Составитель Кудинова Л.П.
Разработка урока по математике. Обобщающий
урок по теме: «Интеграл и его применение».
Вниманию предлагается обобщающий урок по
теме: «Интеграл и его применение», целью которого является показать возможности
применения интеграла в различных областях физики, экономики, техники. Учить
видеть единую математическую модель в разных ситуациях; способствовать
расширению мировоззрения студентов и студентов. В ходе урока применяется ППС
«Алгебра, 11 класс»— на этапе совершенствования умений и навыков (студенты
выполняют самопроверку выполненных заданий с готовыми решениями, отраженными на
экране). При выполнении самостоятельной работы студенты выполняют взаимопроверку
по готовым решениям, отраженным на экране. Выполняя работу в группах — презентуют
выполненные работы на доске и проверяют решение с готовыми решениями,
отраженными на экране. Во время выполнения практической работы студентам
предлагается построить и вычислить площадь фигуры и объем тела с помощью
программы GRAN. В ходе решения задач возникает проблемная ситуация «Шевели
мозгами», а также предлагаются для решения задачи с профессиональным
содержанием, присутствует творческое задание и примеры заданий из сборника для ГИА
по математике.
Для учителей общеобразовательных школ,
преподавателей математики профессионально-технических учебных заведений
Донецкой области.
Тема урока. Интеграл и его применение.
Цель: обобщить знания и умения студентов
по теме, показать возможности применения интеграла в различных областях физики,
экономики, техники. Учить видеть единую математическую модель в разных
ситуациях; способствовать расширению кругозора студентов, мировоззрения.
Укрепить знания по ИКТ. Побудить студентов к качественной подготовке к ГИА.
Работать над понятиями: интеграция в
промышленности, интеграция в сообщество, производительность труда. Развивать
самостоятельность, трудолюбие, настойчивость, ответственность.
Воспитывать интерес к науке, умение
рационально использовать рабочее время, объективно оценивать результаты своего
труда, коммуникативные навыки. Применять здоровьесберегающие технологии.
Ожидаемые результаты:
студенты должны понимать связь интеграла с
реальными процессами жизни; уметь применять интеграл при решении прикладных
задач, уметь работать с программой GRAN1, GRAN2D, готовиться к ГИА.
Оборудование: персональные компьютеры,
мультимедийная доска.
Методическое обеспечение:
Педагогическое программное средство для
общеобразовательных учебных заведений «Алгебра, 11 класс», опорный конспект,
листы для оценивания.
Тип урока: обобщения и систематизации
знаний.
Методы и формы проведения урока: методы
наглядного обучения.
Структура урока
I. Организационный этап
II. Проверка домашнего задания.
III. Формулировка темы, цели и задач
урока; мотивация учебной деятельности.
IV. Актуализация опорных знаний
1. Презентация студентов – исторические
сведения.
2. Интерактивное упражнение «Закончите
предложение».
V. Совершенствование умений и навыков.
1. Фронтальная беседа.
2. «Блиц» опрос.
3. Решение задач с комментарием у доски.
4. Самостоятельная работа студентов.
5. Решение задач. Работа в группах.
6. Практическая работа.
VI. Подведение итогов урока.
1.Рефлексия (интерактивное упражнение «Микрофон»).
2.Преподаватель комментирует результаты.
VII. Домашнее задание.
Ход урока
I. Организационный этап.
Приветствие студентов.
II. Проверка домашнего задания.
Ответить на вопросы, возникшие у студентов
во время выполнения домашнего задания.
III. Формулировка темы, цели и задач
урока; мотивация учебной деятельности.
1. Презентация преподавателя
(1 - 3 слайды).
(Слово преподавателя, мотивация учебной
деятельности).
Эпиграф урока:
«Умственный труд на уроках математики – пробный камень
мышления».
В.А.
Сухомлинский
Сегодня мы подошли к завершению изучения
темы
«Интеграл
и его применение». Урок предшествует контрольной работе. Поэтому, обобщим изученное.
Мы с вами познакомились с другим понятием
математического анализа, без которого не построить современного дома,
космического корабля, субмарины.
Понятие интеграла появилось в результате
практической деятельности человека, используется сегодня в самых различных
сферах научно-практической деятельности человека, а именно: физике, химии,
биологии, механике, экономике и т.д. Поэтому на уроке мы будем решать задачи
прикладного характера, что поможет понять место и роль математики в современном
мире.
