Задания городского этапа олимпиады по математике

Олимпиада по математике
Задания для 7 класса

1.                 Какое из приведенных в ответах чисел может быть количеством цифр, использованных для нумерации страниц книги, если на первых двух и на последних двух страницах номера страниц не проставлены?

        А. 2012.   Б. 2014.    В. 2016.       Г. 2018.

 Количество использованных однозначных номеров равно 7, двузначных — 90. Эти номера состоят из 7 + 90×2 = 187 цифр.

Обозначим через k количество страниц, занумерованных трёхзначными номерами. Тогда для нумерации страниц книги использовано 187 + 3k цифр. Занумеровано при этом 97 + k страниц.

Так как количество страниц в книге чётно, то число k нечётно, то есть оно имеет вид: k = 2m + 1. Следовательно, использовано 187 + 6m + 3 = 190 + 6m цифр. Это число при делении на 6 даёт остаток 4. Из приведенных чисел этому условию удовлетворяет только число 2014. Действительно, в книге с 710-ю страницами для нумерации страниц используется 2014 цифр.

Ответ. Б. 2014.

2.                 По кругу стоят мальчики и девочки так, что по одну сторону от каждой девочки стоит мальчик, а по другую — девочка. Через одного человека от каждого мальчика в одном направлении стоит мальчик, а в противоположном — девочка. Какое из приведенных в ответах чисел может быть количеством ребят, стоящих по кругу?

         А. 48.   Б. 28.    В. 25.       Г. 16.

 Если расставлять ребят в соответствии с условием, начиная с мальчика М₁ (см. рис.), то приходим к выводу, что девочки стоят по двое, а мальчики — по четверо. Следовательно, количество стоящих по кругу кратно 6. Этому требованию из приведенных чисел соответствует только число 48.      

Ответ. А. 48.

3.                 За месяц секундная стрелка механических часов, идущих правильно, сделала 41 760 оборотов. Какой это мог быть месяц?

     А. Январь.   Б. Февраль.    В. Март.       Г. Апрель.

 Из условия следует, что в месяце 41 760 минут. Так как в сутках 60×24 = 1440 минут, то в рассматриваемом месяце 41 760: 1440 = 29 суток. Это мог быть февраль високосного года.

Ответ. Б. Февраль.

4.                 В компьютерной игре нужно преодолеть 10 препятствий. Каждое препятствие, которое не удалось преодолеть за отведенное время, заменяется тремя другими. Игра завершена, если не осталось непреодолённых препятствий. Приз получает тот, кто смог завершить игру, преодолев не более 40 препятствий. Какое наибольшее количество препятствий можно не преодолеть, но, завершив игру, получить приз?

        А. 20.   Б. 15.    В. 10.       Г. Определить невозможно.

 За каждое препятствие, которое не удалось преодолеть, добавляется три дополнительных препятствий. Следовательно, при непреодолении некоторого препятствия количество препятствий, которые нужно преодолеть, увеличивается на два. Вначале было 10 препятствий. Следовательно, должно добавиться не более 40 – 10 = 30 препятствий. Искомое количество препятствий, то есть наибольшее количество препятствий можно не преодолеть, но, завершив игру, получить приз, равно 30:2 = 15.

Ответ. Б. 15.

5.                 Таня за прошлую неделю получила в три раза больше «пятёрок», чем за предыдущую, а «четвёрок» — в три раза меньше. Каких оценок больше получила Таня за две недели — «четвёрок» или «пятёрок», если за каждую неделю она получила одинаковое количество оценок, а «троек» и «двоек» Таня не получала?

       А. «Пятёрок».   Б. «Четвёрок».    В. Одинаково.       Г. Определить невозможно.

 Обозначим через х и у количества соответственно «пятёрок» и «четвёрок», полученных Таней за предыдущую неделю. Тогда за прошлую неделю она получила 3х «пятёрок» и  «четвёрок». Из условия следует равенство 3х +  = х + у или           2х = , или 3х = у.

За две недели Таня получила х + 3х = 4х «пятёрок и у +  =  "четвёрок". Так как , то количества  «пятёрок» и «четвёрок» равны.

