Трехсторонний и пятисторонний квадраты в неевклидовой геометрии.

Трехсторонний и пятисторонний квадраты в неевклидовой геометрии.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..	3
Глава 1. Квадрат……………………………..…………………………………...	4
1.1.  История возникновения квадрата……….…………………………………	4
1.2. Определение и свойства квадрата………………………………………….	5
1.3. Модели неевклидовой геометрий…………………………………………..	6
Глава 2. Практическое исследование фигур……………………………………	11
2.1. Построение трехстороннего квадрата……………………………...............	11
2.2. Построение пятистороннего квадрата      ………………………………….	12
Заключение………………………………………………………………………..	14
Список использованных источников……………………………………………	15
Приложение………………………………………………………………………	16

Введение

Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией, творениями природы и человека. Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, полученные из наблюдений и опытов. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. [1]

  В наше время геометрические знания по-прежнему находят широкое применение в строительстве, архитектуре, искусстве, а также во многих отраслях промышленности. На уроках геометрии мы изучили тему «Квадрат»,  и  нас заинтересовал вопрос, возможно ли построить трехсторонний и пятисторонний квадрат.

Объект исследования: квадрат, глобус, псевдосфера.

Предмет исследования: построение трехстороннего и пятистороннего квадрата.

Цель работы: создать модели пятистороннего  и трехстороннего квадрата с использованием свойств и особенностей глобуса и псевдосферы.

Задачи:

1.     Выяснить, что такое квадрат и рассмотреть его главные свойства;

2.     Выяснить, что такое сфера и рассмотреть ее главные свойства;

3.     Выяснить, что такое псевдосфера и рассмотреть её главные свойства;

4.     Создать модели пятистороннего и трехстороннего квадратов.

Методы исследования:  поиск, анализ, математическое моделирование.

описание методов исследования

Глава 1. Квадрат в евклидовой геометрии

1.1. История возникновения квадрата.

История возникновения многих геометрических фигур довольно интересна и разнообразна. Это связано с тем, что геометрические фигуры издавна связаны с жизнью,  бытом и философией человека.     Рассмотрим историю возникновения понятия такой, всем хорошо известной фигуры, как «квадрат». Квадрат известен во многих древних культурах. Многие исследователи считают, что квадрат – это попытка человека противопоставить организованность и порядок вселенскому хаосу. Квадрат ассоциируется со стабильностью, консерватизмом, традициями и уверенностью. [1]

Как геометрическая фигура, квадрат  связан с числом четыре и имеет ряд мифологических, символических, философских и иных  толкований таких,  как  порядок, равенство, мудрость. Он символизировал четыре стороны света, четыре времени года, четыре человеческих возраста, четыре основных элемента мира. Совместное изображение квадрата и круга на старых китайских монетах является символом соединения инь и янь. В древних учениях о здоровье считается, что квадрат стабилизирует системы организма, успокаивает вибрации, уравновешивает полярности, фокусирует основную жизненную силу. В соответствии с историческими сведениями первой геометрической фигурой, совмещенной с изображением человека, был квадрат, точнее сетка квадратов Древнего Египта. В буддизме квадрат в основании чортена олицетворяет земной план существования. У индийцев квадрат - основной символ, являющийся  также архетипом порядка во Вселенной, стандартом пропорции и идеалом для оценки человека. В греко-римской традиции квадрат являлся символом Афродиты как женской плодородной силы. У пифагорейцев квадрат символизирует душу. У римлян был специальный термин для гармоничного человека, Homo quadratus - человек квадратный, человек гармоничный. [2]

Квадрат  широко использовался в архитектуре и строительстве. Эта фигура была моделью для многих культовых сооружений, которые, в свою очередь, рассматривались как символический образ мира, постоянства и стабильности. Он лежит в основе многих архитектурных сооружений, таких как: зиккурат, пирамид, пагод. Пирамида Хеопса в Гизе - образец такого сооружения. Эта пирамида до сих пор остается самым большим архитектурным творением рук человеческих. В архитектуре любого священного здания, храма, церкви преобразование круга в квадрат или квадрата в круг олицетворяет трансформацию сферической формы Небес в квадратную форму Земли и наоборот. Он лежал в  основании храма или любого иного священного центра и представлял собой сбалансированное совершенство формы. Квадрат в основании  буддийской ступы представлял собой символическую форму Земли. Современные строения, продолжая традицию, имеют в своей фундаментальной основе все тот же квадрат. [3]

Квадрат - простейшая плоская фигура, имеющая четыре вершины и четыре стороны, но с древнейших времен и до наших дней люди занимаются изучением квадрата. За это время было сделано много важных открытий, например, в теории алгебраических групп, где квадрат является основной моделью для рассмотрения симметрии, связанных с цикличностью поворотов. Таким образом, можно сделать вывод, что квадрат - важнейшая и необходимая фигура в науке и жизни. Эта фигура прочно нашла себе место  в нашем современном мире, привнося  в него порядок и гармонию, поэтому  современная действительность не представляется без этой, поистине совершенной фигуры. [4]

1.2. Определение и свойства квадрата

На уроках геометрии мы узнали, что: 

Квадрат это…

…правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые.

…параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

…прямоугольник, у которого две смежные стороны равны.

Отсюда следует, что для квадрата выполняются                      и свойства прямоугольника, и свойства ромба.                                рис.1 Квадрат          

Свойства квадрата

а) Все углы квадрата прямые.

б) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы пополам.

рис.2

Признак квадрата: Если в четырехугольнике все стороны равны и все углы равны, то этот четырехугольник – квадрат. [5]

В просторах интернета мы узнали, что в неевклидовой геометрии 

квадрат — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами.

рис.3 Модели фигур

1.3. Модели неевклидовой геометрий

Модель неевклидовой геометрии, например, геометрии Лобачевского, – это область евклидова пространства, в которой, при надлежащем определении точек, прямых, расстояний и т. д. выполняются такие соотношения между ними, как в данной неевклидовой геометрии. Модель – это как бы перевод неевклидовой геометрии на язык объектов евклидовой. Наличие модели неевклидовой геометрии доказывает непротиворечивость этой геометрии: по крайней мере, она столь же непротиворечива, как евклидова. [6]

Например, на поверхности сферы, если считать ее большие круги прямыми (что естественно, т. к. они реализуют кратчайший путь из точки в точку), действуют законы геометрии, отличной и от геометрии Евклида, и от геометрии Лобачевского. Как и в геометрии Лобачевского, там нет подобных треугольников, и знания углов треугольника достаточно для того, чтобы найти его стороны. Сумма углов треугольника отличается от 180° на величину, пропорциональную площади – но не в меньшую сторону (как в геометрии Лобачевского), а в большую. Сфера реализует гипотезу тупого угла. Чем больше окружность, тем меньше у нее отношение длины к радиусу. Там все прямые пересекаются между собой – параллельных прямых нет вообще. Там не выполняется аксиома, по которой через две точки может проходить не более одной прямой: через полюсы проходит сколько угодно меридианов. Все прямые и вообще вся плоскость там ограничены. В то же время в небольших областях сферы геометрия достаточно мало отличается от евклидовой. Не замечаем этого отличия, хотя живем на большой сфере. [6]

Нет ли поверхности, на которой реализуется геометрия Лобачевского? Оказывается, есть. Это показал в 1868 г. итальянский математик Э. Бельтрами. Такая поверхность называется псевдосфера. Более точно следует сказать, что она образует модель некоторого куска плоскости Лобачевского (если считать прямыми Лобачевского кратчайшие кривые на этой поверхности). Псевдосфера образуется вращением кривой, называемой трактрисой, вокруг ее асимптоты. Трактриса характеризуется тем, что длина касательной к ней (от точки касания до асимптоты) постоянна. [6]

рис.4 Псевдосфера

Гауссова кривизна — мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки. Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях. [6]

Сфера - основной пример фигуры с постоянной положительной кривизной . Это означает, что, проведя через любую точку на сфере две кривые, они будут положительной кривизны (обе кривые будут выгнутыми наружу). [6]

Ф. Клейн изобрел модель плоскости Лобачевского, реализующуюся на части евклидовой плоскости – а именно, на внутренности некоторого круга. Прямыми Лобачевского считаются отрезки прямых, лежащие внутри этого круга. Если они пересекаются внутри круга, то это – пересекающиеся прямые; если на границе, то это параллельные прямые. В противном случае они являются расходящимися. За расстояние между двумя точками A и B принимается число  где P и Q – точки пересечения прямой AB с окружностью, ограничивающей модель. Угол между прямыми определяется более сложно, но, по крайней мере, если данная прямая – диаметр круга, то перпендикуляры Лобачевского к ней – это обычные евклидовы перпендикуляры. Поскольку проективные преобразования сохраняют двойное отношение (а значит, и его логарифм), те проективные преобразования, которые переводят этот круг сам в себя, можно считать перемещениями плоскости Лобачевского. По мере приближения к границе масштаб данной модели делается все меньше и меньше: таким образом, от каждой точки внутри круга до границы расстояние равно бесконечности, если считать его по данной формуле. Именно поэтому бесконечную плоскость Лобачевского удается промоделировать конечным кругом. [6]

рис.5 Модель Клейна плоскости Лобачевского

А. Пуанкаре предложил другую модель плоскости Лобачевского, основанную на свойствах не проективных, а круговых преобразований. Эта модель также реализована на внутренности круга. Прямыми Лобачевского считаются либо прямые, проходящие через центр, либо окружности, перпендикулярные границе модели. Расстояние Лобачевского вычисляется по такой же формуле, что и в модели Клейна, а вот углы будут обычными евклидовыми углами между окружностями: углы являются инвариантами круговых преобразований. [6]

