- 27.11.2018
- 550
- 0
Данная работа представляет из себя модуль дистанционного обучения «Трудные темы по физике. Сложные электрические цепи», разработанный в рамках программы переподготовки управленческих и педагогических кадров «Большие вызовы». Может являться материалом для самостоятельного изучения школьниками, а также вспомогательным материалом для учителей, которые готовят школьников к олимпиадам по физике муниципального и регионального уровней. Представлен как теоретический материал, необходимый для освоения указанной «трудной» темы, так и практический – собрана небольшая коллекция задач из олимпиад прошлых лет с решениями. Распространяется в сети интернет свободно.
Содержание
1.ПРОГРАММА ДИСТАНЦИОННОГО МОДУЛЯ ОБУЧЕНИЯ «ТРУДНЫЕ ТЕМЫ ПО ФИЗИКЕ. СЛОЖНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ»
Модуль рассчитан на 12 часов, из них 8 часов – разбор методов и решений олимпиадных задач прошлых лет самостоятельно или совместно с наставником, 4 часа – самостоятельное выполнение домашних заданий, обсуждение решений на форуме и обратная связь.
Программа дистанционного модуля обучения «Трудные темы по физике. Сложные электрические цепи»
заня-тияТема занятия (теоретическая часть)
Задачи для разбора (практическая часть)
Домашнее задание
Основные законы электрических цепей. Закон Ома для участка цепи и для полной цепи
Термины и определения. Активное и реактивное сопротивление. Эквивалентная схема.
Классификация олимпиадных задач на электрические цепи
Последовательное и параллельное соединение резисторов, катушек, конденсаторов. Задачи на нахождение полного сопротивление
«простых» цепей. Нахождение эквивалентной схемы.
Задачи классические
Метод эквивалентных схем:
Метод соединения узлов
Метод размножения узлов
Метод расщепления ветвей
Задачи «Мост», «Звезда», «Звезда в треугольнике», «Куб», «решетка»
Задачи «Конвертик», «Звезды»
Метод эквивалентных схем:
Рекуррентный метод
Задачи на периодические цепи «бесконечная цепь», «челюсти», «вагоны»
Задачи на периодические цепи
Метод Кирхгофа. Алгоритм метода и два правила Кирхгофа.
Метод эквивалентного источника
Задачи на разветвленные цепи с несколькими источниками
Задачи на поиск эквивалентного источника
Баланс мощности
Задачи на правила Кирхгофа с проверкой решения по балансу мощностей
Любые задачи на электрические цепи, в которых найдены токи во всех ветвях
Метод контурных токов
Задачи по методу Кирхгофа и МКТ
Метод узловых потенциалов
Задачи «перемычка без резистора», «конденсаторы», «нелинейные цепи», «квадратная сетка»
«перемычка с резистором»
Мини-олимпиада по модулю
Рефлексия
Соревновательное решение задач по теме модуля.
Одна из трудных для школьников тем по физике – «Сложные электрические цепи». В разделе представлены материалы, разработанные для дистанционного модуля по этой теме и могут быть использованы как учителями для подготовки детей к соревнованиям по физике, так и для самостоятельного освоения школьниками.
Электрические цепи могут включать следующие элементы: источники ЭДС, резисторы, конденсаторы, катушки, диоды и другие нелинейные элементы. В задачах требуется найти ток в какой-либо ветви, падение напряжения на элементе, заряд на обкладке, сопротивление на участке и т.д. В связи с этим возникает вопрос о методах, оптимальных для конкретных задач.
Методы решения задач могут быть аналитические (получение выражения-формулы для искомой величины), графические (точные или приближенные вычисления с использованием графиков – ВАХ, временных зависимостей и др.).
Существует множество способов расчета электрических цепей, состоящих из батарей и резисторов [1]. Практически любой из них годится и для цепей батарей и конденсаторов, а при переходе к комплексным числам – и для цепей переменного тока.
Рассмотрим простые способы расчета ЭЦ постоянного тока, состоящих из резисторов и источников питания.
Поскольку преподаваемый раздел подразумевается для углубленного изучения физики, то нет необходимости объяснять школьникам азы физики постоянного и переменного тока. Однако напомнить ребятам некоторые моменты будет все же полезно. К таким моментам относятся: законы параллельного и последовательного соединения элементов (соотношения для токов и напряжений на элементах), закон Ома для участка цепи и закон Ома для полной цепи [2], закон сохранения энергии (баланс мощности, выделяемой в цепи), закон Джоуля-Ленца. Полезным будет вспомнить об идеальных и реальных амперметре и вольтметре [3], активном и реактивном сопротивлениях.
СОПРОТИВЛЕНИЕМ в электротехнике называется величина, которая характеризует противодействие участка цепи электрическому току. Оно обусловлено преобразованием электрической энергии в другие типы энергии.
В ЭЦ имеется необратимое изменение энергии и передача энергии между участниками электрической цепи. При необратимом изменении электроэнергии участка цепи в другие виды энергии СОПРОТИВЛЕНИЕ элемента является АКТИВНЫМ, а при осуществлении обменного процесса электроэнергией между элементом цепи и источником – РЕАКТИВНЫМ [4].
Электрическая энергия в элементе может преобразовываться в тепловую, световую, механическую и другие виды энергии, таким образом, элемент, в котором происходит это НЕОБРАТИМОЕ преобразование, обладает АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ.
В индуктивном элементе (катушке индуктивности или резисторе, скрученном в спираль), электрический ток создает магнитное поле. Под воздействием переменного тока в элементе возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует изменению магнитного потока в элементе (закон Фарадея), и, таким образом, имеет РЕАКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.
Аналогичный обмен энергией происходит между источником ЭДС и конденсатором при протекании переменного тока. Конденсатор заряжается и разряжается, что означает протекание тока в цепи и, соответственно, РЕАКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.