Все получили опорные конспекты и листы
оценивания, пожалуйста, ознакомьтесь с ними.
|
|
Количество
баллов
|
|
Получено
|
Максимально
|
|
Интерактивное
упражнение
«Закончи
предложение»
|
|
(9 б.)
|
|
«Блиц» опрос
|
|
(4 б.)
|
|
Работа у
доски
|
|
(4•2=8
б.)
|
|
Самостоятельная
работа
|
|
(2•2+2•3+2•4+2•6=30
б.)
|
|
Работа в
группах
|
|
(1•4=4
б.)
|
|
Творческая
работа (презентация, стенгазета, рефераты)
|
|
(3 б.)
|
|
Практическая
работа
|
|
(2•2 +
2•3 = 10 б.)
|
|
Всего
|
|
(68 б.)
|
|
Средний
уровень – 16 - 29 б, достаточный уровень –30 - 49б, высокий уровень – 50-68 б.
|
IV. Актуализация опорных знаний
1. Презентация студентов – исторические
сведения. (3б.)
(Демонстрируется на интерактивной доске
подготовленная дома работа студентов)
История развития понятия интеграла и
интегрального исчисления
История развития понятия интеграла и
интегрального исчисления связано с потребностью в вычислении площадей фигур, а
также поверхностей и объемов произвольных тел. Предыстория интегрального
исчисления восходит к глубокой древности: идеи интегрального исчисления можно
найти в работах древнегреческих ученых Евдокса Книдского (около 408-355 до н.
э.) и Архимеда (около 287-212 до н.э.).
Математики XVII в. учились на трудах
Архимеда. Немецкий астроном Й. Кеплер применил подобные методы. Итальянский
математик Б. Кавальери, представив каждую фигуру образованной из отрезка, а
тело из плоских фигур, сформулировал принципы, которые считал очевидными и
принимал без доказательства. Символ ∫ — измененную латинскую букву S (summa) –
ввел Г. Лейбниц, слово «интеграл» - швейцарец Я.Бернулли. Более раннее
понятие «примитивная функция», введенное Ж. Лагранжем, позже было заменено на
понятие «первообразная функции», применяемое и сейчас. Обозначение
определенного интеграла ввел К. Фурьє.
2. Задачи, приводящие к понятию интеграла
(презентация преподавателя, слайд 5)
Лет 250-280 назад во Франции решалась
задача о нахождении площади криволинейной трапеции. Поскольку линия у = f(x)
является произвольной кривой, то сначала площадь трапеции будем искать
приближенно, для этого разобьем промежуток [а;b] с помощью произвольно
выбранных точек на п отдельных отрезков. Искомая площадь приближенно
равна сумме площадей прямоугольников, на которые мы разобьем трапецию.
В Италии решалась задача о нахождении
объема тела, в Азии – об определение давления воды в арыках, в Испании — определяли
работу силы при перемещении заряда q из точки А в точку В.
Страны разные, задачи разные, но подход
одинаковый.
3. Интерактивное упражнение «Закончите
предложения» (слайды 7 – 16)
3.1.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
непрерывной
функции у = f(х), двумя прямыми х = a и х = b вычисляется по формуле...
3.2. В том случае, когда криволинейная
трапеция ограничена кривой у = f(x), осью Ох и прямыми х = a, x = b, лежит под
осью Ох, площадь находится по формуле...
3.3. Если фигуру можно разбить на
несколько частей, то ее площадь будет
равна…
.
3.4. Если фигура, ограниченная кривой
f(y), осью Ох и прямыми х = а и х = в, расположена по обе стороны от оси Ох, то
пользуемся формулой...
3.5. Если искомая площадь имеет вид, то
пользуемся формулой...
3.6. Для вычисления объемов тел пользуемся
формулами...
V = 
;
V
=
.
3.7. Записать на доске с помощью
интегралов площади фигур. (3 б.)
3.8.По какой формуле вычисляется объем
тела? Записать на доске. (1 б.)
V. Совершенствование умений и навыков.
1. Фронтальная беседа. (Вопросы к cтудентам.)
Что такое «интеграция»?
Что такое «интеграция в промышленности»?
(Студенты отвечают.)
Ответ (слайд 18).
Агропромышленная интеграция — сочетание
сельскохозяйственного производства с перерабатывающей промышленностью и другими
отраслями хозяйства. Слово «интеграция» происходит от латинского и означает
соединение отдельных частей в единое целое. В широком смысле под интеграцией
понимают усиление экономических и производственных связей между различными
странами, отдельными сферами и смежными отраслями, а также между различными
предприятиями, организациями и другими субъектами рынка.
