. Благоприятные исходы, применяя комбинаторику, можно определить как произведение количества комбинаций из 8 юношей по

2 и из 5 девушек по 2 , то есть n = С₈^2* С₅²=(8*7/1*2)(5*4/1*2)=280. Общее количество исходов определим как комбинацию из всех членов группы

8+5=13 по 4 то есть   N= С₁₃⁴=(13*12*11*10 /1*2*3*4)=715. Следовательно,

Р(С)= 280/715=56/143= 0,4.

      Ответ: вероятность искомого события равна 0,4.

      Итак, на примерах решения данных задач, мы видим, что прежде чем их решить, мы должны подумать и выстроить  логическую цепочку, то есть научиться думать и рассуждать, чего порой, Так не хватает нашим ученикам, которые перестали решать квадратные уравнения по упрощённым формулам, и в каждом решении ищут шаблоны.

      В реальности происходят случайные явления, и многие события имеют неопределённый характер связей. Теория вероятности является инструментом для изучения скрытых и неоднозначных связей различных явлений во многих отраслях науки, техники, экономики.

  Литература.

1.Андронов,А.М.; Копытов Е.А.; Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика; СПб: Питер-Москва, 2004.

2. БитнерГ.Г. Теория вероятностей; Феникс-Москва, 2012.

3.Горлач Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика; Лань- Москва 2013.

Kislyakova Lina Arkadevna, teacher of mathematics

the highest qualification category

MOU "Rybnitsky theoretical lyceum-complex"

the city of Rybnitsa, Transnistria.

MATHEMATICS OF PROBABILITY.

                     In this paper, we consider problems in probability theory, with complete theoretical justification.

      Key words: events, probability, opposite events, randomness.