Технологическая карта занятия по теме "Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора"

8 класс                                                                            Геометрия

Урок 1                                                                Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора

Тип урока: изучение нового материала

Цель урока: создание условия для выведения доказательства теоремы Пифагора и теоремы, обратной теореме Пифагора

Задачи урока: познакомить с одним из доказательств теоремы Пифагора и показать практическую значимость теоремы Пифагора;

развитие познавательного интереса через практическое выполнение заданий по моделированию доказательств теорем; коммуникативных способностей;

воспитание активности, самостоятельности, культуры общения,

Оборудование: линейки, прямоугольные треугольники, карандаши, модели квадрата, таблицы квадратов, ресурсный материал, листы ватматана

Образовательные ресурсы: Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Коломцев и др.]. – 3 –е изд. – М. :   Просвещение, 2014. – 383 с.

Эпиграф урока

«…Геометрия владеет двумя сокровищами:

Одно из них - это теорема Пифагора,

Которую можно сравнить с мерой золота»

Иоганн Кеплер.

Планируемые результаты

Личностные	Метапредметные	Предметные
Овладевают историческими и математическими знаниями и умениями их применения в реальной жизни, осознание ценности исторических и математических знаний как важнейшего компонента научной картины мира Развивают умения самостоятельно управлять своей познавательной деятельностью, находчивость при решении поставленных задач, умение работать в коллективе.	Познавательные: устанавливают причинно-следственные связи между объектами, выбирают наиболее эффективный способов решения задач. Регулятивные: умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных задач понимают сущность алгоритмических предписаний и умеют действовать в соответствии с предложенным алгоритмом. Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем и обучающимися, аргументировать и отстаивать свою точку зрения учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.	Овладевают геометрическим языком для описания предметов окружающего мира Развивают умение работать с геометрическим текстом, чертежом, моделями; применять математическую терминологию и символику Понимают «теорема Пифагора» и умеют найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника при помощи теоремы Пифагора.

