Задания для подготовки к олимпиаде по математике по теме "Решение задач: применение делимости"

«Решение задач: применение делимости»

1.      Ковбой Джо зашел в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок спичек, цену которых он не знал.  Бармен потребовал 11 долларов 80 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и исправил ошибку.  Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?

2.      В стране Анчурии в обращении имеются купюры следующих достоинств: 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров и 1000 анчуров. Можно ли отсчитать ровно 1 миллион анчуров так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?

3.      Незнайка перемножил все числа от 1 до 100. Подсчитал сумму цифр произведения. У полученного числа он снова подсчитал сумму цифр и т.д.  В конце концов, он получил однозначное число. Какое?

4.      Петя заменил в примере на умножение одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными, и получил АБВГ=ДДЕЕ. Докажите, что он ошибся.

5.      Придумайте число, делящееся нацело на 11, в записи которого использованы все десять цифр по одному разу.

6.      Может ли сумма цифр точного квадрата () равняться 2013?

7.      Докажите, что число  — составное при .

8.      В девятизначном числе все цифры различны и нет цифры 0. Может ли такое число быть простым?

9.      Обозначим через сумму цифр числа . Решите уравнение: .

10.  Сумма цифр числа  равна , а сумма цифр числа  равна . Найдите , если .

11.  Обозначим через сумму цифр числа . Решите уравнение: .

12.  Из натурального числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа вычли сумму его цифр, и так поступали снова и снова. После одиннадцати таких вычитаний впервые получили нуль. С какого числа начали?