(Материал из Википедии.)
1. «Блиц» опрос.
Ответы занести в таблицу.
(С последующей самопроверкой слайд 19 -
20).
Установите логические пары, а именно:
соответствие между формулами и физическими величинами, которые они связывают.
1. s = ν(t) ∙ t A.
Работа и мощность
2. A = N(t) ∙ t Б. Сила
тока и электрический заряд
3. q = I(t) ∙ t В.
Скорость движения и перемещения
4. Q = c(t) ∙ t Г.
Линейная плотность и масса стержня
Д.
Количество теплоты и теплоемкость
Правильный ответ.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
А
|
|
Х
|
|
|
|
Б
|
|
|
Х
|
|
|
В
|
Х
|
|
|
|
|
Г
|
|
|
|
|
|
Д
|
|
|
|
Х
|
2. Решение задач с последующей самопроверкой
(слайд 21 - 28) (у доски с комментарием).
Задача 1. Найдите площадь фигуры,
ограниченную линиями y = x2 + 1, x = 0, x = 2 и осью Ox.
Слайд —
условие. Слайд — решение.
Задача 2. Найдите площадь фигуры,
ограниченную линиями y = 2х, x = -1, x = 2 и осью Ox.
Слайд —
условие. Слайд — решение.
Задача 3. Найти площадь фигуры,
ограниченную линиями: у = sinx, прямыми х = 0, х = 2π. (слайд 23).
Слайд — условие.
Возможное решение ниже. Если задача на
доске решена верно, найти ошибку в приведенном решении.
Проблемная ситуация «Шевели мозгами»!
Площадь фигуры не может равняться 0,
поскольку она существует. Мы не выполнили проверку функции на положительность,
а часть графика от π до 2π лежит под осью Ох, следовательно, надо:
Задача 4. (с профессиональным содержанием)
Найти объем
питьевой воды, находящейся в цилиндрической емкости высотой 1,5 м с диаметром
основания 1 м.
Решение. Цилиндр –
тело, полученное вращением прямоугольника OABC вокруг оси Ox. Составим
уравнение образующей цилиндра AB. y = 0,5.
V
= π
y
x
3. Самостоятельная работа учащихся
Учащиеся решают задачи, выполняют
взаимопроверку по готовым решениям. (На слайдах 31 - 40).
Пример 1. Вычислить определенный интеграл
и изобразить фигуру, площадь которой определяет этот интеграл:
(примеры а и в - по2б (средний уровень), б
и г – 3 б.)
а)
б) 
в) 
Слайд – условие. Слайд
– условие.
г) Найти площадь фигуры, ограниченную
синусоидой у = sin x и осью Ох, если 
.
Слайд – условие.
Пример 2. Вычислите определенный интеграл:
(примеры а и б - по 4 б., а в и г высокого уровня – 6 б.)
а) 
б) 
Слайд – решение. Слайд – решение. Слайд – решение. Слайд – решение.
(Студенты заполняют
листы оценивания)
5. Решение задач. Работа в группах. (Студенты
объединяются в группы, получают задания и работают)
Обратим внимание на таблицы.
(Демонстрируются таблицы (слайды 41, 42).
(Решение каждой задачи – 4 б.)
Производительность труда — это показатель
трудовой деятельности работников. Характеризует количество продукции,
произведенной за единицу времени, или затраты времени на производство единицы
продукции.
1 группа
Задача 1. Тело движется прямолинейно со скоростью
V(t) = 3 + 3t2 (м/с). Найдите путь, который прошло тело за первые 5
с.
Слайд - условие. Слайд-ответ.
2 группа
Задача 2. Линейная плотность неоднородного
стержня длиной 6 см изменяется по закону ρ(x) = 3x + 4 (г/см3).
Найдем массу стержня.
Слайд - условие. Слайд-ответ.
3 группа
Задача 3. В течение 7 сек величина тока в
проводнике изменяется по закону I(t) = 3t2 + 2t (A). Найдем
количество электричества, прошедшее через проводник за это время.
Слайд - условие. Слайд-ответ.
4 группа.
Задача 4. Сила в 2 Н растягивает пружину
на 4 см. Какую работу следует выполнить, чтобы растянуть пружину на 4 см?
Слайд - условие. Слайд-ответ.
5 группа.
Задача 5 (с творческим заданием,
профессиональной направленностью).
Самостоятельно составить условие задачи на
нахождение определенного интеграла и решить ее.