Организационная структура урока

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся
Организационный момент: формирование групп учащихся, выбор капитана команды
I. Мотивационно-организационный этап. Постановка цели и задач урока, мотивация учебной деятельности	Здравствуйте, ребята! Нам на уроках геометрии нам нужны линейки, простые карандаши, прямоугольные треугольники. И нам очень пригодятся знания, полученные на уроках алгебры. По моему учебному плану мы должны в эту смену изучить теорему Пифагора и теорему, обратную ей и формулу Герона. Не зря на доске приведен эпиграф, теорема Пифагора имеет большое практическое значение. Приведу вам пример: для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты? Значит целью нашего занятия будет …. Прежде, чем решить задачу, мы с вами повторим материал, который необходим для изучения нового материала.	И./ Ф.: Вопросы, ответы и пожелания учащихся (Разбор инструментов учащимися без учебных принадлежностей)
Актуализация знаний и введение в новую тему	Для этого мы используем модели четырехугольников из бумаги. Кто скажет, что это за геометрическая фигура? Как доказать, что это квадрат? Как вычисляется площадь квадрата Разделим сторону квадрата в соотношении 3:4. Как это сделать? Меньший отрезок обозначим за а, больший за b. Поворачивая по часовой стрелке поделите все стороны квадрата в отношении 3: 4 соответственно. Что значит соответственно? Переворачиваем тетради, открываем их, пишем сверху число и тему урока. Кто запишет на доске площадь, нашего квадрата? Теперь соединим полученные точки соседних сторон. Какая фигура получилась? Какой треугольник? Почему? Как называются стороны а и в? Как называется третья сторона прямоугольного треугольника? Обозначим ее за с. Чему равна площадь этого треугольника? Какая фигура получилась в центре? Как доказать, что это квадрат? Почему равны стороны? По какому признаку равны треугольники? Как доказать, что углы четырехугольника прямые? Обозначим углы, лежащий против сторон а ۦۦۦۦۦےα, против сторон в -ۦۦۦۦۦےβ. Как найти угол четырехугольника? Чему равна площадь этого квадрата? Из каких геометрических фигур составлен наш большой квадрат? Что мы знаем про площади равносоставных фигур? Значит, чему равна площадь большого квадрата?	И./ Ф.: Ответы учащихся Запись на доске S кв = а2 S кв = (а + в)2 S∆ =  ав 180°  - 90° = 90° S кв = с2 S кв = с2  + 4 S∆ = с2  +4 ав = с2  +2 ав
II. Операционно - исполнительский этап Теорема Пифагора	Но с другой стороны эта же площадь равна S кв = (а + в)2. Следовательно, равны левые части, равны и правые. Кто выведет новую формулу7 Это и есть краткая запись теоремы Пифагора. Кто ее сформулирует? А теперь изучим доказательство теоремы по учебнику в парах с. 128 В чем отличие этого доказательства от нашего? В парах по вашей модели докажите теорему. Можете ли предложить другое доказательство теоремы? Аккуратно оторвите треугольники. Какие фигуры можно из них сложить? Как найти площадь малого квадрата? В настоящее время существует около 200 доказательств теоремы Пифагора – ресурсный материал	И./ Ф.: Ответы учащихся (а + в)2 = с2  +2 ав а2  + 2ав + в2 = с2  +2 ав а2  + в2 = с2 с2 = (а + в)2   - 2 ав = а2  + 2ав + в2- 2 ав = = а2  + в2
Решение задач с помощью теоремы Пифагора	А вот теперь мы уже сможем решить предложенную в начале урока задачу. Что необходимо сделать в первую очередь, чтобы лучше понять условия задачи? Кто начертит чертеж, запишет условия задачи? Значит, мы можем использовать  ….. для нахождения …. А если бы трос был длиной 52 м, то его хватило бы? Какие стороны треугольника были известны7 Какую сторону необходимо было найти? Какую теорему использовали для её вычисления? А что мы сможем найти, если будут известны один из катетов и гипотенуза. Как? Каков алгоритм нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника? Записать для прямоугольного треугольника теорему Пифагора; Выразить неизвестную сторону через две другие; Подставить известные значения и вычислить неизвестную сторону. Решение задач по готовым чертежам по вариантам (чертежи не перечерчивать) – ресурсный материал Какие из задач не имеют решения? Почему? Таким образом, зная 2 стороны прямоугольного треугольника, мы можем найти … .	Ф/И.: Ответы учащихся АВ2 = АС2 + ВС2 = 52 + 122 = 169 А                  АВ =  = 13  13*4 = 52                       Ответ: не хватит С                        В а2  =  с2 - в2 а = в =
Теорема обратная теореме Пифагора	За 2000 лет до н.э., т.е. задолго до Пифагора был известен практический способ построения египетского треугольника. Пифагор же предложил первое, стройное с точки зрения математики доказательство теоремы – ресурсный материал. Прямоугольные треугольники со сторонами, выраженными целыми числами, называют пифагоровыми. Например, треугольник со сторонами 5. 12, 13; 8, 15, 17 и т. д. Давайте проверим, выполняется ли в каждом случае теорема Пифагора. А для чего же египтяне использовали веревки с узлами в строительстве? Т. е. зная все стороны треугольника, мы можем предположить является ли этот треугольник … . Как по вашему, при каком условии треугольник будет прямоугольным? Давайте сформулируем теорему, обратную теореме Пифагора. Доказательство теоремы учителем. Вывод:	Ф/ И/ К.: Ответы учащихся Подсчет суммы квадратов катетов с использованием таблицы квадратов Построение прямоугольного треугольника из веревки с 12 узлами Если в треугольнике квадрат сторны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
Закрепление обратной теоремы с помощью задач	Как проверить является ли треугольник прямоугольным? Вариант 1 Является ли треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 15 см прямоугольным? Вариант 2 Является ли треугольник со сторонами 7 см, 24 см и 25 см прямоугольным? Проверьте решение соседа по парте, поставьте + и роспись на полях, если решение правильное, если решение неверно, объясните ошибку. Выводы:	Ф./ П.: Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора: В первом варианте 62 + 72 ≠ 152,    треугольник не является прямоугольным, во втором варианте 72 + 242 = 252, треугольник прямоугольный
Тестирование по теме «Теорема Пифагора»	Осталось только проверить насколько прочно вы усвоили знания, полученные сегодня и как их умеете применять. Проведем небольшое тестирование по данной теме. Тест с самопроверкой (запиши номер правильного ответа) – ресурсный материал 1.Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найди гипотенузу этого треугольника. а) 49 см б) 13 см в) 289 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Найди второй катет. а) 4 см б) 2 см в) 3. В прямоугольном треугольнике стороны имеют длину 9 см, 15 см, 12 см. Как называется сторона, имеющая длину 15 см? а) катет б) основание в) гипотенуза 4. Запишите теорему Пифагора для треугольника АВС, у которого угол В прямой а) AB²=AC²+BC²     б) AC²=AB²+BC²      в) BС²=AB²+AC² 5. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равны 10 см, а катет - 8см. А) 80 см2   б) 24 см2  в) 48 см2  г) 40см2. Где вы испытали трудности? А теперь проверим правильность выполнения заданий: 1) б 2) а 3) в 4) б 5) б. Поставьте отметку: 5 – «5» 4 – «4» 3 – «3»	И./: Ответы учащихся на задания тестов Ответы на тесты
II. Рефлексивно – оценочный этап	С какими теоремами сегодня познакомились. В каких областях науки, искусства, промышленности необходимо использование этих знаний? Запишите на малых квадратах вашей практической работы что больше всего вам показалось интересным на уроке?	Ответы и пожелания учащихся

