Разработка урока "Решение логических задач с помощью графов"

Цель: научиться решать логические задачи способом графа и способом Эйлера.

Тип урока:

Форма организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, групповая.

Уч-ся раздаются карточки с 10 задачами,

Учитель: Что-то объединяет эти задачи? Какой тип задач перед вами.

Логический

Любая задача требует решения, мы сможем решить представленные логические задачи с помощью:

1. Решение логических задач с помощью рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

2. Решение логических задач с помощью таблиц

При использовании табличного способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Давайте попробуем решить эти задачи. Для решения мы разделимся на группы, по выбору карточек. Решение задач по времени- 5 минут.

Обсуждение решения каждой группы.

Учитель: Сколько задач вы решили. Разбор одной задачи у доски.

Все ли задачи решены? Как вы думаете, почему не смогли решить эти задачи?

Каким способом можно решить?

Назовите цель нашего урока.

научиться решать логические задачи способом графа.

Объяснение задачи учителем

Решение логических задач с помощью графов

Многие логические задачи связаны с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым числом элементов. Между элементами множеств имеются некоторые зависимости, которые требуется установить. Для решения таких задач можно использовать графы.

№1. При составлении расписания на понедельник в IX классе преподаватели высказали просьбу завучу.

Учитель математики: «Желаю иметь первый или второй урок».

Учитель истории: «Желаю иметь первый или третий урок».

Учитель литературы: «Желаю иметь второй или третий урок».

Какое расписание будет составлено, если по каждому предмету может быть только один урок?

Вершины графа – обозначения уроков и их порядковые номера в расписании.

Рёбра графа – высказывания преподавателей:

просьба учителя математики – красные линии (М1 и М2);

просьба учителя истории – зелёные линии – (И1 и И3);

просьба учителя литературы – синие линии (Л2 и Л3).

М

И

Л

1

2

3

№2. На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Боря, Сережа и Володя заняли первые четыре места. Мнения девочек разошлись, как места распределились между победителями.

Даша. Андрей был первым, Володя – вторым

Галя. Андрей был вторым, Борис – третьим

Лена. Боря был четвертым, Сережа – вторым.

Ася, которая была судьей на этих соревнованиях, сказала, что каждая из девочек сделала одно правильное и одно неправильное заявление. Кто из мальчиков какое место занял?

Эту задачу решим с помощью графа. Метод графов применяет тогда, когда между объектами существует много связей.

Андрей – 1 место,Сергей – 2 место, Борис – 3 место, Володя – 4 место

Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах( пианино, виолончели, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают иностранные языки (английский, французский, немецкий и испанский), но каждая только один. Известно:

1. Девушка, которая играет на гитаре говорит по испански.

2. Лариса не играет ни на скрипке ни на виолончели и не знает английского языка.

3. Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского.

4. Девушка, которая говорит по - немецки, не играет на виолончели.

5. Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Решение:

Из пятого условия, что Жанна знает французский язык, рисуем стрелку. Из третьего условия, что Марина не знает ни немецкого, ни английского, а французский знает Жанна, то Марина знает испанский и рассматривая первое условие она играет на гитаре. Из условия N2 видим, что Лариса играет на пианино, т.к. Марина играет на гитаре, а на других инструментах она играть не умеет, и значит, она говорит по-немецки.

Т.к. Жанна не играет на скрипке, то остается один инструмент, на котором она может играть это виолончель. Тогда Катя играет на скрипке, и знает английский язык.

Мною были рассмотрены различные методы решения содержательных логических задач, это такие методы как, метод решения задач при помощи таблицы, при помощи кругов Эйлера, при помощи алгебры высказываний и при помощи графов. Из этого можно сделать вывод, что, решая, какую-либо задачу не надо останавливаться на каком-то одном приеме, ведь вероятнее всего эту же задачу можно решить и другим методом, который будет и легче и проще для данной задачи. Задачи, которые я разобрала в своей курсовой работе, можно предлагать и школьникам и студентам высших заведений. Я считаю, что для школы, тема моей курсовой работы актуальна на дополнительных занятиях по математике, а также для школ с углубленным изучением математики.

