Урок лекция по теме : "Решение линейных неравенств" (8 класс)

Урок лекция по теме : « Решение линейных неравенств»

( алгебра 8 класс)

учитель МАОУ «СОШ 45» города Калининграда Маврина Т.В.

Цель урока:

Дать определение линейного неравенства с одним неизвестным.

Ввести понятие решения линейного неравенства с одним неизвестным.

Выработать умение решать неравенства с одним неизвестным и показывать множество решений линейного неравенства на координатной прямой.

ЛЕКЦИЯ

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Символ	Название	Тип знака
>	больше	строгий знак  (число на границе не включается)
<	меньше	строгий знак (число на границе не включается)
≥	больше или равно	нестрогий  знак  (число на границе включается)
≤	меньше или равно	нестрогий знак (число на границе включается)

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенствоми чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой знак сравнения: «>», «<», «≤» или «≥».

Запомните!

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в  первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

x − 6 < 8

Так как в неравенстве «x − 6 < 8» неизвестное «x» стоит в первой степени, такое неравенство называют линейным.

Как решить линейное неравенство

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени  с коэффициентом «1».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Запомните!

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x −6 < 8 
x < 8 +6 
x < 14

Итак, мы получили ответ к неравенству «x < 14». Но что означает такой ответ?

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

Запомните!

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

• если неравенство строгое, то число отмечается как «пустая» точка.

Это означает, что число не входит в область решения;

---

• если неравенство нестрогое, то число отмечается как «заполненная» точка.

Это означает, что число входитв область решения.

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x < 14» все решения неравенства, то есть область слева от числа «14».

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его вместо «x» в исходное неравенство «x − 6 < 8».

12 − 6 < 8
         6 < 8(верно)

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Важно!

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x < 14» можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее «14») будет являться решением неравенства «x − 6 < 8».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

2x − 16 > 0
2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x» стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число «2».

Запомните!

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

• Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то 
  знак самого неравенства остаётся прежним.
• Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то 
  знак самого неравенства меняется на противоположный.

Разделим «2x > 16» на «2». Так как «2» — положительное число, знак неравенства останется прежним.

          2x > 16     |(:2)
2x(:2)> 16(:2)      
x > 8        
Ответ: x > 8

Рассмотрим другое неравенство.

9 − 3x > 0

Используем правило переноса.

9 − 3x > 0
−3x > −9

Разделим неравенство на «−3». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

−3x ≥ −9
                   −3x≥−9      |:(−3)
−3x :(−3)≤−9:(−3)
x ≤ 3
Ответ: x ≤ 3

Примеры решения линейных неравенств

1)      4(x − 1) ≥ 5 + x
4x − 4 ≥ 5 + x
4x − x ≥ 5 + 4
       3x ≥ 9       | (:3)
3x (:3) ≥ 9 (:3)
x ≥ 3
Ответ: x ≥ 3

          2)  x + 2 < 3(x + 2) − 4
               x + 2 < 3x + 6 − 4
              x − 3x < 6 − 4 − 2
             −2x < 6 − 6
            −2x<0 | :(−2)
                       −2x : (−2)>0 : (−2)
x > 0
               Ответ: x > 0