Индуктивный и емкостной элемент (иногда это не конденсаторы и катушки, а паразитные емкости и индуктивности участка цепи, имеющего скрутки и близкие расположения проводников) в цепи переменного тока работают какое-то время как потребители энергии (накапливая магнитное и электрическое поле), а какое-то время являются эффективными генераторами, возвращая и преобразуя накопленную энергию обратно в цепь в виде электричества.
Реальные элементы ЭЦ имеют все три сопротивления сразу - АКТИВНОЕ (иначе говоря, РЕЗИСТИВНОЕ, или омическое), ИНДУКТИВНОЕ И ЕМКОСТНОЕ. Но иногда можно пренебречь некоторыми из них ввиду малости величин.
При прохождении тока через элементы, имеющие активное сопротивление, потери выделяющейся мощности необратимы. Примером может служить резистор, выделяющееся на нем тепло, которое обратно в электрическую энергию не превращается [5]. Кроме резистора активным сопротивлением может обладать линии электропередач, соединительные провода, обмотки трансформатора или электродвигателя.
Отличительной чертой элементов, имеющих чисто активное сопротивление – это совпадение по фазе тока и напряжения, поэтому вычислить его можно по формуле.
Активное сопротивление зависит от физических параметров проводника, таких как материал, площадь сечения, длина, температура.
При прохождении переменного тока через реактивные элементы возникает реактивное сопротивление. Оно обусловлено, в первую очередь, ёмкостями и индуктивностями.
Индуктивностью в цепи переменного тока обладает катушка индуктивности, причём в идеальном случае, активным сопротивлением её обмотки пренебрегают. Реактивное сопротивление катушки переменному току создаётся благодаря её ЭДС самоиндукции. Причем с ростом частоты тока, сопротивление также растёт.
Конденсатор обладает реактивным сопротивлением благодаря своей ёмкости. Его сопротивление с увеличением частоты тока уменьшается, что позволяет его активно использовать в электронике в качестве шунта переменной составляющей тока. Сопротивление конденсатора можно рассчитать по формуле
Цепи переменного тока обладают полным сопротивлением. Полное сопротивление элемента является комплексным, оно называется ИМПЕДАНС (и находится как . Комплексность его возникает в результате представления гармонических колебаний в виде комплексных функций по формуле Майера) Вещественная часть полного сопротивления называется АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ, а мнимая – РЕАКТИВНЫМ. Модуль импеданса находится по формуле
.
На диаграмме это выражение можно представить в виде ТРЕУГОЛЬНИКА СОПРОТИВЛЕНИЙ (считая резистивный, индуктивный и емкостной элементы соединенными последовательно):
На треугольнике видно, что катетами являются активное и реактивное сопротивление, а гипотенузой - полное сопротивление.
Для обобщения представленных сведений можно вместе с ребятами составить и проанализировать следующую таблицу (табл. 3.1).
Соотношения токов и напряжений на элементах цепи при их последовательном и параллельном подключении.
Последовательное соединение
Параллельное соединение
Ток
Напряже-ние
Сопро-тивление
Емкость
Индук-тивность
Другие названия метода эквивалентных схем (МЭС), встретившихся автору работы в книгах и на просторах интернет: метод эквивалентных преобразований, метод свертывания. Здесь будем использовать аббревиатуру – МЭС.
Метод эквивалентных схем (МЭС) заключается в том, что исходную схему электрической цепи надо УПРОСТИТЬ, для чего ее необходимо представить в виде последовательных участков, на каждом из которых соединение элементов схемы либо последовательно, либо параллельно. Под УПРОЩЕНИЕМ СХЕМЫ будем понимать соединение или разъединение каких-либо узлов схемы, удаление или добавление резисторов, конденсаторов, добиваясь того, чтобы новая схема, состоящая из последовательно и параллельно соединенных элементов, была эквивалентна исходной.
Эквивалентная схема – это такая схема, в которой токи и напряжения на соответствующих участках такие же, как в исходной схеме. В этом случае все расчеты производятся с преобразованной схемой.
МЭС годится для сравнительно простых цепей (что считать простыми ЭЦ?), поэтому применяется сравнительно редко, так как далеко не каждую цепь можно упростить. Последовательно и параллельно соединенные резисторы заменяем их эквивалентами, шаг за шагом упрощая схему. После того, как найдены токи в цепи, выполняется обратное преобразование – развертывание цепи к исходной, с нахождением токов в элементах.
Для получения эквивалентной схемы цепи со сложным смешанным соединением элементов можно воспользоваться несколькими приемами [6]:
метод эквипотенциальных узлов;
метод исключения участков цепи;
метод «размножения» узлов;
метод расщепления ветвей;
рекуррентный метод;
метод Иона Тихого.
Рассмотрим некоторые из этих методов.
Этот способ заключается в том, что в симметричных схемах отыскиваются узлы с равными потенциалами (ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УЗЛЫ). Эти узлы соединяются между собой, причем, если между этими точками был включен какой-то участок схемы, то его отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов на концах ток по нему не течет и этот участок никак не влияет на общее сопротивление схемы [7].
Таким образом, замена нескольких эквипотенциальных узлов одним приводит к более простой эквивалентной схеме.
Рассмотрим примеры решения задач этим методом.
Рассчитать сопротивление между точками А и В данного участка цепи. Все резисторы одинаковы и имеют сопротивления r. [7]
В силу симметрии ветвей цепи точки С и D являются эквипотенциальными. Поэтому резистор между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные точки С и D соединяем в один узел. Получаем очень простую эквивалентную схему:
Сопротивление схемы равно: .
Задача решена.
Найти сопротивление схемы между точками B и F. Сопротивления всех ребер звезды равны r [7].
