Урок по теме "Высказывания и логические операции"

Раздел «Алгебра высказываний (алгебра логики)»

Тема: Высказывания и операции над ними

Цели урока:

Образовательные

-        ознакомить с понятиями: алгебра логики, понятие, высказывание, умозаключение;

-        ввести обозначения логических операций: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и исключающая «или»;

-        дать понятия таблиц истинности логических операций;

-        научиться формализовывать высказывания.

Развивающие

-        создать условия для развития мышления, внимания, памяти, коммуникативных навыков, умений работать с ЭОР и ЦОР, умений анализировать;

-        способствовать развитию познавательного интереса.

Воспитательные

-        воспитывать культуру общения в ходе групповой и фронтальной работы.

1.      Организационный момент (5 минут)

2.      Актуализация опорных знаний (15 минут).

Фронтальный опрос по вопросам:

-     Что изучает логика? Какие ученые внесли вклад в развитие логики?

-     Что изучает математическая логика?

-     Какие ученые внесли вклад в зарождение и развитие математической логики?

-     Какое значение принесла математическая логика в середине 20 века?

-     Где находит применение математическая логика?

Работа с презентацией: сопоставить этапы развития математической логики и фамилии ученых, работавших в это время.

Огастес де Морган – шотландский математик и логик. Основные труды: по математической логике и теории рядов; к своим идеям в алгебре логики пришёл независимо от Дж. Буля. С его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана).

П.С. Порецкий, по специальности астроном, первым в России стал заниматься вопросами математической логики. Его труды стали значительным вкладом в развитие этой науки. Порецкий построил теорию качественных умозаключений (логика классов), получившую признание в мировой науке.

Работы Чарльза Пирса по логике занимают выдающееся место в философии 19 в. Наиболее важные результаты были получены в логике, где он высказал ряд новых идей, касающихся исчисления высказываний, теории следования, методов разрешения в логике предложений, логики отношений, логических парадоксов, логической семантики, многозначной логики и др. Пирс внес значительный вклад в теорию вероятностей.

Яблонский С.В. работал над проблемами, связанными с синтезом логических устройств. Среди результатов важное место занимают его работы о тестировании электрических схем.

3.      Мотивация знаний (5 минут)

Шуточные задачи:

-        Вы сидите в вертолете, перед вами конь, сзади верблюд. Где Вы находитесь? ( в самолете)

-        Какое слово начинается с трех букв «Г» и заканчивается тремя буквами «Я»? (тригонометрия)

-        Вы зашли в темную комнату. В ней есть газовая и бензиновая лампа. Что вы зажжете в первую очередь? (спичку)

-        Обычно месяц заканчивается 30 или 31 числом. В каком месяце есть 28 число? (в любом)

-        Когда человек бывает в комнате без головы? (когда он высунул голову в окно)

Все эти задачи являются логическими, то есть от нашего умения мыслить мы может прийти к правильному решению.

А как человек мыслит? Какие бывают формы мышления? Что в нашей речи является высказыванием, а что - нет?

4.      Изучение нового материала (40 минут)

Обратите внимание - слово ЛОГИКА записано в сочетание со словом АЛГЕБРА.

Что же изучает алгебра?

Алгебра изучает числа, числовые величины, числовые выражения, а также правила выполнения действий над ними.

Что  изучает логика?

Логика – (от древнегреч. logoz - слово, мысль, понятие, рассуждение) - наука о  законах и формах мышления.

 

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний может быть получено новое суждение

И тогда, давайте попробуем понять, чем же занимается алгебра логики!? Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями.

Алгебра высказываний (алгебра логики) – раздел математической логики, изучающий логические высказывания и способы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.

Основы данной алгебры были положены английским математиком Джорджем Булем в 19 веке, также называли булевой алгеброй.

Высказывание – это форма мышления, связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.

Примеры (определите, какие предложения являются высказываниями и их истинность):

1.      Дважды два равно четырем (истинное высказывание).

2.      2<3 (истинное высказывание).

3.      Река Волга впадает в Японское море (ложное высказывание).

4.      Площадь отрезка меньше длины куба (связное повествовательное предложение, о котором нельзя сказать истина оно или ложь).

5.      Является ли х=3 корнем уравнения х²-5х+6=0? (не повествовательное предложение).

6.      Меньше один в является два при (несвязное предложение).

7.      Слава российским студентам! (не повествовательное предложение).

8.      3>5 (ложное высказывание).

9.      Вещественное число х меньше 2 (Не высказывание, несмотря на свою повествовательность, связность и осмысленность. В нем содержится переменная и при разных значениях переменной возможно получение истинного или ложного высказывания. Объекты такого типа являются обобщением понятия высказывания и их мы будем изучать позже).

Высказывания могут быть простыми и составными.

Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла. Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.

В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые латинскими буквами.

A – «Крокодилы летают»

B – «Земля вращается вокруг Солнца»

В дальнейшем нас будет интересовать не то, о чем идет речь в высказывании (его содержательная часть), а лишь какое значение истинности (истина или ложь) оно имеет.

Если высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0.

Тогда: A = 0, B = 1

Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Знак ↔ используется как символ метаязыка, заменяющий слова «тогда и только тогда, когда».

Логические операции над высказываниями

В русском языке (как и в любом другом) из простых связных повествовательных предложений с помощью некоторых стандартных связок (конструкций) можно образовать новые (составные) повествовательные предложения. В алгебре высказываний этим конструкциям соответствуют логические операции.