№3. с помощью диаграмм Эйлера-Венна на основе теории множеств

В классе 36 человек. Ученики посещают математический, физический и химический кружки. Математический посещают 18 человек, физический – 14, химический – 10.

Кроме того, 2 человека посещают все 3 кружка, 8 – и математический и физический, 5 – и математический и химический,

3 - и физический и химический. Сколько учеников не посещают никаких кружков?

На изображение последовательно наносим круги, обозначающие множество учеников,

посещающих различные кружки (М 18 – 18 учеников посещают математический кружок и т.д.). В центре диаграммы область МФХ иллюстрирует посещаемость двумя учениками 3 кружков. Вместе с вами заполним остальные области (МФ, ХФ, МХ). Сколько учеников не посещают никаких кружков?

Ответ: 36-(7+6+5+3+2+1+4)=8 8 учеников не посещают кружки.

№2. Пятеро одноклассников – Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что победитель олимпиады по информатике учит Ирену и Тимура работе на компьютере; Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой; Тимур всегда побаивался физики; Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием; Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике; Ирена сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу. Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

Решение.

1. Рассмотрим множество школьников (И, Т, К, Э, З) и множество предметов, по которым проводятся олимпиады (Ф, И, М, Л, Г). По условию задачи между элементами множеств существует взаимно-однозначное соответствие. Если в ходе задачи выясняется, что X выиграл олимпиаду по предмету Y, то точки X и Y соединяются сплошным отрезком, в противном случае – пунктирным.

2. Согласно условиям 1, 2 и 3 ни Ирена, ни Камилла, ни Тимур, ни Эльдар не могут быть победителем олимпиады по информатике. Следовательно, Залим – победитель олимпиады по информатике. Соединим вершины графа «З» и «И» сплошным отрезком, а все остальные вершины, обозначающие название предметов, соединяем с вершиной «З» пунктиром.

3. Отобразим сведения, содержащиеся в высказываниях 3, 4 и 5 на графе.

4. Из графа видно, что Тимур – победитель олимпиады по географии. Следовательно, соединим вершины графа «Т» и «Г» сплошным отрезком, а все остальные вершины, обозначающие имена ребят, соединяем с вершиной «Г» пунктиром.

5. Из графа видно, что Камилла является победителем олимпиады по физике. Соединим вершины графа «К» и «Ф» сплошным отрезком, а все остальные вершины, обозначающие имена школьников, соединяем с вершиной «Ф» пунктиром. По условию 6 выясняется, что Ирена не является победителем олимпиады по литературе.

6. Из графа видно, что победителем олимпиады по математике является Ирена, то есть соединим вершины графа «И» и «М» сплошным отрезком.

7. Тогда Эльдар – победитель олимпиады по литературе. Имеем конечный граф.

Ответ. Ирена – победитель олимпиады по математике; Тимур – победитель олимпиады по географии; Камилла – победитель олимпиады по физике; Эльдар – победитель олимпиады по литературе; Залим – победитель олимпиады по информатике.

Большой интерес вызывают логические задачи, в которых приходится распутывать противоречивые сведения или показания.

В повседневной жизни всем нам приходиться сталкиваться с большими и маленькими логическими проблемами. Решение логических задач в известной мере моделирует решение научных проблем. Профессиональная деятельность человека практически во всех отраслях требует умение строить логические модели, анализировать множество разобщенных данных, фактов, делать заключения, выводы.

Логические задачи стоят особняком в огромном царстве задач, которые решаются в школе. Они не требуют специальных знаний, будь то математика или физика. В них

нет никакой игры слов, нет попыток ввести человека в заблуждение. Логические задачи очень разнообразны и их решение нельзя свести к одной-двум стандартным схемам.