Линия BF делит звезду на две симметричные части. Найдем эквипотенциальные точки. В точках потенциалы равны, значит сопротивление между ними можно отбросить. Эквивалентная схема выглядит так:
Сопротивления участков и равны, а эти участки подключены параллельно друг другу. Сопротивление каждого из них найти легко:
А полное сопротивление – в два раза меньше, т.е. .
Задача решена.
Найти сопротивление схемы между точками B и А. Сопротивления всех ребер равны r [7].
Точки С и D имеют равные потенциалы, т.к. линия СD – ось симметрии схемы. Исключением сопротивление между ними. Получаем эквивалентную схему:
Искомое сопротивление
Задача решена.
Найти сопротивление схемы между точками А и B. Сопротивления всех ребер равны r [7].
Как видно из схемы узлы, имеют равные потенциалы. Соединим их в узел . Узлы также имеют равные потенциалы, их соединим в узел . Получим такую эквивалентную схему:
Сопротивление на участке А-А1 равно сопротивлению на участке А2-В и равно , а сопротивление на участке А1-А2 равно . Полное сопротивление Задача решена.
Рекуррентным называется метод, при котором задача решается по шагам, причем на каждом следующем шаге используются результаты, полученные на предыдущих шагах. Этот метод становится удобным, когда схема имеет повторяющиеся элементы и число элементов цепи велико [12].
Особую группу образуют задачи на расчет эквивалентных сопротивлений бесконечных цепей. Как правило, эти цепи симметричны и во многих случаях содержат одинаковые элементы (резисторы). Рассматриваемые задачи можно разбить на три группы: а) линейные (одномерные); б) плоскостные (двумерные); в) объемные (трехмерные). Последние два типа задач решаются только с помощью искусственного приема [7], содержание которого будет рассмотрено в следующей типичной задаче [8].
Найти сопротивление R между точками A и B в схеме, состоящей из бесконечного числа одинаковых резисторов сопротивлением r.
Выделим в этой цепи бесконечно повторяющееся звено, оно состоит в данном случае из трех первых сопротивлений. Если мы отбросим это звено, то полное сопротивление бесконечной цепи от этого не изменится, так как получится точно такая же бесконечная цепь.
Так же ничего не изменится, если мы выделенное звено подключим обратно к бесконечной цепи, но при этом следует обратить внимание, что часть звена и бесконечная цепь сопротивлением R соединены параллельно. Таким образом получаем эквивалентную схему:
Для этой схемы находим полное сопротивление:
Решая систему этих уравнений, получаем: . Задача решена.
Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки, которая состоит из одинаковых проволочных резисторов сопротивлением r каждый [13].
Эквивалентная схема представлена на рисунке.
Повторяющаяся секция состоит из четырех резисторов. Полное сопротивление цепи находим, полагая .
Двигаясь по эквивалентной схеме справа налево, получим сопротивления:
Преобразуя последнее уравнение, получаем:
Откуда следует, что
Отрицательный корень уравнения не имеет смысла. Окончательный результат:
Задача решена.
Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки, которая состоит из одинаковых проволочных резисторов сопротивлением r каждый [13].
Чтобы найти эквивалентное сопротивление цепи, необходимо сначала выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Понятно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится. Выделить повторяющуюся секцию в рассматриваемой цепи можно, но заменить сопротивление остальной части цепи искомым сопротивлением Rх нельзя, т.к. оставшаяся часть схемы имеет четыре соединительных провода. Если посмотрим на каркас слева, то получим изображение цепи в перспективе, приведенное на рисунке:
Из симметрии этого рисунка видно, что потенциалы точек, лежащих на луче D, одинаковы между собой и равны потенциалам точек, лежащих на луче С. Исключим из рассмотрения пассивные резисторы, соединяющие точки С и D (см. рисунок ниже).
Полученная схема является бесконечной, и при исключении внешней рамки, содержащей точки А и В, мы получим схему с таким же сопротивлением. Нарисуем эквивалентную схему.
Красная фигура в центре заменяет эквивалентное сопротивление, равное искомому R, т.к. цепь бесконечна и при исключении внешней рамки общее сопротивление цепи не изменится.
Получаем систему:
Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни и исключаем отрицательный. Окончательный ответ будет: . Задача решена.
Больше задач на бесконечные цепи (плоские и объемные) можно посмотреть в источниках [13, 9, 10].
Иногда бывает целесообразнее замена одного узла несколькими узлами с равными потенциалами, что не нарушает электрических условий в остальной части цепи.
Найти сопротивление схемы между точками А и B. Сопротивление стороны малого квадрата равно r [7].
Разделим узел О на два эквипотенциальных узла О1 и О2. Теперь схему можно представить, как параллельные соединение двух одинаковых цепей.
Поэтому достаточно рассчитать сопротивление одной из них: Тогда полое искомое сопротивление
Задача решена.
Помимо метода размножения узлов, известен еще и метод расщепления ветвей. Обычно несколько параллельных и последовательных ветвей заменяют одной эквивалентной ветвью, но иногда можно сделать и наоборот – не объединить ветви, а расщепить.
Покажем на примере [12].
Найти сопротивление схемы между точками А и B. Сопротивление резистора между соседними узлами равно r [7].
В ветви ОС заменим сопротивление на два параллельно соединенных резистора сопротивлением по 2r. Теперь узел С можно разделить на 2 эквипотенциальных узла С1 и С2. Эквивалентная схема в этом случае выглядит так:
Сопротивление на участках ОС1B и OC2D одинаковы и равны, как легко подсчитать, по 3r. Новая эквивалентная схема:
Сопротивление на участке AOB (не включая участок АО) равно сопротивлению на участке AОD (не включая участок АО). Найдем эти сопротивления:
Окончательная эквивалентная схема будет состоять из трех параллельно соединенных сопротивлений:
Ее общее сопротивление равно
Задача решена.
