Тренажер подготовка к ОГЭ по геометрии

№	Задания № 7
1	Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 196, а ос­но­ва­ние — 96. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.
2	Радиус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окружности равен 5 см.
3	Сторона ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те площадь ромба.
4	На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС .
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
№	Задания №5
1	В треугольнике  АВС  известно, что АС=54, ВМ - медиана, ВМ=43. Найдите АМ.
2	В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.
3	Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 44 и одна сто­ро­на на 2 боль­ше другой.
4	На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.
5	Укажите номера верных утверждений. 1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. 2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности. Если утвер­жде­ний несколько, за­пи­ши­те их номера в по­ряд­ке возрастания.

№	Задания № 9
1	В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, угол АВС равен 148°. Найдите угол ВСА. Ответ дайте в градусах.
2	К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
3	Сторона рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна 10. Най­ди­те его площадь, делённую на √3.
4	На ри­сун­ке изображен па­рал­ле­ло­грамм  АВСD. Ис­поль­зуя рисунок, най­ди­те  sin˪HBA .
5	Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны? 1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы со­став­ля­ют в сумме 90°, то эти две пря­мые параллельны. 2) Если угол равен 60°, то смеж­ный с ним равен 120°. 3) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы равны 70° и 110°, то эти две пря­мые параллельны. 4) Через любые три точки про­хо­дит не более одной прямой. Если утвер­жде­ний несколько, за­пи­ши­те их номера в по­ряд­ке возрастания.

		№	Задания №11
		1	Найдите ве­ли­чи­ну остро­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если бис­сек­три­са угла A об­ра­зу­ет со сто­ро­ной BC угол, рав­ный 15°. Ответ дайте в градусах.
		2	Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
		3	В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
		4	На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
		5	Какие из следующих утверждений верны?  1) Через любые три точки проходит не более одной окружности. 2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек. 3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются. 4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
№	Задания  № 10
1	В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Угол DAC равен 47°, а угол CAB равен 11°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Ответ дайте в градусах.
2	На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.
3	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.
4	На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны. 2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек. 3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются. 4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

№	Задания №12
1	Биссектриса угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Най­ди­те пе­ри­метр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10.
2	На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
3	Радиус круга равен 1. Найдите его площадь, деленную на π.
4	На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. 2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. 3) Диагонали квадрата делят его углы пополам. 4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

№	Задания №21
1	Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 218⁰. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
2	Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
3	Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.
4	На рисунке изображен ромб  ABCD. Используя рисунок, найдите  tgCDO
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. 3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным. 4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

№	Задания №16
1	Найдите угол  ABC  рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  AD и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 80° соответственно.
2	Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
3	Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
4	На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии. 2) Прямая не имеет осей симметрии. 3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. 4) Квадрат не имеет центра симметрии. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

№	Задания № 18
1	Около тра­пе­ции, один из углов ко­то­рой равен 49°, опи­са­на окруж­ность. Най­ди­те осталь­ные углы тра­пе­ции. Запишите ве­ли­чи­ны углов в ответ без пробелов в по­ряд­ке неубывания
2	В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
3	Площадь ромба равна 54, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.
4	Найдите тангенс угла В треугольника ABC, изображённого на рисунке.
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей. 2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей. 3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. 4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

№	Задания 19
1	Углы вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1:2:3:4. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в градусах.
2	реугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 115°.
3	Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80. Найдите площадь ромба.
4	На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. 3) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

№	Задания  17
1	В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та, мень­шее ос­но­ва­ние и угол при ос­но­ва­нии. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.
2	AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
3	Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 5 и HD = 8. Найдите площадь ромба.
4	На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённой из вершины прямого угла.
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии. 2) Прямая не имеет осей симметрии. 3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей. 4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

№	Задания  20
1	В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD AB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Най­ди­те угол A. Ответ дайте в градусах.
2	Сторона AC треугольника ABC содержит центр описанной около него окружности. Найдите ∠С, если ∠А=75°. Ответ дайте в градусах.
3	Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.
4	На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
5	Какие из следующих утверждений верны? 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. 4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Ответы:№7

1.        672

2.        6

3.        24

4.        4

5.        1

Решение:

1. Пусть р — полупериметр треугольника. Можно не находить высоту, а найти площадь по формуле Герона:  

Ответ: 672

2. Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC, треугольник AOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: . Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, AC = AD·2 = 6.