Представители групп презентуют выполненную
работу (на доске).
6. Практическая работа (с использованием
программы GRAN1, GRAN2D).
• Построить и вычислить площадь фигуры,
ограниченную линиями:
y = x2, x = -1, x = 3.
• Вычислить объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: y = x2, y = 3.
Инструктаж по безопасности
жизнедеятельности. ( Слайд 53)
Требования безопасности во время работы
– Запрещено ходить по компьютерному
классу, громко разговаривать.
– Выполнять следует только указанные преподавателем
задачи. Категорически запрещено выполнять другие работы.
– На клавиши клавиатуры нужно нажимать
плавно, не допуская ударов.
– Пользоваться печатающим устройством
разрешается только в присутствии преподавателя или лаборанта.
– Запрещено запускать игровые программы.
– В случае возникновения неполадок, нужно
уведомить преподавателя или лаборанта.
Требования безопасности после окончания
работы
─ О недостатках и неполадках, замеченных
во время работы, следует сообщить преподавателю.
─ На рабочем месте не нужно оставлять
лишних предметов.
Требования безопасности в аварийных
ситуациях.
– При появлении необычного звука или
отключении аппаратуры необходимо немедленно прекратить работу и поставить в
известность преподавателя или лаборанта.
Инструкционная карточка
Алгоритм выполнения практической работы
• Открыть программу GRAN1, ( дополнительно
высокий уровень GRAN2D).
• Создать новый объект.
• Построить фигуру и вычислить ее площадь.
• Построить тело и вычислить площадь поверхности
и его объем.
(Образцы выполнения работы).
Результаты распечатываются.
Листы оценивания собираются для проверки.
КОМПЛЕКС УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ ГЛАЗ (слайд 60).
Упражнения выполняются сидя, отвернувшись
от экрана при ритмичном дыхании, с максимальной амплитудой движения глаз.
• Закрыть глаза, сильно напрягая глазные
мышцы, на счет 1-4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть
вдаль на счет 1-6. Повторить 2 раза.
• Свести глаза к переносице и задержать
взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем посмотреть вдаль на
счет 1-6. Повторить 2 раза.
• Не поворачивая головы, посмотреть
направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4, затем посмотреть вдаль прямо на
счет 1-6. Аналогично проводятся упражнения, но с фиксацией взгляда влево, вверх
и вниз. Повторить 2 раза.
• Перевести взгляд быстро по диагонали:
направо вверх – налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1-6; затем налево вверх
– направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 2 раза.
VI. Подведение итогов.
Рефлексия. Интерактивное упражнение
«Микрофон».
Продолжить предложение: «Сегодня на уроке
я научился ...».
Преподаватель отвечает на вопросы обучающихся,
комментирует оценки.
VII. Домашнее задание (слайд 62)
Готовимся к ГИА. Сборник заданий для ГИА
по математике, 11 класс.2016 год. Авторы А.С. Истер, А.И. Глобин, И.Е. Панкратова
1.Вариант 2 (задача 2.3)(2б.)
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями y = eх; y = e3х и x = 1.
2.Вариант 3 (задача 2.3) (2б.)
Найдите неопределенный интеграл
3.Вариант 8 (задание 2.3) (2б.)
Скорость движения точки задается
уравнением v(t) = 5 + 2t (м/с). Найдите уравнение движения S = S(t), если S(3)
= 30.
4.Вариант 10 (задание 2.3) (2б.)
Найдите определенный интеграл
5.Вариант 10 (задание 3.1) (3б.)
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями y = 2x2 и y = x + 1.
6. Вариант 11 (задания 3.1) (3б.)
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями y = x2 и y = 4x – 3.
Опорный
конспект
Дополнение
1
Лист
оценивания _______________________
Фамилия, Имя
|
|
Количество
баллов
|
|
Получено
|
Максимально
|
|
Интерактивное
упражнение
«Закончи
предложение»
|
|
(9 б.)
|
|
Блицопрос
|
|
(4 б.)
|
|
Работа у
доски
|
|
(4•2=8
б.)
|
|
Самостоятельная
работа
|
|
(2•2+2•3+2•4+2•6=30
б.)
|
|
Работа в
группах
|
|
(1•4=4
б.)
|
|
Творческая
работа (презентация, стенгазета, рефераты)
|
|
(3 б.)
|
|
Практическая
работа
|
|
(2•2 +
2•3 = 10 б.)
|
|
Всего
|
|
(68 б.)
|
|
Средний
уровень – 16 - 29 б, достаточный уровень –30 - 49б, высокий уровень – 50-68 б.
|
IV. Актуализация опорных
знаний
V. Совершенствование
умений и навыков.
