Урок "Изображение пространственных фигур на плоскости."

Изображение пространственных фигур на плоскости

Урок геометрии в 10 классе

Учитель математики Дубовикова Ольга Александровна

Лицей "Технический"

Самара

 2024

Цели урока

1. Образовательные цели.

     Изучение понятия «параллельное проецирование» и его свойств,

формирование навыков построения изображений плоских и пространственных фигур на плоскости, развитие умений читать чертежи.

2. Развивающие цели.

     Развитие абстрактного мышления, пространственного воображения и интуиции, развитие познавательного интереса.

3. Воспитательные цели.

     Обучение умению правильно выражать свою мысль и аргументировано её отстаивать, развитие навыков коллективной работы

Оборудование

     Компьютер, учебный диск, интерактивная доска, проектор,

модели плоских и пространственных геометрических фигур.

План урока.

I. Организационный момент.

II. Определение целей урока.

III. Историческая справка о проективной геометрии, параллельном  проектировании.

IV. Введение нового материала.

V. Закрепление. Практическое применение теоретических знаний.

VI. Вопросы закрепления. Решение задач.

VII. Выводы. Подведение итогов. Задание на дом.

III. Историческая справка о проективной геометрии, параллельном  проектировании.

     В решении геометрических задач всегда поможет наглядный чертёж,  но в то же время все построения на уроках черчения выполняются на основе математических законов.

     Главной задачей урока будет понять, что требуется знать, чтобы наши чертежи всегда были правильными и «хорошими».

     Параллельная проекция всем хорошо знакома. Солнце находится от нас так далеко, что его лучи в любой момент времени можно считать практически параллельными. Поэтому тень от любого предмета на дороге или стене дома представляет собой проекцию этого предмета на плоскость дороги или стены параллельно лучам солнца.

IV. Введение нового материала

       Некоторые свойства изображения фигур на плоскости.

    (Текст свойств и рисунки высвечиваются на интерактивной доске по мере их выявления.  Доказательство свойств проводится в форме решения задач на доказательство по готовым чертежам на интерактивной доске.  У учащихся на столах лежат памятки с перечислением этих свойств).

1. Проекция прямой есть прямая.

2. Проекция отрезка есть отрезок.

3. Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой.

4. Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

V. Закрепление. Изображение пространственных фигур на плоскости.

     Рассмотренными свойствами пользуются при изображении многогранников и тел вращения.

     Пусть ни одна из плоских граней не будет параллельна направлению проектирования. При этом под изображением многогранника будем понимать фигуру, состоящую из проекций всех его ребер. Возможность такого построения следует из теоремы Польке – Шварца.

Теорема Польке – Шварца.

     Любой плоский четырехугольник ABCD (выпуклый или невыпуклый) может быть принят за параллельную проекцию тетраэдра, подобного тетраэдру A₀B₀C₀D₀.

Практическое задание. Изображение тетраэдра.

     Начертите выпуклый и невыпуклый четырехугольники с их диагоналями и продемонстрируйте, что они являются изображениями тетраэдров.

  Практическое задание. Изображение произвольного параллелепипеда.

     Для построения произвольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁

заметим, что точки A, B, D и A₁  являются вершинами тетраэдра ABDA₁. Поэтому в качестве их изображения можно взять вершины произвольного

4-угольника ABDA_1.  Изображение остальных ребер строятся так, чтобы все грани изображения параллелепипеда были параллелограммами.

Важное замечание

     При изображении фигур имеет большое значение выбор правильного ракурса, такого, чтобы чертеж был наглядным.

     В качестве примера приведем варианты изображения куба.

     Какие из приведенных изображений являются верными, а какие - наглядными?

Все изображения являются верными, но наиболее наглядным является изображение №4.

VI. Вопросы закрепления. Решение задач.

1. Письменный опрос (с последующим коллективным обсуждением ответов с помощью моделей фигур и интерактивной доски).

     1) Каким нужно взять направление проектирования, чтобы отрезок АВ

на плоскости чертежа изображается точкой? 

-- h || AB

2)    Какой фигурой на плоскости чертежа изобразится АВС, если направление проектирования параллельно плоскости (АВС)?

-- Отрезком

3) Перечислите несколько свойств геометрических фигур, которые сохраняются при параллельном проектировании.

-- параллельность прямых и отрезков

-- отношение отрезков параллельных прямых

-- деление отрезка в заданном соотношении

4) Перечислите несколько свойств геометрических фигур, которые не сохраняются при параллельном проектировании.

-- расстояния, длины отрезков

-- отношение длин параллельных отрезков

-- величины углов

-- отношение величин углов.

5) В каком случае АВС изобразится на плоскости чертежа, равным ему треугольником A₀B₀C₀?

     -- если (АВС) || (A₀B₀C₀)

6) В каком случае невозможно построить проекцию плоской фигуры?

     -- если направление проектирования параллельно плоскости                      

                изображения.

2. Устный опрос

     1) Какой фигурой  изобразится при параллельном проектировании:

     треугольник, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция?

2)     Какой фигурой  изобразится при параллельном проектировании круг?

-- эллипсом (овалом)

3) Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция?

-- нет (объяснить почему)

4) Может ли при параллельном проектировании параллелограмм изобразиться квадратом?

-- да

3. Практическое задание. Выполнение рисунков на изображение                  

    геометрических фигур.

     (Задания формулируются устно или выдаются карточки с заданиями)

1)    Изобразите на плоскости чертежа 4 параллельные проекции равностороннего треугольника.

а) Построить изображения медиан данного треугольника.

б) Построить изображения высот данного треугольника.

в) Построить изображения биссектрис данного треугольника.

г) Построить изображение средней линии данного треугольника.

2)    Изобразите на плоскости чертежа параллельную проекцию прямоугольного равнобедренного треугольника.

3)    Изобразите на плоскости чертежа параллельную проекцию равнобедренной трапеции.

-- Замечание. Отношение длин параллельных сторон у трапеции сохраняются. Поэтому, если даны размеры или отношение сторон трапеции, то при построении изображения этой трапеции нужно учитывать отношение длин ее оснований.

     4) Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Построить

    проекцию диаметра, перпендикулярного данному диаметру.

     -- Построение.

4)Пусть точки    A_1, B_{1  и}  C₁          

 _{являются изображением 3-х вершин правильного шестиугольника ABCDEF.}

_{Достроить его изображение – шестиугольник} A₁B₁C₁D₁E₁F_1.

VII. Выводы. Подведение итогов. Задание на дом.

1.     Повторение свойств параллельного проектирования.

2.      Объявление оценок.

3.     Задание на дом.