Правила Кирхгофа – правила, которые показывают, как соотносятся токи и напряжения в электрических цепях. Они были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году [11]. В литературе их часто называют законами Кирхгофа, но это не верно, так как они не являются законами природы, а были выведены из третьего уравнения Максвелла при неизменном магнитном поле. Здесь мы их будем именовать - правила Кирхгофа.
Правила Кирхгофа удобно применять во многих задачах на разветвленные цепи, содержащие несколько источников ЭДС. На основании правил Кирхгофа составлены методы анализа ЭЦ переменного синусоидального тока. Метод контурных токов (МКТ) основан на применении второго правила Кирхгофа, а метод узловых потенциалов (МУП) - на применении первого правила Кирхгофа. Рассмотрим эти правила детально.
Этот метод является универсальным, но расчет вручную возможен для не слишком сложных схем. Для сложных ЭЦ применяется машинный счет. Очень удачное методическое пособие [12], в котором методом Кирхгофа решаются задачи на разветвленные цепи переменного тока с резистивными, емкостными и индуктивными элементами (в том числе со взаимными индуктивностями) с поясняющими примерами и применением машинного счета, приведена в [18]. Для ученика этот материал может оказаться довольно сложным, поскольку составлялся для студентов 3 курса физ-теха, а для учителя – максимально полезным при освоении этой трудной темы.
На схеме ЭЦ задаются направления токов во всех ВЕТВЯХ цепи.
Задаются направления обхода контуров
Для узлов схемы (всех, кроме одного любого) составляются уравнения по первому правилу Кирхгофа
Для контуров схемы (всех, кроме одного) составляются уравнения по второму правилу Кирхгофа.
Число независимых уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Рассмотрим подробнее правила Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа формулируется так:Алгебраическая сумма токов в УЗЛЕ ЭЦ равна нулю. Или, иначе, сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих из узла токов. Математически это правило выражается формулой: , где ток условно берется со знаком «плюс», если втекает в узел, и со знаком «минус», если вытекает из узла.
УЗЕЛ – это точка соединения ВЕТВЕЙ (см. рис. 3.1.).
ВЕТВЬ – это участок РАЗВЕТВЛЕННОЙ электрической цепи, содержащий один или несколько последовательно соединенных элементов, или, иначе говоря – это участок цепи между двумя узлами.
Первое правило Кирхгофа – это следствие закона сохранения электричества: заряд, приходящий к узлу за некоторый промежуток времени, равен заряду, уходящему за этот же интервал времени от узла, т.е. электрический заряд в узле не накапливается и не исчезает.
Для начала нужно выбрать направления токов в ЭЦ и задать стрелкой направление обхода контура (см. рис. 3.1).
Второе правило Кирхгофа гласит:алгебраическая сумма ЭДС, действующая в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения в этом контуре. Математически: .
Если направление обхода контура совпадает с направлением увеличения потенциала ЭДС, то ЭДС берется со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».
Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то ток берется со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».
КОНТУРОМ называется замкнутый путь от узла по ветвям ЭЦ до этого же узла (см. рис.3.1).
Напряжение участка цепи выражено как произведение тока на сопротивление, в соответствии с законом Ома.
Разветвленная электрическая цепь. Красными стрелками показаны предположительные направления токов, зелеными стрелками – выбранные произвольно направления обхода контуров.
УЗЛЫ: A, B, C, D. ВЕТВИ: AB, AC, BC, CD, BD, AD.
КОНТУРЫ: ABCA, BDCB, ACDA, ABDA
Поясним правила по применению метода Кирхгофа для ЭЦ, представленной на рис. 3.1.
По первому правилу Кирхгофа имеем для токов в УЗЛАХ:
Из узла А все токи вытекают, а в узел D все токи втекают в соответствии с выбранными нами направлениями токов (красные стрелочки на рисунке).
По второму правилу Кирхгофа имеем для алгебраической суммы напряжений в КОНТУРАХ:
В каждой из систем одно из уравнений является линейной комбинацией остальных, поэтому достаточно взять на одно уравнение меньше в каждой системе. Например, для ЭЦ, содержащей М узлов, нужно записать только (М-1) уравнений для токов по первому правилу Кирхгофа, и (К-1) уравнение по второму правилу Кирхгофа, если цепь содержит К контуров.
Чем более разветвленной является цепь, тем больше уравнений и неизвестных содержит система, и тем более громоздкими могут оказаться вычисления. Однако метод довольно прост в применении и годится для цепей постоянного и переменного тока, содержащих активные и реактивные элементы.
Решение задачи сводится к решению объединенной системы линейных уравнений для токов и напряжений и поиску искомых величин. Если в ответе один из токов получается с отрицательным знаком, то, значит, направление тока противоположно тому, что было выбрано на схеме. Таким образом, на правильность ответа в задаче выбор направления токов и обхода контуров не влияет. Правильность полученного ответа можно проверить с помощью баланса мощностей.
Методическое пособие [13], в котором приведены олимпиадные задачи на правила Кирхгофа, доступно для скачивания (ссылка в списке использованных источников).
Несколько задач из этого сборника [19] решим здесь.
Задача 4 из [19]. (Всеросс., 2018, ШЭ, 11). В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, при разомкнутом ключе через амперметр протекает ток силой , а при замкнутом ключе – силой . Определите напряжение между контактами разомкнутого ключа. ЭДС каждого источника , их внутренние сопротивления одинаковы.
Перерисуем схему электрической цепи, учтя внутренние сопротивления источников и амперметра, выбрав направления токов в элементах и направления обхода контуров. На схеме обозначены сопротивления источников ЭДС, равные , и амперметра, равное . В первом случае ток течет только в верхнем контуре, он равен ток через нижний источник не течет. Во втором случае обозначим ток на нижнем источнике ЭДС через , тогда ток через верхний источник ЭДС (см. рис. 3.2) будет равен .