Ресурсный материал

I.  Одно из доказательств теоремы Пифагора

      

II.    Решение задач по готовым чертежам

Вариант 1

Вариант 2

Историческая справка 1: Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко недостоверны. С его именем связано много легенд. Родился Пифагор на острове Самос в Эгейском море, в семье купца Мнезарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18–20 лет он посетил старого тогда уже Фалеса (о. Самос почти рядом с Милетом!), который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии, посоветовал ему поехать для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету. Затем были Вавилон, Индия... По возвращении на Самос Пифагор основал свою школу, но затем покинул остров. В южноиталийском г. Кротоне им был основан знаменитый пифагорейский союз, бывший одновременно и научной школой, и политическим и религиозным сообществом, в котором Пифагор почитался чуть ли не божеством... В школе Пифагора рассматривались четыре mathema (науки): арифметика, музыка (гармония), геометрия и астрономия с астрологией. Пифагорейцы считали, что в основе всего лежат числа и гармония, но что все в математике нужно доказывать. Изучению математики придавался мистический характер, что не помешало найти доказательство теоремы Пифагора, а из нее получить (доказать!) иррациональность корня из двух! Это были великие математические открытия... Однако в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили тайной имя своего учителя, так что установить правду о Пифагоре невозможно. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Говорят, что он “запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы”. В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: “… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста”.

Хоть теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В древних текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён.. Этот способ, по-видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора – прямоугольный. Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским”

Вариант 1  Является ли треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 15 см прямоугольным?

Вариант 2  Является ли треугольник со сторонами 7 см, 24 см и 25 см прямоугольным?

Тест

1.Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найди гипотенузу этого треугольника. а) 49 см б) 13 см в) 289

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Найди второй катет. а) 4 см б) 2 см в)

3. В прямоугольном треугольнике стороны имеют длину 9 см, 15 см, 12 см. Как называется сторона, имеющая длину 15 см? а) катет б) основание в) гипотенуза

4. Запишите теорему Пифагора для треугольника АВС, у которого угол В прямой а) AB²=AC²+BC²     б) AC²=AB²+BC²      в) BС²=AB²+AC²

5. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равны 10 см, а катет - 8см. А) 80 см²   б) 24 см²  в) 48 см²  г) 40см².

Литература

1.      Геометрия. 7 класс: технологические карты уроков по учебнику Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной/ авт. – сост. Г. Ю. Ковтун. – Волгоград: Учитель, 2015, - 199 с.

2.       ГЕОМЕТРИЯ 7 класс - Технологические карты уроков по учебнику Л. С. Атанасяна - 2015 год [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.compendium.su/mathematics/7klass_2/43.html (дата обращения: 25.11.2018).

3. Урок по геометрии в 8 классе по теме: «Теорема Пифагора» [Электронный ресурс]. – Режим доступа:  https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/12/30/konspekt-uroka-po-geometrii-teorema-pifagora-8-klass (дата обращения: 05.12.2018).
4. Урок по геометрии в 8 классе по теме : «Теорема Пифагора [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/08/06/teorema-pifagora-konspekty-trekh-pervykh-urokov (дата обращения: 05.12.2018).

Краткое описание документа:

Урок направлен на развитие логического и критического мышления обучающихся. На занятии учащиеся в процессе практической работы при повторении свойств и площадей треугольника и четырехугольников доказывают теорему Пифагора.

При знакомстве с "египетским" и пифагоровыми треугольниками выдвигают гипотезу и доказывают обратную теорему. Для решения предлагаются задачи практической направленности.