Ответ: 6.

3. Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей ромба, а гипотенузой — сторона ромба, по теореме Пифагора найдем половину неизвестной диагонали:  Тогда вся неизвестная диагональ равна 8.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Ответ: 24.

4. Из рисунка видно, что длина стороны АС равна 8. Длина средней линии равна половине длины стороны АС, следовательно, 4.

Ответ: 4

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°» — верно, по теореме о вертикальных углах.

2) «Любые две прямые имеют ровно одну общую точку» — неверно, утверждение справедливо только для пересекающихся прямых.

3) «Через любые три точки проходит ровно одна прямая» — неверно, не всегда через три точки можно провести одну прямую.

4) «Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.» — неверно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Ответ: 1.

Ответы №5:

1.        27

2.        128

3.        120

4.        5

5.        23

Решение:

1. Так как ВМ - медиана, следовательно, 

Ответ: 27

2. Угол ACB — вписанный, равен половине центрального угла, опирающийся на ту же дугу, то есть AОВ = 52°. Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен 180° − 52° = 128°.

Ответ: 128.

3. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём стороны прямоугольника. Пусть x — меньшая сторона прямоугольника. Тогда периметр прямоугольника равен 2(х+х+2)=44, откуда х=10. Поэтому площадь прямоугольника равна 10•12=120

Ответ: 120.

4. Расстояние от точки А до середины отрезка ВС равно пяти сторонам клетки, или 5 см.

 

Ответ: 5.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым» — неверно, т. к. смежные углы в сумме составляют 180°.

2) «Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны» — верно, т. к. квадрат — частный случай ромба.

3) «В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности» — верно, т. к. окружность — это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Ответ: 23.

Ответы:  № 9

1.        16

2.        5

3.        25

4.        0.6

5.        234

Решение:

1. Треугольник АВС - равнобедренный. Следовательно,

Ответ: 16

2. Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB. Из теоремы Пифагора:

Ответ: 5.

3. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Так как угол равностороннего треугольника равен 60° и все стороны равны 10, имеем:

Ответ: 25.

4. Синус угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Треугольник BAH — прямоугольный, поэтому 

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы :

 

Тогда

 

Ответ: 0,6.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.» — неверно, если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.

2) «Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.» — верно, сумма смежных углов равна 180°.

3) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.» — верно, если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.

4) «Через любые три точки проходит не более одной прямой.» — верно, через три точки либо нельзя провести прямую, если они не лежат на одной линии, либо можно, но только одну.

Ответ: 234.

Ответы:№ 11

1.        30

2.        10

3.        18

4.        18

5.        124

Решение:

1. Введём обозначения, как показано на рисунке. Углы BEA и EAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC. Поскольку AE — биссектриса угла A, BAD=2˪BAE=2˪BEA=30⁰.  Сумма смежных углов параллелограмма равна 180⁰, поэтому угол ABC равен 150⁰. Таким образом, острый угол параллелограмма равен 30⁰

Ответ: 30.

2. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора найдём AO

Найдём  

Ответ: 10.

3. Введём обозначения, как показано на рисунке. Тогда  Треугольник AKB прямоугольный и равнобедренный, тогда высота BK равна 3. Откуда 

 

Ответ: 18

4. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Таким образом,

Ответ: 18.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Через любые три точки проходит не более одной окружности.» — верно, Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Если точки лежат на одной прямой, то окружность провести невозможно. Тем самым, через любые три точки можно провести не более одной окружности.