Ключ разомкнут
Ключ замкнут
Поясняющие схемы к задаче 4
Составим уравнения по второму правилу Кирхгофа. (Первым правилом Кирхгофа мы уже воспользовались в уме, когда выражали ток верхнего ЭДС через ток нижнего ЭДС и амперметр.) Наша цепь содержит три контура (верхний, нижний, и большой внешний), поэтому уравнений по второму правилу Кирхгофа будет по два для каждого случая.
Во втором уравнении системы принято, что нижняя клемма разомкнутого ключа заряжена отрицательно, а верхняя – положительно, поэтому при обходе контура через этот элемент (эффективный источник-конденсатор) его разность потенциалов берется со знаком «плюс», так как направление обхода контура совпадает с направлением увеличения потенциала элемента. Разомкнутый ключ аналогичен конденсатору в цепи, заряженному до , а конденсатор аналогичен источнику ЭДС, поскольку может отдавать накопленную энергию обратно в цепь.
Данная система содержит 4 неизвестных (), поэтому может быть решена относительно искомой величины . Решение системы таково:
Задача решена.
Задача 18 из [19]. (Всеросс., 2011, РЭ, 11) В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, ЭДС батареек равны и , сопротивления резисторов составляют . На сколько процентов изменится сила тока, проходящего через амперметр, если сопротивление переменного резистора Rx увеличить на 5%?
Обозначим на схеме электрической цепи направления токов в элементах и направления обхода контуров. Сопротивлениями источников ЭДС и амперметра пренебрежем, а в конце проанализируем, имели ли мы право это делать или же нет. равные , и амперметра, равное . Ток амперметра обозначим через , ток через переменный резистор обозначим через , тогда ток через верхний источник будет равен будет равен .
Составим уравнения по второму правилу Кирхгофа. (Первым правилом Кирхгофа мы уже воспользовались в уме, когда выражали ток верхнего ЭДС через ток нижнего ЭДС и амперметр.) Наша цепь содержит три контура (верхний, нижний, и большой внешний), поэтому уравнений по второму правилу Кирхгофа будет два.
Решая эту систему, получаем, что ток через амперметр не зависит от переменного сопротивления и равен . Т.е. при таким образом подобранных сопротивлениях и ЭДС, а также при условии идеальности источников и амперметра, ток через амперметр не изменится.
Посмотрим, что будет в случае, если учесть внутренние сопротивления источников и амперметра. Обозначим их через для верхнего, нижнего источников и амперметра, соответственно.
Система уравнений примет вид:
Решение для тока через амперметр в этом случае имеет вид:
Считая сопротивления источников и амперметра малыми по сравнению с сопротивлениями резисторов, можно пренебречь последним слагаемым в знаменателе ввиду его малости.
Получим
Далее посмотрим, изменится ли ток, если сначала положить , а затем, после его увеличения на 5%, . Возьмем разницу токов в первом и втором случаях.
Для упрощения записи примем обозначения:
Тогда разность токов выразится так:
Вводя новые обозначения:
,
Получим:
Из полученного выражения можно заключить, что для источников питания и амперметра с ненулевыми внутренними сопротивлениями, увеличение сопротивления переменного резистора повлечет за собой увеличение или уменьшение тока через амперметр (т.к. знак для разности токов «было»-«стало» может быть положительный или отрицательный в зависимости от подбора внутренних сопротивлений). Кроме того, знаменатель во много раз превосходит числитель (примерно в 230 раз, если от замены переменных перейти снова к сопротивлениям и положить, что внутренние сопротивления хотя бы на порядок меньше сопротивлений резисторов). Отсюда следует, что , т.е. значение тока изменится не более чем на 0.4%.
Задача решена.
Для проверки правильности решения задачи и полученных соотношений для токов и напряжений на элементах цепи, применяют уравнение БАЛАНСА МОЩНОСТИ, которое является следствием законом сохранения энергии:
суммарная мощность, вырабатываемая (генерируемая) источниками электрической энергии, равна сумме потребляемых в цепи мощностей.Источники ЭДС вырабатывают электрическую энергию, если направления тока в ветви и увеличения потенциала соответствующего источника ЭДС совпадают, а если направления ЭДС и тока направлены в противоположно друг другу, то источник ЭДС потребляет энергию и его мощность записывают со знаком минус (так бывает в случае, когда в задаче учитывается внутреннее сопротивление истоника ЭДС).
Поясним примером. Для этого в схеме, представленной на рис. 3.1, зададим параметры цепи, найдем токи во всех ветвях и проверим правильность решения задачи с помощью баланса мощности.
Найдите токи во всех ветвях электрической цепи, представленной на рис. 3.1, для следующих параметров:
Для выбранных на рис. 3.1. направлений токов и обходов контуров составим систему линейных уравнений относительно неизвестных токов и решим в общем виде.
При переходе ко второй системе мы учли условия задачи Решение системы в общем виде выражается так:
Подставляя данные в полученные выражения для токов, находим их (округляя до сотых):
Как видим, мы не «угадали» с направлением только одного тока – текущего в нижней ветви цепи. Анализируя рис. 3.1 и полученные значения для токов, заключаем, что источник ЭДС в ветви AD генерирует электрическую мощность (направление тока совпадает с направлением возрастания потенциала ЭДС, найденный ток в этой ветви отрицательный и направлен противоположно стрелочке на рисунке). Источник ЭДС в ветви BD является потребителем электрической энергии, наряду с резисторами в цепи, так как направление тока в нем противоположно направлению возрастания потенциала ЭДС.
Т.е. работу по перемещению зарядов в данной цепи выполняет нижний источник ЭДС, а правый источник ЭДС этому препятствует.
