Умножение разности двух выражений на их сумму.

Алгебра 7 класс.

Тема: умножение разности двух выражений на их сумму.

Девиз: “Знания сам добывай и при необходимости их применяй”.

Учебник под редакцией С.А. Теляковского.

Авторы Ю.А. Макарычев, М.Т. Миндюк и др.

Общедидактическая цель урока: восприятие учащимися и первичное закрепление ими нового учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения.

Образовательные аспекты урока: триединая дидактическая цель (ТДЦ).

• познакомить учащихся новой формулой сокращенного умножения и его содержательным смыслом;
• сформировать умение читать и записывать формулу умножения разности двух выражений на их сумму (a-b)(a+b)=-;
• показать применение данной формулы при решении других задач;
• способствовать формированию умений по применению этой формулы при решении различных задач (при умножении многочленов);
• закрепить ранее изученный теоретический материал.

Развивающие аспекты ТДЦ:

• развитие математической речи;
• развитие умений выделять главное, сравнивать, обобщать;
• формирование самостоятельности мышления.

Воспитательные аспекты ТДЦ: воспитание чувства само- и взаимоуважения, чувства коллективизма, воспитание интереса к математике через игровые моменты.

Формы организации познавательной деятельности (ФОПД): групповая, фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: таблица с кроссвордом, карточки для работы в группе, вопросники для работы в паре, таблицы с формулами сокращенного умножения для фронтальной работы, проектор.

Ход урока

I. Вступление.

Учитель. Начинаем наш урок математики. Математика – интересный предмет. Но ее можно хорошо знать только благодаря добросовестной и настойчивой учебе. Мудрость “Без труда не выловишь рыбку из пруда” не обходит стороной и математику.

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело”... “Такого же мнения был и ведущий советский психолог Леонид Владимирович Занков, которому принадлежат слова: “Учиться надо весело, чтоб хорошо учиться”.

Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету. Будьте активны, внимательны и с интересом изучайте материал урока, с большим желанием выполняйте любое задание.

Представьте, что ваш класс – научно-исследовательский институт. Вы, ученики – сотрудники этого института. В институте будут работать несколько лабораторий по изучению математических процессов, которые будут заниматься исследованием алгебраического материала с применением различных преобразований с использованием новых технологий. Во главе каждой лаборатории есть заведующие. Они главные консультанты по выполнению исследовательской работы. (Представляются руководители лабораторий, т.е. руководители групп).

Заведующие лабораториями о результатах работы будут сообщать главному ответственному за выполнение исследовательской работы, т.е. учителю.

Перед началом исследовательской работы слово предоставляется заведующим лабораторий. Они дадут полезные советы. (Ученики подготовлены заранее).

1-й ученик. Настройтесь на успех!

2-й ученик. Воспринимайте математические примеры, как игру.

3-й ученик. Необходимо хорошо понимать смысл правил и теорем.

4-й ученик. Создайте себе окружение из формул, чтобы лучше их запомнить, а в случае необходимости их применить.

5-й ученик. Не ломайте голову в одиночестве. Лучше работать с друзьями сообща. Обмениваясь каждый своим мнением, легче и веселее идти к истинному ответу.

Учитель. Постоянно контролируйте свои действия, т.е. каждый раз проверяйте верность произведенных математических операций. И успех будет обеспечен.

Тема нашей исследовательской работы звучит так “Умножение разности двух выражений на их сумму”. Какие задачи вы поставили перед собой?

Ученики называют:

1. Умножить разность двух выражений на их сумму по правилу умножения многочленов.
2. Узнать, что получится после умножения разности и суммы двух выражений и применить этот способ умножения при решении других задач.

Учитель еще раз повторяет задачи урока и добавляет, что будут работать под девизом: “Знания сам добывай и вовремя их применяй”.

Рис.1

II. Устная работа.

1. Разгадывание кроссворда.

Учитель. Чтобы провести исследовательскую работу, необходимы теоретические знания. Проверим сейчас их запас с помощью математического кроссворда (Рис.1.).

По горизонтали:

1. Символ, с помощью которого обозначают натуральные числа. (Цифра).
2. Выражение . (Многочлен).
3. Значение переменной, при которой уравнение обращается ы верное числовое равенство. (Корень).
4. Степень многочлена . (Восемь).
5. Зависимость одной переменной от другой. (Функция).
6. Выражение, которое является произведениями чисел, переменных и их степеней. (Одночлен).
7. График функций . (Парабола).

Учитель. Какое слово получили по вертикали? (Формула).

Что об этом слове знаем? (Это буквенная запись какого-либо математического утверждения).

Какие формулы получили на последних уроках?

(Ученики вспоминают изученные формулы сокращенного умножения – квадрат суммы и разности двух выражений. Учитель вывешивает таблицы с формулами).

;

.

2. Работа по вопроснику.

Учитель. Найдите по вопроснику №27 и №28 и проверьте друг друга знания ответов на эти вопросы, необходимые для дальнейшей работы.

(Ученики отвечают на вопросы: как умножить многочлен на многочлен? Что называется тождеством?)

3. Выполнение математических операций со степенями.

Вычислить:

А) *=;

Б) =;

В) =;

Г)*)=.

4. Решение выражений с окошечками.

В окошечко вставь одночлен.

А)? ; (Ответ: )

Б)= 14ac + ? (Ответ: ).

5. Вывод после устной работы.

Учитель. Какие математические понятия помогли выполнить ранее представленное вам задание?

Ученики перечисляют:

1. Умножение степеней;
2. Возведение степени в степень;
3. Степень произведения;
4. Возведение одночлена в степень;
5. Умножение одночленов;
6. Квадрат суммы и разности двух выражений.

Обучающий математический диктант с дополнительным заданием, необходимым для дальнейшей работы. Работа проводится у доски и на местах. К доске вызывается ученик. Ученик пишет за доской.

Учитель. Запишите выражения.

1. Вторая степень одночлена . 
2. Разность квадратов 2d и 5k – – 
3. Квадрат разности 12x и 8y. – 
4. Утроенное произведение одночлена  – (=)
5. Произведение двух сумм 7x и 3 и 2x и 1 – (7x + 3) (2x +1)
6. Произведение разности а и в и их суммы – (а – в) (а + в)

(После диктанта проведена взаимопроверка. Ученик, писавший диктант, выполняет на доске умножение многочлена 7x + 3 на многочлен 2x + 1.

(7x + 3) (2x +1)=  + 7x + 6x + 3 = + 13x + 3

6. Изучение нового материала.

1.  Постановка проблемы и ее решение коллективным способом.

Учитель. Произведение (а – в)*(а + в) является предметом нашего исследования. Следует умножить разность двух выражений на их сумму. В каждой лаборатории есть план работы на карточке. Действовать всем сотрудникам надо сообща. Воспользуйтесь теоретическими знаниями, выполните некоторые преобразования, приложите все умения и вы обязательно совершите новое открытие.

Прочитайте план работы.

На карточке написано.

1. Умножьте разность а – в на сумму а + в;
2. Приведите подобные слагаемые, если они есть;
3. Запишите, какое тождество получили.
4. Сделайте вывод, чему равно произведение разности и суммы двух выражений.

2. Вывод о проделанной работе.

После всей работы ученики делают вывод:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Все записывают в тетрадь

(а – в)*(а + в)=+ ва – ва –=

Проверка установленной закономерности.

Учитель: проверим эту закономерность при произведении других двучленов. (Ученик у доски решает).

(2x – 3) (2x + 3)= + 6x – 6x – 9= - 9 = 

Оказывается справедлива эта закономерность и при умножении разности и суммы различных выражений. Полученная формула (а – в)*(а + в)=

тоже является тождеством сокращенного умножения. В дальнейшем произведение разности и их суммы двух любых выражений будем искать по этой формуле. Таким образом, ряд формул сокращенного умножения пополнился.

(Учитель вывешивает еще одну таблицу с формулой (а – в)*(а + в)=. И читают правила по учебнику).

7. Первичная проверка понимания, закрепления знаний и способ действий.

1. Работа у доски с комментированием.

(3x-7y) (3x+7y)= -=;

() (=-=.

2. Работа в группе. (с проверкой).

Выполняется №912 а, б, в, г, з, и.

Учитель: прежде чем начать выполнение номера по учебнику, сравните, чем отличаются выражения.

1) (а – в)*(а + в)=;

2) (а + в)*(а – в)=;

3) (а – в)*(в + а)=.

Во 2 выражении переставлены множители на основе переместительного свойства умножения; в 3 выражении во втором множителе, представляющего в виде суммы, переставили местами слагаемое на основе переместительного закона сложения.

Вывод: все выражения 1, 2, 3 равны, значит все части равны , т.к. все выполняли строго по математическим законам.

(а – в)*(а + в)

(а + в)*(а – в)

(а – в)*(в + а)

Далее выполняют ученики № 912 (а, б, в, г, з, и) и в конце отвечает та группа, которая первая решит все задание.

a) (x-y) (x+y)=

б) (p+g) (p-g)=;

в) (в – a)*(в + а)=;

г) (p-5) (p+5)=;

з) (7+3y) (3y-7)=;

и) (n-3m) (3m+n)=.

3. Разъяснение геометрического смысла получения формулы.

(а – в)*(а + в)=.

Работа проводится в группе (с проверкой).

Полученная формула содержит загадку. Следует по чертежу, на рис.2., который у всех на столах, разъяснить геометрический смысл формулы

(а – в)*(а + в)=; для любых а, в положительных, а>в.

Рис.2

(Площадь прямоугольника со сторонами а-в и а+ в равна площади квадрата со стороной а минус площадь квадрата со стороной в).

4. Коллективный способ обучения (с проверкой).

В группах выполняется задание №916 а, б, в, д. В это время за доской ученик выполняет это же задание, затем проводится проверка. Другой ученик играет у доски в игру “Найди пару”.

№916

А) (2а + ? ) (2а - ? )= (Ответ: в);

Б) (? - 3x) (? + 3x) =  (Ответ: 4y);

В) (5x + ? ) (5x - ? ) = (Ответ: );

Д) (? ) ( + ? ) = 121(Ответ: ).

Играющему ученику даны карточки. На одних из них записана левая часть тождества, на других правая. Ученик должен положить 2 карточки рядом так, чтобы получилось тождества.

1. () ()= - = ()

2. (0,7x  (0,7x  =

3.  

4.  =  -  + 

5.   = 

Ученик оставляет на наборном полотне только те тождества, которые соответствуют теме сегодняшнего урока, т.е. (1), (2), (5).

8. Подведение итогов урока. Задание на дом.

Учитель. Какая проблема стояла перед нами сегодня? Какое открытие сегодня сделали? (Произведение разности двух выражений на их сумму равна разности квадратов этих выражений).

Итак, сегодня вы получили новую формулу сокращенного умножения

(а – в)*(а + в)= и применяли эту формулу при умножении двучленов. Эта была главная цель нашей работы.

(Выставляются отметки).

Спасибо всем участникам исследовательской деятельности. Дальнейших успехов.

Чтобы прочно вошла в ваше сознание эта формула, поработайте над ней при выполнении следующего задания дома

№912 (к, л, м).

№916 (г,е).

П.33.

Литература.

1. Ершова А.П., В.В. Голобородько. Алгебра и геометрия г класс, самостоятельные и контрольные работы. “Илекса”. “Гимназия” Москва – Харьков. 2000 г.
2. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. Москва. “Просвещение”. 1998 г.
3. Мордкович А.Г. Математика 7 класс. Москва. “Мнемозина”. 1999 г.
4. Якиманская И.С. технология личностно-ориентированного образования. Библиотека журнала “Директор школы”. Москва. Сентябрь, 2000 г.
5. Учебник под редакцией С.А. Теляковского. Алгебра
6. Алгебра. 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных организаций: к учебнику А.Г. Мордковича/ Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича, - 11 –е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2015. - 112 с.: ил.
7. Алгебра. 7 класс. В 2 Ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович/ Н.П. Николаев. - 4 –е изд., стер. – М. Мнемозина, 2012. - 192 с.: ил.
8. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. А.Д. Семушкин и др. Пособие для учащихся. – М.: “Просвещение”, 1978.
9. Виды учебной деятельности школьников в дистанционном обучении. Г.А. Андрианова. - Интернет-журнал “Эйдос”. - 2004. – Режим доступа: http: // www.eidos.ru/journal/2001/0516.htm
10. Проектирование  современного урока в соответствии с требованиями  ФГОС ООО: методическое  пособие/авт.-сост:  С.В.Фаттахова. Казань, 2015, 90 С.
11. Проблема культурного развития ребенка из книги: (Выготский Л.С. Психология развития человека. — М.: Изд-во Смысл; Эксмо, 2005. — 1136 с.).
12. Справочник учителя математики. Н.А. Ким. – Волгоград: “Учитель”, 2012.
13. Учитель учится математике. Л.И. Фридман. Книга для учащихся. М.: “Просвещение”, 1985.