Статья: "Решение практических задач по теме производной" (10 класс)

Решение практических задач по теме производной

Наибольшую сложность при решении практических задач учащиеся испытывают на этапе построения математической модели в виде функциональной зависимости. Поэтому,  учащимся можно предложить несколько подготовительных и вспомогательных задач, типа:

1.Выразите формулой зависимость стороны квадрата от его площади.

2.Одна из сторон прямоугольника с заданным периметром имеет длину x. Выразите формулой зависимость площади S(x) этого прямоугольника от стороны x.

3.Неоднородный стержень имеет длину 1м. Выразите формулой зависимость массы его части АМ от длины отрезка АМ, если масса растет пропорционально квадрату расстояния АМ. Найдите массу всего стержня, если масса его части АМ равна 20г при АМ, равном 3см.

         Известно, что текстовые задачи всегда вызывают трудности у учащихся, даже при хорошем умении находить экстремумы функций. И наша задача - как можно доступнее представить способ решения таких задач. Тем более, что это возможно из-за универсальности применения метода нахождения наибольших и наименьших значений с помощью производной к задаче любого содержания.

         Предлагаем учащимся провести исследовательскую работу по выяснению алгоритма решения экстремальных задач. Для работы учащиеся разбиваются на 6 групп по уровням математической подготовки. Каждой группе выдается одна из трех типов задач: алгебраическая, геометрическая или практическая.

1.Периметр прямоугольника 200см. При какой длине и ширине площадь прямоугольника будет наибольшей?

2.Число 50 разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

3.Для участка прямоугольной формы заготовили изгородь длиной 600м. Какие должны быть размеры участка, чтобы его площадь при данной длине изгороди была наибольшей?

         Первые два типа задач не должны вызвать затруднений у ребят, т.к. похожи на многие другие математические задачи. Задача с практическим содержанием немного сложнее и предлагается “сильной” группе. Но, несмотря на разные формулировки, все три задачи сводятся к исследованию одной и той же функции f(x)=x(k-x).

         Сначала учащиеся решают задачи в своих группах, а затем идет обсуждение. Учащимся предлагается осознанно посмотреть на свое решение и попробовать сформулировать план рассуждений, в результате которых был получен ответ. Главное для учащихся - осознать в процессе анализа своих действий, как они получили исследуемую функцию. А для этого они должны показать, как устанавливалась математическая зависимость между данными, какая величина принималась за независимую переменную, на каком промежутке задавалась построенная функция и чем это определялось.

         В обсуждении участвуют все группы. Первыми выступают “практики”, потому что, во-первых, они лучше знают математику, а во-вторых, по логике решения практической задачи. Они демонстрируют процесс построения математической модели задачи. Причем, двух: сначала геометрической ,а затем, алгебраической. Далее, по ходу обсуждения, подключаются другие группы.

Приведем план работы по решению задачи.

1.Анализ условия задачи и построение функции

Вопросы	Предполагаемые ответы.
Каково требование задачи? При каком условии и какая фигура задана? Что показывает число 600? Что обозначим за неизвестное? Каковы длины прямоугольника?	Вычислить размеры участка, т.е. длину и ширину. Площадь прямоугольного участка должна быть наибольшей. Длину изгороди или периметр прямоугольника. Длину одной стороны прямоугольника X и (300-X)
Размеры сторон могут быть любыми? Какова площадь участка? Можем ли мы теперь найти размеры участка? Как?	Нет. Длина не может выражаться отрицательным числом. Отсюда получаем: 0<X<300 S(x)=x(300-x) Да. Для этого надо исследовать полученную функцию S(x), а точнее, найти ее наибольшее значение.

2. Нахождение наибольшего значения функции S(x)=x(300-x), заданной на отрезке [0;300].

Заметим, что на концах отрезка функция вырождается в ноль. Действуя по известному алгоритму, получили, что наибольшее значение функция принимает при x=150.

3.Интерпретация полученного результата

Вернемся к условию задачи и вспомним, что x - длина прямоугольного участка. Таким образом, мы получили, что наибольшую площадь будет иметь участок, имеющий форму квадрата со стороной 150м.

Примерный план решения практической задачи после обсуждения может выглядеть так:

1).Выделить, какие величины в данной задаче постоянны, а какие переменны, какая величина исследуется?

2).Из всех переменных выбрать одну независимую и установить область ее значений.

3).Исследуемую величину в данной задаче выразить через выбранную независимую переменную.

4).Найти критические точки полученной функции на области значений переменной.

5).Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка области определения.

6).Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и ответить на вопрос, поставленный в задаче.

         В результате работы над задачей учащиеся не только нашли алгоритм решения экстремальных задач, но и сами моделировали ситуацию. Причем, с различных позиций. Одни выступали в роли математиков и теоретиков. Им можно предложить придумать задачи практического содержания, которые бы сводились к данной математической модели. Другие, наоборот, выступали в роли практиков и разрешали конкретную жизненную ситуацию.

         После обсуждения, на оставшейся части урока, можно предложить учащимся варьировать условие задачи, представив, например, что огражденный изгородью участок надо разместить не в открытом поле, а среди построек. Для сравнения результатов данные заносятся в таблицу.

Функция S(x)	300x-2x2	600x-2x2	600x-x2
Форма участка
Smax-?	22500м2	45000м2	90000м2

Дальнейшая работа по решению экстремальных задач в гуманитарном классе преследует две цели: формирование умений решать практические задачи и демонстрация универсальности метода нахождения наибольшего и наименьшего значений с помощью производной. Но, чтобы привлечь учащихся данного  типа класса, предлагаем рассматривать исторические задачи и “литературные” задачи.

         Например, в начале следующего урока учащимся можно предложить рассказ Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо.” о том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал наконец желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000р. Но, если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник (изображенный на рисунке) периметром 40км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил бы Пахом?»

         Сам же урок может быть построен в форме семинара по историческим задачам. Учащиеся заранее разбиваются по группам, каждая из которых готовит одну задачу и исторический экскурс об истории ее возникновения. В начале урока группы обмениваются условиями задач и решают их. Затем идет защита полученных решений и ответов. В качестве оппонентов в данном случае выступают “хозяева” задач. Они после решения рассказывают о задаче и ее авторах.

ЗАДАЧА ДИДОНЫ Столько купили земли и дали ей имя Бирса,

сколько смогли окружить бычьей шкурой.(Вергилий “Энеида”)

ЗАДАЧА ЕВКЛИДА  В данный треугольник вписать параллелограмм                                            наибольшей площади.

ЗАДАЧА ТАРТАЛЬИ Разделить число восемь на две такие части, чтобы произведение их произведения на их разность была       максимальной.

ЗАДАЧИ КЕПЛЕРА Вписать в заданный круг цилиндр наибольшего объема.

Вписать в заданный круг прямоугольник наибольшей площади.

ЗАДАЧА ГЕРОНА Даны две точки А и В по одну сторону от прямой l. Требуется найти на l такую точку D, чтобы сумма расстояний от A до D была наименьшей.  

ЗАКОН СНЕЛЛИУСА(ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА).

Даже если не будут приведены доказательства этих задач, необходимо подчеркнуть важность их решения.