Проверим правильность решения задачи, составив уравнение БАЛАНСА МОЩНОСТЕЙ. В одной части уравнения представим суммарную мощность, выделяемую источниками, в другой части – суммарную мощность, потребляемую резисторами. В общем виде для нашей схемы уравнение примет вид:
В левой части уравнения стоят знаки «минус», так как для обоих источников ЭДС направления тока на схеме и направления ЭДС (точнее, направление увеличения потенциала ЭДС) противоположны. Подставляя числа, получим:
.
Как видим, баланс мощностей выполняется (с учетом погрешности на округление), значит, токи найдены верно.
Задача решена.
Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество - это уменьшение количества уравнений до В – У +1, где В - количество ветвей, а У - количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.
КОНТУРНЫЙ ТОК – это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ ТОК в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.
КОНТУРНАЯ ЭДС – это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.
СОБСТВЕННЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.
ОБЩИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.
Общий алгоритм составления уравнений:
1 – Выбор направления действительных токов.
2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.
3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров
4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов
5 – Нахождение действительных токов
Рассмотрим метод контурных токов на примере задачи {Задача 1 из [19]}, решенной выше по методу Кирхгофа.
Электрическую схему для решения задачи по методу контурных токов нарисуем в следующем виде (можно сравнить с рис. 3.2).
Схема с выбранными контурными токами (зеленые стрелки) и действительными токами в ветвях (красные стрелки).
В верхнем и нижнем контуре зелеными стрелками показаны контурные токи и их направления. Из рис. 3.3 видно, что контурные токи равны действительным токам в верхней и нижней ветвях, а действительный ток в средней ветви является алгебраической суммой контурных токов: , т.к. направления контурных токов в средней ветви совпадает с направлением действительного тока в средней ветви. Сопротивление контуров равны 3R (верхнего) и (2R+Rx) (нижнего). Составим уравнения аналогично п. 3.4.2.1:
Решая систему уравнений, находим контурные токи, а затем и действительные, по алгоритму, описанному выше.
Наряду с методом контурных токов для анализа электрических цепей используется другой метод, основанный на принципе наложения, который применяется только к линейным системам.
Его суть заключается в том, что токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма их составляющих от каждого источника. То есть каждый источник тока вносит свою лепту в каждый ток в цепи, а чтобы найти эти токи, нужно найти и сложить все составляющие. Таким образом, мы сводим решение одной сложной цепи к нескольким простым (с одним источником).
Порядок расчета [14]:
1 – Составление частных схем, с одним источником ЭДС, остальные источники исключаются, от них остаются только их внутренние сопротивления.
2 – Определение частичных токов в частных схемах, обычно это несложно, так как цепь получается простой.
3 – Алгебраическое суммирование всех частичных токов, для нахождения токов в исходной цепи.
Один из наиболее удобных способов расчета электрических цепей - метод узловых потенциалов (МУП). Метод основан на разумном выборе неизвестных для составляемых впоследствии уравнений. Рассмотрим неразветвленный участок цепи, содержащий резистор и источник тока (рис. 2).
Согласно закону сохранения энергии, ток на этом участке равен
,
откуда видно, что для нахождения токов в каждой из ветвей достаточно знать потенциалы на ее концах (точнее — разности потенциалов). Точки соединения неразветвленных участков цепи (ВЕТВЕЙ) называют УЗЛАМИ, отсюда и название способа — метод узловых потенциалов.
Таким образом, в качестве неизвестных величин для составления уравнений, выбирают потенциалы узлов схемы. Удобно потенциал одного из них (любого) принять равным нулю. Тогда потенциалы остальных узлов будут равны напряжениям, измеренным относительно выбранного нами узла. Уравнения для определения узловых потенциалов записываются для токов, которые втекают в узлы и вытекают из них: сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих.
Если в схеме М узлов, то неизвестных потенциалов оказывается на один меньше – . Тогда нужно записать уравнения для токов для узлов (еще одно, лишнее уравнение, будет линейно-зависимым от других уравнений системы).
Покажем несколько задач с подробным решением на применение МУП.
В схеме на рис. 1 найти ток через перемычку АВ [14].
Упростим схему, заменив параллельно соединенные резисторы 1 и 3, а также 2 и 4 их эквивалентами. Получится простая цепь с общим сопротивлением
И общим током
Напряжения на резисторах 1 и 3 равны, значит,
.
Но
.
Тогда
.
Аналогично
.
Теперь найдем ток через перемычку АВ.
При обращении числителя в ноль ток через перемычку равен нулю, это возможно при условии , что часто используют для точного измерения неизвестного сопротивления.
Задача решена.
Рассмотренный метод хотя и прост, но очень громоздок. Кроме того, он не универсален — далеко не всякую схему удается так упростить. Например, если на рисунке 1 заменить перемычку резистором, в получившейся схеме не окажется ни параллельно, ни последовательно соединенных резисторов, и это уже совсем другая задача.
Найдите так через нагрузку , подключенную к параллельно соединенным батареям с ЭДС и внутренними сопротивлениями [20].
Перерисуем схему так, как изображено на рисунке 4 и зададим .
Зададим потенциал точки В как , и выразим все точки в схеме.
Из этого уравнения находим потенциал точки В:
Ток через резистор
.
Задача решена.
Задачу к представленной схеме можно сформулировать иначе (см. следующий параграф).
Можно ли параллельно соединенные источники с ЭДС с внутренними сопротивлениями заменить эквивалентным источником? Если можно, то каковы должны быть его ЭДС и внутреннее сопротивление? [20]
Для ответа на эти вопросы нужно попытаться выражение, полученное в предыдущей задаче для тока нагрузки, привести к виду
.