Логическая операция	Соответствующая конструкция	Определение	Обозначение	Таблица истинности

1.      Логическое отрицание (инверсия)

Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» или использования оборота речи «неверно, что…».

Обозначения: ¬А;

Отрицание высказывания А – высказывание, которое истинно, когда высказывание А ложно и наоборот.

Определяется следующей таблицей истинности:

А
0	1
1	0

Логики при образовании инверсии предпочитают иметь дело с оборотом речи «неверно, что», поскольку тем самым подчёркивают отрицание всего высказывания.

В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность.

•         Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

•         Число 5 не составное.

Постройте отрицания следующих высказываний:

•         Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин».

•         Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, являются простыми числами.

2.      Логическое умножение (конъюнкция)

Конъюнкция образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и» («а», «но»).

Обозначения: А·В; А^В; А&В.

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А, В.  Определяется следующей таблицей:

А	B	А&В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Даны высказывания: D – «Число 10 делится на 2 без остатка»; S – «Париж – столица России». Сформулировать на обычном языке высказывание A=S&D. Определить его истинность.

В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность.

•         Число 376 четное и трехзначное.

•         Солнце движется вокруг Земли, и Луна – спутник Венеры.

•         На уроке математики студенты отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

3.      Логическое сложение (дизъюнкция)

Дизъюнкция образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

Обозначение: АВ; A+B.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А, В. Определяется следующей таблицей:

А	B	АÚВ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Пример.

Даны высказывания: M – «Число 12 - простое»; N – «Париж – столица Франции».

Сформулируйте на обычном языке высказывание K=M Ú N, и определить его истинность.

4.      Логическое следование (импликация)

Импликация образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если….., то…..» («из … следует …»)

 Обозначения: А→В, АÞВ

Импликацией высказываний А, В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А – истина, а В – ложь.

Высказывания, образующие импликацию имеют специальные названия: А – посылка (гипотеза, антецедент), В – заключение (вывод, консеквент).

Определяется следующей таблицей:

А	B	А®В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

При первоначальном знакомстве с логическими операциями кажется, что все они, кроме импликации, введены довольно естественно, а восприятию определения импликации наше сознание сопротивляется. Однако, можно привести много примеров, показывающих, что такое определение импликации соответствует нашей интуитивной логике и конструкции «если …, то…», которой мы в математике пользуемся достаточно часто.

Пример. 1. Теорема из арифметики: Если натуральное число делится на 4, то оно делится на 2.

2. Священник Православной церкви носит бороду

Х – священник; Y – борода

0 0 некто не священник и он без бороды – это истина

0 1 некто не священник, но он с бородой – истина, обычный бородатый человек

1 0 священник, но без бороды, это неверно

1 1 – священник с бородой

5.      Логическое равенство (эквиваленция)

Эквиваленция образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «….тогда и только тогда, когда…».

Обозначение эквивалентности: А=В; АÛВ; А~В.

Эквиваленцией высказываний А, В называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда образующие ее высказывания А, В имеют одинаковые значения истинности.  Определяется следующей таблицей:

А	B	АВ
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Пример: Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90⁰.

С помощью логических операций над высказываниями из простых высказываний можно строить различные составные высказывания.

Всякое составное высказывание, которое может быть получено из простых высказываний с помощью логических операций, называется формулой логики (логическим выражением).

В формулу логики входят логические переменные, обозначающие высказывания и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Формулы алгебры логики будем обозначать большими буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

Для записи составного высказывания на формальном языке нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

Формализацией высказываний называют операцию замены высказывания естественного языка формулой логики.

6.      Решение задач (20 минут)

1.    Записать составное высказывание в виде формулы логики: "Если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Обозначим буквой A высказывание: "купить яблоки", буквой B - высказывание: "купить абрикосы",  буквой C - высказывание: "испечь пирог". Тогда высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог" формализуется в виде формулы: (AÚB)®C.

2.    Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывание с помощью  символов алгебры логики: 45 кратно 3 и 41 не кратно 3.

3.   Даны два простых высказывания: А={2·2=4}, В={4·4=15}.

Составьте следующие сложные высказывания. Какие из них истинны?

А) ;

Б) А& В;

В) АВ;

Г) ;

Д) АВ.

3. Найдите значения выражений:

А) (1Ú1) Ú (1 Ú 0); 

Б) (0 & 1)& 1; 

В) ((1& 0) → (0&1)) Ú 1; 

Г) ((1&1) Ú 0) ↔ (0→1).

4. Даны простые высказывания:

А={Принтер- устройство ввода информации},

В={Процессор- устройство обработки информации},

С= {Монитор- устройство хранения информации},

D={Клавиатура- устройство ввода информации}.

Определите истинность составных высказываний:

А) (А&В)&(СD) = (0&1)&(0Ú1) = 0

Б) (А& В)(В& С) = (0&1) → (1&0) = 1

В) (АВ)(С& D) = (0Ú1) ↔ (0&1) = 0

Г)  = 1↔0 = 0

Домашнее задание

1)      Формализуйте предложения:

У меня хорошее настроение, если на улице отличная погода (В -> А)

Мы поедем на природу, будем отдыхать и веселиться: А -> (В и С)

"Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги".

(((А→В) Ú ( → С))& (A Ú  )) → (BÚC)