Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема: " Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения"

Тема: " Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Тема: «

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения » 9 кл

Цель: формирование знаний умений на преобразование суммы и разности тригонометри

ческих функций в произведение , умение применять формулы в стандартных и нестандар

тных ситуациях.

Развитие речи. Внимания , смекалки.

Воспитание интереса к предмету, воспитывать честность , взаимопонимания.

Девиз урока:


« Знание – самое превосходное из владений . Все стремятся к нему . само же оно не приходит.»

Аль – Бируни.

План урока :

1. Организационный момент

2. Повторение. Организация мыслительной деятельности.

3. Объяснение нового материала . Вывод формул .

4. Закрепление изученного материала

5 .Итог урока. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

Ход урока

1. Орг. момент

Психологический настрой к уроку. Встали , повернулись к друг другу лицом ,

улыбнулись и пожелали успехов.

2).Проверка домашнего задания

2. Организация мыслительной деятельности

1) Сформулируйте основные свойства тригонометрических функций

а) их знаки

б) четность

в)периодичность

2) Определите знаки тригонометрических функций угла :

143, -245, 735 300 180 -115

Объяснение новой темы

Класс разбить на две команды

1. команда . Выводит формулу преобразования суммы тригонометрических функций

в произведение

2. команда . Выводит формулу преобразования разности тригонометрических

функций в произведение.


 

1) Объясним первую формулу:

                                  x + y            x – y
sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α – β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х
│α – β = у

 

│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у

 

│2α = х + у
│2β = 
х – у


│         
х + у
│α = ———
│           2

│          
х – у
│ β = ———
│            2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

                                   x + y             x – y
sin 
x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.

Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = sin y.

Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:

                                      x + (–y)             x – (–y)                х  у           х + у
sin 
x + (–sin y) = 2 sin ————  cos ———— = 2 sin ——— cos ———.
                                            
2                      2                         2                 2

Таким образом:

                                   x – y             x + y
sin 
x  sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

 

Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.

Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как

отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы

сложения. То есть совершаем всего три действия:

                      sin x          sin y            sin x cos y + cos x sin y              sin (x + y)
tg 
x + tg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                      cos 
x         cos y                   cos x cos y                            cos x cos y

 

                         cos x         cos y             cos x sin y + sin x cos y               sin (x + y)

ctg x + ctg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                         sin 
x         sin y                      sin x sin y                             sin x sin y     

Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими формулами тригонометрии.

Попробуйте вычислить их самостоятельно

4. Закрепление изученного.

 

Пример 1. Упростить выражение

sin 60º + sin 30º.

Решение.

                                          60º + 30º            60º  30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 45º cos 15º =
                                               2                        2

          √2
= 2 · —— cos 15º = √2 cos 15º.
           2

Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.

 

Пример 2. Упростить выражение

sin 60º – sin 30º.

Решение.

                                          45º – 15º            45º + 15º  
sin 45º – sin 15º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 15º cos 30º =
                                               2                        2

                        √3
= 2 sin 15º · —— = √3 sin 15º.
                         2

Ответ: sin 45º – sin 15º = √3 sin 15º.


Работа по учебнику


№ 473, 474 , 475 , 477, 480


Итог урока . Рефлексия.


И вновь возвращаясь к словам Аль- Бируни


« Знание – самое превосходное из владений . Все стремятся к нему . само же оно не приходит.»

Выбери утверждение которое соответствует вашей работе на уроке


1. О , монах , ты идешь трудной дорогой.

2.Золото добывают из земли , а знания – из книги .

3. Ах , как я устал от этой суеты.

4. Без труда не вытащишь рыбку из пруда.

Домашнее задание №472 . П 8.1 выучить

 


Краткое описание документа:

Известно , что школьники испытывают немалые трудности , изучая тригонометрию. Причин этому несколько .Это большое количество формул , которые необходимо помнить, и отсутствие стандартных приемов преобразований тригонометрических выражений.Часто оказываются полезными формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведения. Обычно они используются при упрощении  тригонометрических выражений , при нахождении производных и интегралов от функций , содержащих тригонометрические выражения , а а также при решении тригонометрических уравнений и неравеств. Позтому эти формулы надо хорошо усвоить.

Общая информация

Номер материала: 462552

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»