|
Преобразование суммы и разности тригонометрических
функций в произведения » 9 кл
Цель: формирование знаний умений на преобразование
суммы и разности тригонометри
ческих функций в произведение , умение применять
формулы в стандартных и нестандар
тных ситуациях.
Развитие речи. Внимания , смекалки.
Воспитание интереса к предмету, воспитывать
честность , взаимопонимания.
Девиз урока:
« Знание – самое превосходное из владений . Все
стремятся к нему . само же оно не приходит.»
Аль – Бируни.
План урока :
1. Организационный момент
2. Повторение. Организация мыслительной деятельности.
3. Объяснение нового материала . Вывод формул .
4. Закрепление изученного материала
5 .Итог урока. Рефлексия.
6. Домашнее задание.
Ход
урока
1. Орг. момент
Психологический настрой к уроку. Встали ,
повернулись к друг другу лицом ,
улыбнулись и пожелали успехов.
2).Проверка домашнего задания
2. Организация мыслительной деятельности
1) Сформулируйте основные свойства
тригонометрических функций
а) их знаки
б) четность
в)периодичность
2) Определите знаки тригонометрических функций угла
:
143, -245, 735 300 180 -115
Объяснение новой темы
Класс разбить на две команды
1. команда . Выводит формулу преобразования суммы
тригонометрических функций
в произведение
2. команда . Выводит формулу преобразования
разности тригонометрических
функций в произведение.
1) Объясним первую формулу:
x
+ y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2
2
Она поучена из формул синуса сложения и разности
аргументов:
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.
Сложим две формулы:
sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin
β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos
β.
Таким образом,
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.
К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.
Теперь введем новые переменные:
вместо α + β напишем х,
вместо α – β напишем у.
Тогда:
sin х + sin у =
2 sin α cos β.
В то же время, введя новую переменную, мы получили
систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:
│α + β = х
│α – β = у
│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у
│2α = х + у
│2β = х – у
│ х + у
│α = ———
│ 2
│
│ х – у
│ β = ———
│ 2
Вернемся к полученной нами сумме двух формул
сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin
α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге
получить нашу формулу:
x +
y x –
y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2
2
2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой
и доказывается просто.
Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y)
= –sin y.
Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y).
Следовательно:
x + (–y)
x – (–y) х – у х +
у
sin x + (–sin y) = 2 sin ———— cos ———— = 2 sin ——— cos
———.
2
2
2
2
Таким образом:
x
– y x
+ y
sin x – sin y = 2 sin ———
cos ———
2 2
Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.
Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок
прост: представляем тангенсы и котангенсы как
отношение синусов и косинусов, находим для полученных
дробей общий знаменатель и применяем формулы
сложения. То есть совершаем всего три действия:
sin x
sin y
sin x cos y + cos x sin y sin
(x + y)
tg x + tg y = ——— + ——— =
———————————— = ——————
cos x cos y
cos x cos y cos x cos y
cos x cos y
cos x sin y + sin x cos y sin
(x + y)
ctg x + ctg y = ——— +
——— = ———————————— = ——————
sin x
sin y
sin x sin y sin x sin y
Преобразование разностей в произведение
осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими
формулами тригонометрии.
Попробуйте вычислить их самостоятельно
4. Закрепление изученного.
Пример 1. Упростить выражение
sin 60º + sin 30º.
Решение.
60º + 30º
60º – 30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 45º cos 15º =
2
2
√2
= 2 · —— cos 15º = √2 cos 15º.
2
Ответ: sin
60º + sin 30º = √2 cos 15º.
Пример 2. Упростить выражение
sin 60º – sin 30º.
Решение.
45º – 15º
45º + 15º
sin 45º – sin 15º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 15º cos 30º =
2
2
√3
= 2 sin 15º · —— = √3 sin 15º.
2
Ответ: sin
45º – sin 15º = √3 sin 15º.
Работа по учебнику
№ 473, 474 , 475 , 477, 480
Итог урока . Рефлексия.
И вновь возвращаясь к словам Аль- Бируни
« Знание – самое превосходное из владений . Все
стремятся к нему . само же оно не приходит.»
Выбери утверждение которое соответствует вашей
работе на уроке
1. О , монах , ты идешь трудной дорогой.
2.Золото добывают из земли , а знания – из книги
.
3. Ах , как я устал от этой суеты.
4. Без труда не вытащишь рыбку из пруда.
Домашнее задание №472 . П 8.1 выучить
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.