Сравним его с выражением для тока нагрузки, полученным в предыдущей задаче:
.
Деля числитель и знаменатель дроби на , приходим к выражению
,
Откуда получаем
Соответствующая эквивалентная схема электрической цепи будет выглядеть так:
Задача решена.
Можно доказать, что любую систему, состоящую из источников питания и резисторов, подключенную двумя проводами к внешней цепи, можно заменить эквивалентной схемой.
В схеме, изображенной на рисунке, найдите сопротивление между точками А и В. [20]
Аналогично решению, показанному в {Задача «Перемычка без резистора}, подключим к точкам А и В источник с ЭДС , найдем ток через него и рассчитаем общее сопротивление по формуле . В получившейся схеме положим и произвольно расставим направления токов.
Тогда потенциал точки В известен и равен . Обозначим потенциал точки С через , а точки D — через и запишем уравнения для токов в узлах С и D:
Как видим, в этой системе уравнений три неизвестных: потенциалы в указанных точках и ЭДС источника, который мы ввели искусственно для решения задачи.
Решая систему для заданных сопротивлений, находим потенциалы в точках:
Ток, протекающий через узел А (или В, т.к. это точки в одной ветви), находится сложением токов, протекающих через два правых резистора (направления токов на схеме показаны красными стрелочками). Математически это выглядит следующим образом:
В частном случае, когда , получим .
Задача решена.
В ситуации, когда сопротивления резисторов заданы иначе, не пропорциональны друг другу, последовательность рассуждений сохраняется, но выражения для потенциалов, токов и общего сопротивления могут быть более громоздкими.
Для схем с конденсаторами идея расчета та же, но вместо токов узлов нужно рассматривать заряды проводников, соединенных с узлом.
Рассмотрим примеры.
Рассчитайте заряды конденсаторов в схеме, приведенной на рисунке. [20]
Обозначим. (рис. 8) и расставим предполагаемые знаки зарядов обкладок конденсаторов (это можно сделать произвольно, как и для направлений токов в предыдущих примерах. Если знак заряда в ответе получится отрицательным, то, значит, е угадали со знаком при задании зарядов на обкладках). Если конденсаторы вначале не были заряжены, то можно записать:
.
Отсюда получаем
.
Теперь легко найти заряды каждого из конденсаторов.
Задача решена.
Выше мы рассмотрели линейные цепи, содержащие резисторы или конденсаторы, но этот метод годится также и для расчета и нелинейных цепей. Продемонстрируем на примере.
Найдите ток через нелинейный элемент, для которого зависимость тока от напряжения имеет вид:. [20]
Перерисуем схему (рис. 10) и обозначим .
Тогда для узла В получим уравнение:
Или .
Отсюда находим потенциал , а затем и ток нелинейного элемента:
Задача решена.
МУП можно пользоваться и в случае, когда ВАХ нелинейного элемента задана графически. В этом случае полученную при решении уравнений зависимость между током элемента и потенциалом узла нужно изобразить на том же графике, где приведена ВАХ, и найти точку пересечения графиков, т. е. решить уравнение графически.
Какой заряд протечет через батарею (рис. 11)‚ если точки А и В замкнуть перемычкой? [20]
Расставим знаки и значения предполагаемых зарядов на обкладках конденсаторов, учитывая, что участки цепи, содержащие точки А и В, имеют нейтральный заряд, обкладки одного конденсатора имеют равные по модулю и противоположные по знаку заряды, а также учитывая знаки потенциалов батареи.
Шаг 1. Найдем потенциалы точек А и В, приняв потенциал точки D за 0, а точки С за :
.
Из условий:
Найдем заряды на обкладках и потенциалы точек А и В:
Шаг 2. Найдем заряды конденсаторов и потенциалы точек А и В после замыкания перемычки АВ.
После замыкания АВ потенциалы этих точек уравняются, знаки зарядов на конденсаторах останутся прежними, а модули зарядов изменятся (см. рис.). На обкладках конденсаторов, контактирующих с ЭДС, произойдет перераспределение зарядов, и через батарею протечет электрических ток (заряд). На внутренних обкладках, контактирующих с АВ, суммарный заряд останется нейтральным. Тогда заряды на обкладках «было»-«стало» будут удовлетворять соотношениям:
Поскольку емкости левых конденсаторов одинаковы, а также одинаковы разности потенциалов на них, то, следовательно, .
Аналогично, разности потенциалов на правых конденсаторах равны, тогда мы можем записать:
,
Откуда получаем, что . Так как , то
Полный заряд, который протечет через перемычку АВ после замыкания, найдем как .
Задача решена.
В схеме из предыдущей задачи к точкам А и В вместо перемычки подключается заряженный до напряжения , конденсатор емкостью . Найдите заряд конденсатора емкостью .[20]
Рассуждения и шаг 1 такие же, как в предыдущей задаче. Таким образом, при разомкнутой ветви АВ имеем:
Шаг 2.
Поскольку конденсатор АВ был до включения его в цепь заряжен до напряжения , то его заряд был равен (на рисунке начальный заряд конденсатора АВ не показан). Предположим для определенности, что конденсатор АВ включается в цепь положительным потенциалом к точке А. После его подключения в цепь его заряд изменится и станет равен , разность потенциалов на его обкладках также изменится и станет равной , а полный заряд обкладок, контактирующих с точками А и В, будет удовлетворять соотношениям (см. рис.):
.
Искомая величина – заряд . Найдем потенциалы узлов и разности потенциалов на конденсаторах после включения в цепь конденсатора АВ, а также учтя, что :
Составим систему уравнений и решим ее методом матриц относительно неизвестных зарядов:
Таким образом, заряды всех конденсаторов после подключения конденсатора АВ, найдены. Задача решена.