1. «Блиц» опрос.
Ответы занести в таблицу.
(С последующей самопроверкой слайд 19 -
20).
Установите логические пары, а именно:
соответствие между формулами и физическими величинами, которые они связывают.
1. s = ν(t) ∙ t A.
Работа и мощность
2. A = N(t) ∙ t Б. Сила
тока и электрический заряд
3. q = I(t) ∙ t В.
Скорость движения и перемещения
4. Q = c(t) ∙ t Г.
Линейная плотность и масса стержня
Д.
Количество теплоты и теплоемкость
Правильный ответ.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
А
|
|
Х
|
|
|
|
Б
|
|
|
Х
|
|
|
В
|
Х
|
|
|
|
|
Г
|
|
|
|
|
|
Д
|
|
|
|
Х
|
2. Решение задач с последующей самопроверкой
(слайд 21 - 28) (у доски с комментарием).
Задача 1. Найдите площадь фигуры,
ограниченную линиями y = x2 + 1, x = 0, x = 2 и осью Ox.
Слайд —
условие.
Задача 2. Найдите площадь фигуры,
ограниченную линиями y = 2х, x = -1, x = 2 и осью Ox.
Слайд — условие.
Задача 3. Найти площадь фигуры,
ограниченную линиями: у = sinx, прямыми х = 0, х = 2π. (слайд 23).
Слайд — условие.
Задача 4. Вычислить объе м пирамиды с
площадью основания S и высотой Н.
3. Самостоятельная работа студентов
Пример1. Вычислить определенный интеграл
и изобразить фигуру, площадь которой определяет этот интеграл:
(примеры а и в - по2б (средний уровень), б
и г – 3 б.)
а) 
=
б) 
=
в) 
=
г) 
Пример 2. Вычислите определенный интеграл:
(примеры а и б - по 4 б., а в и г высокого уровня – 6 б.)
а) 
=
б) 
=
в) 
=
г) 
=
4. Работа в группах (слайды 41-42)
1
группа
Задача 1. Тело движется прямолинейно со
скоростью V(t) = 3 + 3t2 (м/с). Найдите путь, который прошло тело за
первые 5 с.
2 группа
Задача 2. Линейная плотность неоднородного
стержня длиной 6 см изменяется по закону ρ(x) = 3x + 4 (г/см3). Найдем массу
стержня.
3 группа
Задача 3. В течение 7 сек величина тока в
проводнике изменяется по закону I(t) = 3t2 + 2t (A). Найдем
количество электричества, прошедшее через проводник за это время.
4 группа
Задача 4. Сила в 2 Н растягивает пружину
на 4 см. Какую работу следует выполнить, чтобы растянуть пружину на 4 см?
5 группа
Задача 5 (с творческим заданием).
Самостоятельно составить условие задачи на
нахождение определенного интеграла и решить ее.
Практическая работа (с использованием
программы GRAN1, GRAN2D).
• Построить и вычислить площадь фигуры,
ограниченную линиями:
y = x2, x = -1, x = 3.
• Вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: y = x2, y = 3.
Инструкционная карточка
Алгоритм выполнения практической работы
• Открыть программу GRAN, (дополнительно
высокий уровень GRAN2D)
• Создать новый объект.
• График. Построить.
• Построить фигуру и вычислить ее площадь.
• Построить тело и вычислить площадь поверхности
и его объем.
Дополнение
2.
Домашнее задание (Слайд 56)
Готовимся к ГИА. Сборник заданий для ГИА
по математике, 11 класс.2016 год. Авторы А.С. Истер, А.И. Глобин, И.Е.
Панкратова
1.Вариант 2 (задача 2.3)(2б.)
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями y = eх; y = e3х и x = 1.
2.Вариант 3 (задача 2.3) (2б.)
Найдите неопределенный интеграл
3.Вариант 8 (задание 2.3) (2б.)
Скорость движения точки задается
уравнением v(t) = 5 + 2t (м/с). Найдите уравнение движения S = S(t), если S(3)
= 30.
4.Вариант 10 (задание 2.3) (2б.)
Найдите определенный интеграл
5.Вариант 10 (задание 3.1) (3б.)
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y = 2x2 и y = x + 1.
6. Вариант 11 (задания 3.1) (3б.)
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями y = x2 и y = 4x – 3.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.