Задачи к уроку "Решение логических задач с помощью графов"

№1. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

№2. Ирена любит мороженое с фруктами. В кафе был выбор из таких вари­антов: пломбир с орехами; пломбир с бананами; пломбир с черникой; шоколадное с черникой; шоколадное с клубникой. В четырех вариантах Ирене не нравился или сорт мороженого, или наполнитель, а в одном варианте ей не нравилось ни мороженое, ни наполнитель. Она попросила приготовить из имеющихся продуктов порцию по своему вкусу. Какое же мороженое и с какими фруктами любит Ирена?

№3. В классе 36 человек. Ученики посещают математический, физический и химический кружки. Математический посещают 18 человек, физический – 14, химический – 10.

Кроме того, 2 человека посещают все 3 кружка, 8 – и математический и физический, 5 – и математический и химический, 3 - и физический и химический. Сколько учеников не посещают никаких кружков?

№4. При составлении расписания на понедельник в IX классе преподаватели высказали просьбу завучу.

Учитель математики: «Желаю иметь первый или второй урок».

Учитель истории: «Желаю иметь первый или третий урок».

Учитель литературы: «Желаю иметь второй или третий урок».

Какое расписание будет составлено, если по каждому предмету может быть только один урок?

№5. Пятеро одноклассников – Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что победитель олимпиады по информатике учит Ирену и Тимура работе на компьютере; Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой; Тимур всегда побаивался физики; Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием; Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике; Ирена сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу. Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

№6. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

№7. На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Боря, Сережа и Володя заняли первые четыре места. Мнения девочек разошлись, как места распределились между победителями.

Даша. Андрей был первым, Володя – вторым

Галя. Андрей был вторым, Борис – третьим

Лена. Боря был четвертым, Сережа – вторым.

Ася, которая была судьей на этих соревнованиях, сказала, что каждая из девочек сделала одно правильное и одно неправильное заявление. Кто из мальчиков какое место занял?

№8. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас имеет белые, один черные и один рыжие волосы, но ни у одного нет волос того цвета, на которые указывает его фамилия», – заметил черноволосый. «Ты прав», – сказал Белов.

Какой цвет волос у художника?

№9. Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:

Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке».

Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке».

Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

№10. Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Ответы

№1.Начинаем с молока. По условию, оно не в бутылке, не в банке и не в стакане ("стакан стоит около банки и сосуда с молоком.") Значит в кувшине. 
Далее, по условию, в банке не лимонад и не вода. И теперь мы знаем, что и не молоко. Значит в банке квас. 
Далее, по условию, вода не в бутылке. А теперь мы знаем, что она и не в кувшине и не в банке. Значит вода в стакане. 
Ну и остаётся, что лимонад в бутылке.

  В бутылке находится лимонад, в стакане – вода, в кувшине – молоко, в банке – квас.

№2. Два других возможных варианта – шоколадное с орехами и шоколадное с бананами, не подходят по условию задачи (число вариантов, в которых не нравятся и тип мороженого и наполнитель, в этих случаях равно двум вместо одного).

Ирена любит пломбир с клубникой.

№3. 8 учеников не посещают кружки.

№4. Есть две возможности:

а) первый урок – информатика, второй – история, третий – физика;

б) первый урок – физика, второй – информатика, третий – история.

№5. Ирена – победитель олимпиады по математике; Тимур – победитель олимпиады по географии; Камилла – победитель олимпиады по физике; Эльдар – победитель олимпиады по литературе; Залим – победитель олимпиады по информатике

№6. 2 сотрудника.

№7. Андрей – 1 место,Сергей – 2 место, Борис – 3 место, Володя – 4 место

№8. У художника Рыжова волосы черного цвета.

№9. Сосуд финикийский и изготовлен в V веке.

№10. .

Способ решения логических задач

+

-

Решение задачи

Рассуждение

Табличный

Способ кругов Эйлера-Венна 

Способ графов

+

-

Решение задачи

Способ решения логических задач

Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. Часто решение ведется методом от противного.

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи.

Рассуждение

 При применении алгебраического метода наиболее трудным является перевод текста задачи на язык формул. Логические законы и правила упрощения выражений, решение задачи сводится к формальным преобразованиям и приводит сразу к ответу, который остается лишь расшифровать, исходя из принятых вами обозначений.

Для того чтобы решать задачи этим методом, надо знать не только основные логические законы, но и уметь их применять, а также правильно составлять тождественно истинные высказывания. 

Табличный

Не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи, позволяет формализовать логические рассуждения.

 Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Способ кругов Эйлера-Венна 

Задачи, которые можно решить с помощью кругов Эйлера нельзя решить иначе, по сравнению с табличным методом или при помощи графов. Этот способ решать задачи придумал в XVIII в. великий Леонард Эйлер.

Метод диаграмм Эйлера-Венна позволяет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств.

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Решение. Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотрудников. В Англии и Италии тоже 5, значит эти же сотрудники были и во Франции и поэтому в пересечении кругов А и И ставим 0. В Франции и Италии нам неизвестно поэтому пишем х-5 в пересечении кругов А и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в фирме 19 сотрудников, то остается составить и решить уравнение:

1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, отсюда х=7, значит в Италии и Франции побывало 7-5=2 сотрудника фирмы.

Способ графов

Графом называют схему, в которой обозначаются только наличие объектов (элементов системы) и наличие и вид связи между объектами.

Объекты представляются в графе вершинами (на схеме они обозначаются кружочками, прямоугольниками и т.п.). Связи между объектами представляются, если связь однонаправленная (обозначается на схеме линиями со стрелками) или ребрами, если связь между объектами двусторонняя (обозначается на схеме линиями без стрелок).

Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах (пианино, виолончели, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают иностранные языки (английский, французский, немецкий и испанский), но каждая только один. Известно:

Девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански.

Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка.

Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского.

Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели.

Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?