Мы рассмотрели одни из самых популярных методов решения задач на электрические цепи. Многообразие задач неисчерпаемо, поэтому данный модуль будет развиваться, наполняться новыми методами, еще не рассмотренными здесь, и новыми интересными задачами.
В завершение модуля рекомендуется провести тематическую мини-олимпиаду в соответствии с расписанием. После объявления результатов – обсуждение решений и рефлексия.
Основные результаты выполненной работы можно сформулировать следующим образом.
Проведено исследование состояния дистанционного образования в Ульяновской области и проведен мониторинг работы с одаренными детьми. Сделан вывод о высоком потенциале одаренности в УО и сформулирован план региональных мероприятий, направленных на улучшение результатов школьников на межрегиональном и международном уровне.
Проведен аналитический обзор существующих методов решения задач со сложными электрическим цепями, представлен теоретический (методы решения) и практический (задачи с решениями, некоторые – авторские) материалы для учителя и школьника.
Разработан модуль обучения «Сложные электрические цепи» (раздел 3)
При участии автора в регионе запущены проекты:
– Сообщество «Ассоциация победителей олимпиад Ульяновской области» (чат в Телеграм «O-Zone» t.me/Ulapo);
– Сообщество Клуб юных физиков «КлЮФ» (https://vk.com/klyuff);
– Студия «Уроки настоящего г. Ульяновск» (https://vk.com/club_ulapo);
– Факультативные группы по олимпиадной физике на базе опорного вуза региона (Ульяновский государственный университет) и на базе школы (МАОУ Многопрофильный лицей №20 г. Ульяновска) при поддержке Фонда «Потенциал-плюс» (http://tutorcenter.ru).
Проходят регулярные онлайн- и офлайн-встречи «олимпиадников» в «Точке кипения. Ульяновск».
Планы автора по развитию данной темы
Работа с одаренными детьми и подготовка к занятиям позволяет учителям быть «в тонусе», постоянно учиться и развиваться. И хотя эта работа требует много ресурсов (временных, физических), она же и обогащает наставника и его подопечных интеллектуально и эмоционально во время общения, достижения результатов, маленьких открытий. Дети из отдаленных уголков нашего региона, как бывает часто, лишены такого личного общения с наставником, поэтому хорошей траекторией их развития может стать дистанционное обучение, когда есть связь с наставником из регионального центра и занятия носят регулярных характер.
Задача-максимум на ближайший год – наладить систему дистанционного образования по физике и тьюторского сопровождения одаренных детей в регионе на платформе «Архитектор талантов» (система прошла тестовый режим).
Задача-минимум (промежуточные цели) – формировать поэтапно образовательные модули, наподобие представленного в этой работе. Каждый желающий сможет помочь в наполнении этого файла новыми задачами с решениями, теоретической справкой. Для этого необходимо запросить права доступа для редактирования файла, написав автору работы на myavtushenko@mail.ru.
Благодарности
Выражаю искреннюю благодарность ОЦ «Сириус» за идею программы «Большие вызовы», за возможность участвовать в ней мотивированным учителям из регионов, за создание сообщества учителей, работающих в регионах с одаренными детьми, а также за опыт взаимодействия с лучшими наставниками страны.
Благодарю Фонд поддержки талантов Ульяновской области за привлечение меня к работе с одаренными детьми – это оказалось очень увлекательным и развивающим процессом.
Благодарю своих учеников из 20 лицея, моих юных физиков, за помощь в подборке тематических задач, обсуждение их решений, за сложные вопросы и стимул больше узнавать.
Благодарю научного руководителя – Юдина Ивана Сергеевича – за интересные семинары, качественное наставничество и ценный практический опыт.
1 А.Ф. Газизуллина. Рекомендации по решению нетрадиционных задач на расчет электрических цепей постоянного тока
2 ЭДС. Закон Ома для полной цепи.
3В.В. Ефимов. Идеальные и реальные вольтметры и амперметры в цепях постоянного тока//Физика, с.28-39.
4 Активное и реактивное сопротивление
https://electrosam.ru/glavnaja/jelektrotehnika/aktivnoe-i-reaktivnoe-soprotivlenie/
5 Активное и реактивное сопротивление
https://electroandi.ru/toe/ac/aktivnoe-i-reaktivnoe-soprotivlenie-v-tsepi-peremennogo-toka.html
6 А. Хацет. Методы расчета эквивалентных сопротивлений//Журнал Квант. 1972. №2. С. 54-59.
http://kvant.mccme.ru/1972/02/metody_rascheta_ekvivalentnyh.htm
7 Задачник олимпиадника http://fizportal.ru/electric-current-8
8 Методы расчета резисторных цепей
http://toe.umi.ru/primery_reshennyh_zadach/metody_raschyota_rezistornyh_shem_postoyannogo_toka/
9 Форум МАИ. Задачи на бесконечные резистивные цепи. https://club443.ru/arc/index.php?showtopic=131763
10 Форум. Бесконечные цепи.
11 Законы Кирхгофа
13 И.В. Яковлев. Материалы по физике. Правила Кирхгофа
14 Зильберман А., Расчет электрических цепей// Квант. 1988. №8. С.58-61. http://kvant.mccme.ru/1988/08/raschet_elektricheskih_cepej.htm
40
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данная работа представляет из себя модуль дистанционного обучения «Трудные темы по физике. Сложные электрические цепи», разработанный в рамках программы переподготовки управленческих и педагогических кадров «Большие вызовы». Может являться материалом для самостоятельного изучения школьниками, а также вспомогательным материалом для учителей, которые готовят школьников к олимпиадам по физике муниципального и регионального уровней. Представлен как теоретический материал, необходимый для освоения указанной «трудной» темы, так и практический – собрана небольшая коллекция задач из олимпиад прошлых лет с решениями.
6 668 187 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Явтушенко Марина Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72/108 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.