Тема: Площади плоских
фигур.
Теоремы – труженицы:
1)
Отношения квадратов площадей подобных фигур равно
квадрату коэффициента подобия.
2)
Если два треугольника имеют равные основания, то
площади этих треугольников относятся как высоты;
3)
Если два треугольника имеют равные высоты, то
площади этих треугольников относятся как основания.
4)
Основные формулы:
1); 2) ;
3) ;4) ; 5) ;
6) ; 7) ;
Площади выпуклого четырехугольника.
1)
2) ;
3) (если в четырехугольник можно вписать
окружность)
Площадь параллелограмма.
1) ; 2) ; 3) ;
S трапеции = - площадь трапеции
Площадь
кругового сектора: (- радианная мера центрального угла)
Площадь
кругового сегмента:
Задача: В
параллелограмме АВСD, Е – произвольная точка стороны ВС.
Доказать, что сумма площадей треугольников АВС и CDE составляет
половину площади параллелограмма.
Решение.
ЕМ॥ АВ
АВЕМ и MECD –
параллелограммы. S∆ ABE = S∆AEM ; S∆ECD = S∆ MDE; S∆ABE + S∆ECD
= ½ SABCD.
Задача:
Полуокружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно и имеет центр на стороне АВ. Найдите радиус этой
полуокружности, если ВС = 13см, АВ = 14 см, АС = 15см.
Решение.
1) OD=OE=r? OD^AC?
OE^BC
S∆AOC=
S∆ОВС=
S∆ABC= S∆AOC + S∆BOC = +=14r
2) S∆ABC=;
p=21 см
S∆ABC=84 (см)
3) 14r=84
r=6 (см)
Ответ: r=6
Замечание:
Вместо опорного элемента выбрана площадь, т.е. задача решена методом площадей.
Задача: площадь
∆АВС равна 30см2. На стороне ВС взята точка D
так, что AD : DC = 2:3. Длина
перпендикуляра DE, проведенного на сторону ВС, равна 9мс.
Найдите ВС.
Решение.
∆АВD и ∆BDC имеют общую сторону BF; следовательно их площади
относятся как длины оснований, т.е. S∆ABD
: S∆BDC
=AD : DC = 2 : 3
S∆BDC = 3/5 S∆ABC = 18 (см2)
S∆BDC = ½ BC × DE, 18 = ½ ВС × 9; ВС = 4см.
Ответ: ВС = 4см
Задача:
окружность, вписанная в ∆АВС, делит основание АС точкой касания на отрезки а и
в. Найти площадь ∆АВС, если известно, что ÐВ = 600.
Решение.
OF = OE = OD = r
AF = AD = a.
CD = CE = в
ВО – биссектриса ÐВ => ÐОВЕ = 300.
ctg300==r ctg300
= r
BF=BE= r
AC=a+b
AC=a+ r
BC=b+ r
S∆ABC = Pr; P=
S∆ABC = (a+b+ r) × r
S∆ABC =
= (a + b + r)r
= (a + b + r)2r2
ab= (a + b +)r
S∆ABC = ab
Ответ: S∆ABC = ab
Примечание:
Радиус r нас не интересовал, он необходим был как средство
для отыскивания площади.
Задача: В
четырехугольнике ABCD Е – середина АВ, F – середина CD. Доказать, что EBFD в два раза меньше площади четырехугольника АВСD.
Решение.
BD – диагональ ABCD,
S∆AED = S∆BED;
S∆BFD = S∆BFC;
SBEDF = 0,5 SABCD
Ключевой момент: Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Задача: В
равнобедренной трапеции (равнобокой) высота равна Н, а диагонали взаимно
перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
Ключ: площадь четырехугольника, диагонали d1 и d2 которого перпендикулярны, вычисляют по формуле:
Решение.
1 способ:
∆ВКО – прямоугольный и равнобедренный. ВК
= КО
∆AFO : AF =OF
ВК + AF = KF
½ ( BC + AD) = H
Sтр.= ½ (BC + AD)
× H = H×H
= H2
2 способ:
BD=
Sтр.=
Задача: найти
площадь трапеции по двум диагоналям 17 и 113, и высоте 15
Решение.
1) ВР^ AD; СF^AD
2) ∆АСЕ: по теореме Пифагора
3) ∆BPE: по теореме
Пифагора
4) AE + PD = BC + AD +120
5)SABCD =
Ответ: SABCD = 900
Задача: В ∆АВС на
сторонах АВ и ВС взяты точки К и Р так, что ; .
Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. найдите
площадь треугольника АВС, если известно, что площадь ∆ВСЕ=4см2
Решение.
1) Пусть АК=х, ВК=2х, ВР=у, СР=2у.
2) РМ॥КС; по теореме Фалеса:
ВМ=МК=ВК=2х=х; КМ=х
3) ∆АКЕ~∆АМР, , т.е. ; КЕ=МР
; т.е. МР=КС. В итоге получаем, что КЕ=
ЕС=
4) ∆ВЕС и ∆ВКС. У них высота, проведенная из
вершины В, общая, значит, их площади относятся как основания, т.е.
= (см2)
5) ∆ВКС и ∆ АВС, у них
высота, проведенная из вершины С – общая, значит, их площади относятся как основания:
, получаем:
S∆ABC = 7 (см2)
Ответ: S∆ABC
= 7 см2
Задача : Если ABCD – трапеция с основаниями AD и Вс, а Е – точка
пересечения ее диагоналей, то треугольники АВЕ и CDE
равновелики.
Разные способы доказательства.
I способ:
S∆ВСЕ = ; S∆СЕD = BE ×
CE S∆ВСЕ = S∆СЕD
II способ:
S∆ABE = S∆ABD - S∆AED
S∆CED = S∆ACD - S∆AED
S∆ABD = S∆ACD
(AD и Н – общие, высота
проведена из В и С).
S∆ABD = S∆ACD
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.