рис.6Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского

В общей теории относительности, созданной А. Эйнштейном, наше трехмерное пространство считается обладающим кривизной (положительной), меняющейся от точки к точке и зависящей от масс: геометрия пространства, во-первых, в разных точках разная, а во-вторых, определяется массами вещества вблизи этих точек. Лучи света движутся по линиям наименьшего времени; но в «кривом» пространстве геометрические отношения между этими линиями могут быть другими, чем в пустом пространстве. Так, вблизи тяжелых масс (например, вблизи звезд) свет искривляется, притягиваясь к ним, а пространство делается более кривым, – так, сумма углов треугольника в большей мере отклоняется от 180°. Тщательные наблюдения во время солнечный затмений подтвердили предсказания Эйнштейна об искривлении лучей звезд, идущих мимо Солнца. Так что мы с вами живем в неевклидовом мире, да еще в мире, который, в соответствии с идеями Римана, имеет разную геометрию от точки к точке. [6]

В сферической тригонометрии вершинами  треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Каждая сторона и угол сферического треугольника по определению меньше 180°. Тригонометрия на сфере не относится к евклидовой. Сумма сторон в таком треугольнике находиться в диапазоне от 0° до 360°, а сумма углов - 180° и 540°. Против большей стороны лежит больший угол сферического треугольника. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол. [6]

Глава 2. Практическое исследование трехсторонней и пятисторонней фигуры.

Квадрат в евклидовой геометрии - правильный четырёхугольник, у которого все стороны равны и углы прямые. 

2.1. Построение трехстороннего квадрата

Рассмотрим трехмерную модель - глобус. Допустим мы находимся на исходной точке на пересечении меридиан. Затем из исходной точки поднимаемся по нулевому меридиану на северный полюс и повернем на восток на 90 . Опустимся по меридиану восточной долготы. Теперь соединим исходную точку с первоначально точкой. Получим фигуру с 3 равными сторонами и 3 прямыми углами.

Мы получим, равносторонний треугольник с суммой углов больше 180°. Нарисовав любой треугольник на сфере, сумма его углов будет больше 180°.

Если говорить, что в альтернативной геометрии квадрат - это фигура с равными сторонами и прямыми углами, то из определения и первого свойства квадрата можно сделать вывод, что это трёхсторонний квадрат. 

рис.7 Модель трехстороннего квадрата

рис.8 Построение трехстороннего квадрата

2.2. Построение пятистороннего квадрата

1 шаг: Предположим, что мы стоим на точке Х псевдосферы. Из этой точки мы сделаем поворот на 90 градусов и выдвинемся на Y единиц вперед.

2 шаг: Повторив эти действия 4 раза, мы окажемся в исходной точке Х псевдосферы.

3 шаг: Мы получили 5-и стороннюю фигуру с равными сторонами и всеми прямыми углами. Таким образом можно получить на псевдосфере пятисторонний квадрат

рис.9 Модель пятистороннего квадрата

Рис.10 Построение пятистороннего квадрата

 

Заключение.

В ходе работы были использованы математические знания, изучена и проанализирована литература по данной теме.

Целью исследования создать модели пятистороннего  и трехстороннего квадрата с использованием свойств и особенностей глобуса и псевдосферы

Для достижения цели были решены поставленные задачи. В своей работе мы попытались ответить на вопрос возможно ли построить трехсторонний и пятиугольный квадрат.              

Практическая часть проекта позволила убедиться в том, что да возможно, но только в неевклидовой геометрии

Для своей исследовательской работы мы использовали глобус и псевдосферу.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что с помощью неевклидовой геометрии можно доказать нашу гипотезу.

Теперь мы знаем, что благодаря полученным знаниям, мы расширили познания в геометрии. Эти знания применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.

Список использованных источников

Список использованных источников

1.  Гейзер Г. И. История математики в школе

2.  Рыбников К. А. История математики.

3.  Юшкевич А. П. История математики.

4.  Из истории развития геометрии. Происхождение названий геометрических фигур и их определение.  Режим доступа: http://refac.ru/iz-istorii-razvitiya-geometrii-proisxozhdenie-nazvanij-geometricheskix-figur-i-ix-opredelenie

5.  Подготовка к ЕГЭ математика.

Режим доступа: https://egemaximum.ru/kvadrat-2/

6.  Модели неевклидовых геометрий. Общая риманова геометрия.

Режим доступа: http://school-collection.iv-edu.ru/dlrstore/5e514709-44ef 47d1-c68f-0309accc0017/00145620680352591.htm

Приложение