Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема: " Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения"

Тема: " Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения » 9 кл

Цель: формирование знаний умений на преобразование суммы и разности тригонометри

ческих функций в произведение , умение применять формулы в стандартных и нестандар

тных ситуациях.

Развитие речи. Внимания , смекалки.

Воспитание интереса к предмету, воспитывать честность , взаимопонимания.

Девиз урока:


« Знание – самое превосходное из владений . Все стремятся к нему . само же оно не приходит.»

Аль – Бируни.

План урока :

1. Организационный момент

2. Повторение. Организация мыслительной деятельности.

3. Объяснение нового материала . Вывод формул .

4. Закрепление изученного материала

5 .Итог урока. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

Ход урока

1. Орг. момент

Психологический настрой к уроку. Встали , повернулись к друг другу лицом ,

улыбнулись и пожелали успехов.

2).Проверка домашнего задания

2. Организация мыслительной деятельности

1) Сформулируйте основные свойства тригонометрических функций

а) их знаки

б) четность

в)периодичность

2) Определите знаки тригонометрических функций угла :

143, -245, 735 300 180 -115

Объяснение новой темы

Класс разбить на две команды

1. команда . Выводит формулу преобразования суммы тригонометрических функций

в произведение

2. команда . Выводит формулу преобразования разности тригонометрических

функций в произведение.


 

1) Объясним первую формулу:

                                  x + y            x – y
sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α – β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х
│α – β = у

 

│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у

 

│2α = х + у
│2β = 
х – у


│         
х + у
│α = ———
│           2

│          
х – у
│ β = ———
│            2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

                                   x + y             x – y
sin 
x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.

Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = sin y.

Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:

                                      x + (–y)             x – (–y)                х  у           х + у
sin 
x + (–sin y) = 2 sin ————  cos ———— = 2 sin ——— cos ———.
                                            
2                      2                         2                 2

Таким образом:

                                   x – y             x + y
sin 
x  sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

 

Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.

Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как

отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы

сложения. То есть совершаем всего три действия:

                      sin x          sin y            sin x cos y + cos x sin y              sin (x + y)
tg 
x + tg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                      cos 
x         cos y                   cos x cos y                            cos x cos y

 

                         cos x         cos y             cos x sin y + sin x cos y               sin (x + y)

ctg x + ctg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                         sin 
x         sin y                      sin x sin y                             sin x sin y     

Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими формулами тригонометрии.

Попробуйте вычислить их самостоятельно

4. Закрепление изученного.

 

Пример 1. Упростить выражение

sin 60º + sin 30º.

Решение.

                                          60º + 30º            60º  30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 45º cos 15º =
                                               2                        2

          √2
= 2 · —— cos 15º = √2 cos 15º.
           2

Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.

 

Пример 2. Упростить выражение

sin 60º – sin 30º.

Решение.

                                          45º – 15º            45º + 15º  
sin 45º – sin 15º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 15º cos 30º =
                                               2                        2

                        √3
= 2 sin 15º · —— = √3 sin 15º.
                         2

Ответ: sin 45º – sin 15º = √3 sin 15º.


Работа по учебнику


№ 473, 474 , 475 , 477, 480


Итог урока . Рефлексия.


И вновь возвращаясь к словам Аль- Бируни


« Знание – самое превосходное из владений . Все стремятся к нему . само же оно не приходит.»

Выбери утверждение которое соответствует вашей работе на уроке


1. О , монах , ты идешь трудной дорогой.

2.Золото добывают из земли , а знания – из книги .

3. Ах , как я устал от этой суеты.

4. Без труда не вытащишь рыбку из пруда.

Домашнее задание №472 . П 8.1 выучить

 


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

Известно , что школьники испытывают немалые трудности , изучая тригонометрию. Причин этому несколько .Это большое количество формул , которые необходимо помнить, и отсутствие стандартных приемов преобразований тригонометрических выражений.Часто оказываются полезными формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведения. Обычно они используются при упрощении  тригонометрических выражений , при нахождении производных и интегралов от функций , содержащих тригонометрические выражения , а а также при решении тригонометрических уравнений и неравеств. Позтому эти формулы надо хорошо усвоить.

Автор
Дата добавления 27.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1193
Номер материала 462552
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх