Урок геометрии "Свойство диагоналей четырехугольника"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Никольская СОШ»

Тема урока

(урок – судебное заседание)

                Провела: учитель математики

                                             Китанина О.В.

Геометрия – 8.

Тип урока: повторение, обобщение и систематизация знаний по данной теме

Цели урока:

1.     Повторение и систематизация материала по теме «Свойства четырёхугольников».

2.     Формирование умений анализировать и обобщать полученные знания и применять их при решении задач.

3.     Развитие познавательного интереса к предмету.

Используемая технология: групповая работа, обучение в сотрудничестве, ИКТ.

Подготовительная работа: выбор действующих лиц, изготовление костюмов.

Учитель. Здравствуйте, уважаемые гости!  Сегодня мы представляем вашему вниманию урок-суд над четырехугольниками. Почему именно над ними? Нас окружают много разных геометрических фигур. Среди них особое место занимают четырехугольники. Человек выбирает для своего удобства именно их. Я думаю, что каждый из вас понимает, что дома удобнее строить в форме прямоугольника, комнаты в них тоже прямоугольные, мебель так же имеют прямоугольную форму. Представьте себе как выглядел бы  наш кабинет, если парты были круглыми или треугольными. Правда, не очень удобно? Представьте себе доску в виде пятиконечной звезды или книги овальной формы. Итак, начнем.

I. Этап: Представление действующих лиц.

Судья – Многоугольник;(Хомякова С.В.)

Прокурор – Треугольник;(Черней Валерия)

Адвокат – Окружность;(Мурзаева Ольга)

Секретарь – Угол;(Маничева Дарья)

Подсудимая – Диагональ;(Горшков Алексей)

Потерпевшие – Квадрат(Жидков Тимур), Ромб(Жидков Рустам), Прямоугольник(Яшкин Даниил), Параллелограмм((Рыжов Сергей), Трапеция(Кузьмин Михаил).

Секретарь: Встать, суд идёт! (Все встают).

II. Этап.

Судья: Уважаемые дамы и господа! Уважаемые Отрезки, Углы, Многоугольники и остальные обитали математического городка! Сегодня мы проводим судебное заседание. На скамье подсудимых – Диагональ, которая обвиняется во многих преступлениях, которые противоречат Уставу нашего математического городка. Слово представляется прокурору – господину Треугольнику.

Прокурор: Уважаемые дамы и господа! С глубокой древности обитатели нашего математического общества жили в мире и согласии, старались дружить. Укреплять и увеличивать свои владения. Но после появления Диагонали всё изменилось. Она входит в доверии ко многим жителям городка, постоянно «делит» их, разбивает на части, что может привести к раздробленности государства. Поэтому я требую наказать её по всей строгости Закона и удалить из нашего городка.

Судья: Начинаем судебное разбирательство в ходе которого Диагональ может воспользоваться правом защиты.

III. Суд геометрических фигур над диагональю (слово предоставляется «потерпевшим»).

Параллелограмм: Друзья мои! Посмотрите на меня внимательно. Параллельность и равенство моих противолежащих сторон придают моей фигуре строгость и оригинальность. У меня даже противолежащие углы равны. И вот, какая – то Диагональ разбила мою фигуру на части. Я с этим не согласен!

( Слово для защиты предоставляется адвокату).

Адвокат: Уважаемые потерпевшие! Уважаемый параллелограмм! Все вы обижаетесь зря. После того, как Диагональ разделила Вас на части, Вы сможете узнать о себе много нового, открыть новые неизвестные до сих пор свойства. Если провести одну диагональ, то она разделит Параллелограмм на два равных Треугольника. А если провести две диагонали, то они разобьют параллелограмм на четыре треугольника, причём ∆ВОА = ∆СОД, ∆ВОС = =∆АОД. Значит, точка пересечения диагоналей О является и их серединой.

Вот видите, как много Вы узнали о себе. Эти знания пригодятся при решении задач.

    В                                С

 

А                            Д

(Слово предоставляется потерпевшему Прямоугольнику).

Прямоугольник: И мою красивую фигуру, у которой все углы прямые, Диагональ делит на части. Я с этим категорически не согласен.

О

     В                                     С   

     А                                     Д

(Слово предоставляется адвокату).

Адвокат: Уважаемый Прямоугольник! Не стоит обижаться. Диагонали разбивают прямоугольник на треугольники, причём ∆АОВ = ∆СОД, ∆ВОС = =∆АОД, ∆АВД = ∆АСД. В этих треугольниках А = Д = 90°. Гипотенузы АС и ВД равны между собой, они и являются диагоналями прямоугольника. Итак, диагонали прямоугольника равны, а это очень важно!

(Слово предоставляется ещё одному потерпевшему).

Ромб: Ну, а уж мою стройную фигуру, у которой все стороны равны, тем более не нужно делить. Я протестую против всякого «разбиения» её на части.

(Слово предоставляется адвокату).

Адвокат: У диагоналей Ромба ещё больше полезных свойств. Если мы проведём его диагонали, то ∆АВД = ∆ДВС, ∆АВС = ∆АДС. Т.к. точка О – является серединой АС, то АО = ОС, значит, ВО – медиана. А т.к. ∆АВС – равнобедренный, то ВО является ещё и биссектрисой, и высотой. Следовательно, в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Это также очень важно при решении задач.                                                                                                        В

 

                                                                                                         А                    С

 

                                                                                                                       Д

Квадрат: Я такой Прямоугольник, у которого ещё и все стороны равны. Меня совсем не имеет смысла делить на части.

О

Адвокат: Так как Квадрат является ещё и                            В                      С

Прямоугольником, то и его диагонали равны.

Поскольку он ещё и Ромб, диагонали пересекаются

под прямым углом и являются биссектрисами

углов. Имеем ∆АОВ = ∆ВОС = ∆СОД = ∆ОДА.               А                       Д

Зная все свойства диагоналей, вы будете легко решать задачи.

(Слово предоставляется потерпевшей ).

Трапеция: Я всё-таки на параллелограмм, хотя и являюсь четырёхугольником. Поэтому о равенстве противолежащих сторон и углов говорить не могу. Внимательно выслушав своих братьев, я поняла, что они не правы, и отказываюсь от своих претензий. 

Адвокат: У тебя, Трапеция, также замечательная                         В               С

конфигурация. Если взять равнобокую трапецию,

то, проведя диагональ, можно увидеть много интересного.  

Так, ∆АВД = ∆АСД, ∆АВО = ∆ОСД, ВД = АС. Кроме того,    А                      Д

∆ВОС ∞ ∆АОД.

Прокурор: Уважаемый адвокат! Говорили Вы долго и убедительно, привели много доказательств в пользу обвиняемой диагонали. И всё-таки я не окончательно убеждён, что Вы правы: действительно ли имеется смысл в делении на части наших сограждан – Четырёхугольников? Мне хочется, чтобы Диагональ сама выступила в свою защиту.

(Слово предоставляется подсудимой Диагонали).

Диагональ: Уважаемые Четырёхугольники! Сегодня вы узнали о себе много нового. Мне хочется, чтобы все увидели практическое значение этих новых свойств. Для этого предлагаем решить самостоятельно несколько задач.

Задача 1. Диагональ параллелограмма делит                     В                              С

его угол в соотношении 1:2, длины сторон

относятся как 1:2. Найдите углы параллелограмма.

Ответ: 60°; 120°.                                                             А                              Д

                                                                                                        М

Задача 2. Известно, что АВСД – ромб.                                          В            М

Под каким углом пересекаются

биссектрисы углов ВАС и ВДС?                                          А                          С

Ответ: 45°.

                                                                                                                Д

Задача 3. В прямоугольнике АВСД 

Е         О         30°                                F

АЕ и ЕF перпендикуляры, опущенные                   В                                     С

из вершин А и С на диагональ ВД.

Угол между диагоналями равен 30°;

ЕА = 2см. Найдите длину диагонали ВД.

Ответ: 8см.                                                                 А                                     Д

Задача 4. Диагональ одного из квадратов

является стороной второго квадрата,

в свою очередь, диагональ второго –

стороной третьего. Найдите отношение

периметров первого и третьего квадратов.

Ответ:

IV. Этап.

Диагональ: Вот видите, уважаемые Четырёхугольники! Познакомившись со свойствами диагоналей, вы без труда справились с решением этих сложных задач.

Прокурор: Дорогие друзья! На сегодняшнем судебном заседании все мы узнали много нового о Четырёхугольниках. И в этом нам помогли уважаемая Диагональ и адвокат Окружность. Надеюсь, что приобретённые знания помогут нам в решении более сложных задач.

Судья: Диагональ! Вы доказали свою невиновность, Вы полностью оправданы и остаётесь в нашем математическом городке.

Секретарь: Суд окончен!