2) «Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.» — верно, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, то окружности имеют две общие точки, если окружности касаются то окружности имеют одну общую точку, если расстояние больше радиуса, то окружности не имеют общих точек.

3) «Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются» — неверно, окружность, радиус которой равен 3, лежит внутри окружности с радиусом 5.

4) «Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Ответ: 124.

Ответы: №10

1.        122

2.        441

3.        480

4.        8

5.        34

Решение:

1. Угол DAB равен 47° + 11° = 58°, а сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Поэтому угол ADC равен 180° − 58° = 122°. Он и является наибольшим.

Ответ: 122.

2. Пусть длина большей дуги АВ равна х. Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Ответ: 441.

3. Пусть а — длина основания равнобедренного треугольника, b — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, h — высота, проведенная к основанию a. Высота равнобедренного треугольника, проедённая к основанию, также является его биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме Пифагора:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

Ответ: 480.

4. По рисунку видно, что длина большей диагонали равна 8.

Ответ: 8.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие точки.

3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Ответ: 34.

Ответы: №12

1.        44

2.        40

3.        1

4.        20

5.        3

Решение:

1. Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых, поэтому углы BAK и BKA также равны. Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный, откуда AB = BK = 6. Противоположные стороны параллелограмма равны. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон P = 2(BC + AB) = 2(6 + 10 + 6) = 44.

Ответ: 44.

2. Проведём радиус AH в точку касания. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём 

 

Ответ: 40.

3. Площадь круга равна:

Ответ: 1.

4. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Таким образом,

 

Ответы №21:

1.        71

2.        60

3.        1344

4.        0,75

5.        234

Решение:

1. Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, в условии говорится о сумме углов при основании. Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны. Значит, каждый из них равен 109°. Сумма односторонних углов трапеции равна 180°, поэтому меньший угол равен 180° − 109° = 71°.

Ответ: 71.

2. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол АСВ равен 90°. Таким образом:

Ответ: 60

3. Пусть катеты имеют длины a и b а гипотенуза — длину c. Пусть длина высоты, проведённой к гипотенузе равна h. Найдём длину неизвестного катета из теоремы Пифагора:

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов:

Ответ: 1344.

4. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник COD — прямоугольный, поэтому 

Ответ: 0,75.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.» — неверно, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2) «Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3) «Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.» — верно, остроугольным называется треугольник у которого все углы меньше 90°.

4) «В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.» — верно, по теореме Пифагора.

Ответ: 234.

Ответы:  №16

1.        110

2.        3

3.        17

4.        10

5.        3

Решение:

1. Сумма углов треугольника ACD равна 180°, поэтому D=70⁰. Так как основания трапеции параллельны, углы CAD и BCA равны как накрестлежащие. Так как трапеция равнобедренная, сумма её противоположных углов равна 180°, поэтому ˪ABC=180⁰-˪D=180⁰-70⁰=110⁰.

Ответ: 110

2. Угол BOC — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы BAC вписанный, он равен половине дуги, на которую он опирается. Поскольку эти углы опираются на одну и ту же дугу, ∠BOC = 2∠BAC. Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник ABC — равнобедренный, углы при его основании равны, поэтому  Следовательно, угол BОC = 3°.

Ответ: 3.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что угол В тупой, поэтому центр окружности лежит вне треугольника. Очевидно, что это не влияет на справедливость вышеприведенного решения — задачу можно решить и вовсе без рисунка. Поэтому мы не стали менять тот рисунок, который был дан авторами задания.

3. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Имеем:

Ответ: 17.

4. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к данной стороне:

Ответ: 10

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.»— неверно, плоская фигура обладает

центральной симметрией, если она симметрична сама себе относительно центра

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, каждая ось симметрии любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон проходит через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Квадрат не имеет центра симметрии.» — неверно, центр симметрии квадрата является точка пересечения диагоналей.

Ответ: 3.

Ответы:18

1.        49131131

2.        97

3.        6

4.        3,5

5.        123

Решение:

1. Пусть углы трапеции равны ά,  β,   и угол ά=49⁰. Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°: ά+ =180⁰, откуда  Сумма смежных углов в трапеции равна 180°, следовательно,   Тем самым, три неизвестных угла равны 49°, 131° и 131°.

Ответ: 49131131.

2. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 83° = 97°.

Ответ: 97

3. Пусть сторона ромба равна a, тогда

Ответ: 6.

4. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 3,5.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.» — верно, прямоугольник является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

2) «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.» — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, при нечетном количестве углов каждая ось симметрии проходи через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.» — неверно, у равнобедренной трапеции нет точек симметрии.

Ответ: 123.

Ответы: 19

1.        36

2.        57,5

3.        2400

4.        4

5.        1

Решение:

1. Пусть x — меньший угол четырехугольника, тогда другие его углы равны 2х, 3х и 4х. Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° имеем:

Таким образом, меньший угол четырёхугольника равен 36°.

Ответ: 36.

2. Угол ACB − вписанный угол, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Т. е. 

Ответ: 57,5.

3. Введём обозначения, как показано на рисунке. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть АС=80. Рассмотрим треугольник АВО он прямоугольный, из теоремы Пифагора найдём ВО:

 

Найдём площадь ромба как половину произведения его диагоналей:

Ответ: 2400.

4. Расстояние от точки А до середины отрезка ВС равно четырём сторонам клетки, или 4 см.

 

Ответ: 4.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.»— верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2) «Любые два равнобедренных треугольника подобны.» — неверно, так как углы, заключенные между пропорциональными сторонами, не равны.

3) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла.

4) «Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.» — неверно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

Ответ: 1.

Ответы: 17

1.        16

2.        22

3.        156

4.        2,5

5.        13

Решение:

1. Проведём вторую высоту и введём обозначения, как показано на рисунке. Треугольник ABH — прямоугольный, угол ABH=180⁰-90⁰-45⁰=45⁰. углы BAH и ABH равны, следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, AH=BH=5. В четырёхугольнике HBCK BC параллельно HK.  И ВН параллельна СК,  следовательно, он параллелограмм. Угол ВНК=90⁰, значит, НВСК — прямоугольник, откуда ВН=СК=5 и ВС=НК=6. Поскольку трапеция равнобедренная, углы ВАН и CDK равны. Треугольники ABH и CDK прямоугольные, BH=CK, ˪BAH=˪CDK,  следовательно, эти треугольники равны, откуда AH=KD= 5. Большее основание трапеции AD=AH+HK+KD=5+6+5=16

 

Ответ: 16.

2. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 79° = 158°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 158° = 22°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 22°.

Ответ: 22.

3. Из прямоугольного треугольника АВН, найдём ВН:

Площадь ромба можно найти как произведение основания на высоту:

Ответ: 156.

4. Введем обозначения, как показано на рисунке и проведём медиану треугольника AH. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна  В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы, т. е. 5 : 2 = 2,5.

Ответ: 2,5.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.»— верно, при четном количестве углов оси симметрии проходят через противоположные вершины и через середины противоположных сторон.

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.» — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

4) «Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.» — неверно, у равнобедренного треугольника одна ось симметрии.

Ответ: 13.

Ответы: 20

1.        71

2.        15

3.        198

4.        36

5.        24

Решение:

1. Проведём диагональ BD. Рассмотрим треугольники ABD и BCD, AB равно BC, AD равно CD, BD — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда ∠CBD = ∠ABD = ∠B/2 = 38,5° и ∠CDB = ∠ADB = ∠D/2 = 70,5°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда ∠A = 180° − ∠ABD − ∠ADB = 180° − 38,5° − 70,5° = 71°.

Ответ: 71.

2. Так как AC — диаметр окружности, то дуга AC равна сумме дуг AB и BC и равна 180°. А так как углы ACB и BAC — вписанные и опираются на эти дуги, то их сумма равна , а значит, 

Ответ: 15.