Ответ. В. Одинаково.

6.                 На чемпионате мира по футболу в одной из групп 4 команды разыграли право на выход в одну восьмую финала, сыграв друг с другом по одной игре. Команда, занявшая І-е место, набрала 5 очков, ІІ-е — 4 очка, ІІІ-е — тоже 4 очка, но с худшей, чем у команды, занявшей ІІ-е место, разницей забитых и пропущенных мячей. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место? (За выигрыш команда получает 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков).

        А. Не менее 2.   Б. 2.    В. 1.       Г. 0.

 Команды сыграли 6 игр. После каждой игры сумма очков, набранных всеми командами, увеличивается на 3 или 2 очка. Команды, занявшие в рассматриваемой группе первые три места, в сумме набрали 5 + 4 + 4 = 13 очков. Из условия видно, что среди сыгранных в этой группе матчей, было по крайней мере две ничьи (5 = 3 + 1 + 1). Следовательно, искомое количество очков не более 16 – 13 = 3 очков.

У команды, занявшее последнее место не может быть 1 очко. В этом случае одна команда две игры свела вничью, а остальные — по одной, всего 5 ничьих, что невозможно.

У команды, занявшее последнее место не может быть и 0 очков. В этом случае команда, занявшая первое место в группе, свела ничьи с командами, занявшими 2-е и 3-е места. Тогда эти команды набрали бы не менее 10 очков (6 за победу над командой занявшей 4-е место, 2 – за ничью с командой, занявшей 1-е и 2 или 3 за игру между собой). Это противоречит условию. Таким образом, команда, занявшая последнее место, могла набрать 2 или 3 очка, то есть не менее двух. Нетрудно привести результаты матчей набравших и 2 очка и 3 очка.

Ответ. А. Не менее 2.

7.                 Учитель математики в течение года часто проводил контроль усвоения материала с выбором ответа из 5 предложенных. «Двоечник» Вася выбирал правильный ответ, если ему удавалось его списать у отличника Пети, который практически никогда не ошибался. В противном случае Вася выбирал ответ наугад. Оказалось, что за год Вася правильно выбрал ответы примерно на половину заданий. Каков процент заданий, ответы к которым Вася списал? Выберите наиболее точный результат.

          А. 40%.   Б. 30%.    В. 25%.       Г. 20%.

 Выбор правильного ответа из 5 наугад означает получение примерно 20% правильных ответов. Так как за год дано примерно 50% правильных ответов, то списал Вася правильных ответов примерно на 50 – 20 = 30% заданий.

Ответ. Б. 30%.

8.                 Петя получил со 100 рублей столько рублей сдачи, сколько он купил тонких тетрадей, половину в клетку, половину в линию. Какое из приведенных в ответах чисел может быть количеством купленных тетрадей в клетку, если стоимость тетрадей одинакова и выражается целым числом рублей?

       А. 6.   Б. 8.    В. 9.       Г. 10.

 Обозначим через k количество купленных тетрадей в клетку, а через m руб. — стоимость одной тетради. Петя купил 2k тетрадей, которые стоят 2km рублей. Из условия следует равенство 100 – 2km = 2k или 2k(m + 1) = 100. Следовательно k — делитель 100. Из приведенных чисел только число 10 удовлетворяет этому условию.

Ответ. Г. 10.

9.                 В 6-А было 19 учеников. В начале учебного года в классе появилось 4 новых ученика. Сколько теперь в 6-А мальчиков, если с приходом новых учеников количество  девочек увеличилось на 10% ?

            А. 10.   Б. 11.    В. 12.       Г. 13.

  Так как количество  девочек увеличилось на 0,1 первоначального количества, то оно делится на 10  и меньше 20. Значит, девочек было 10, а стало 11.  В классе стало 23 ученика. Следовательно теперь в 7-А 23 – 11 = 12 мальчиков.

                                                                         Ответ. В. 12.

10.            В двух классах 55 учащихся.  учащихся одного класса и  учащихся другого класса посещают спортивные секции. Сколько всего учащихся посещают спортивные секции?

         А. 13.   Б. 12.    В. 11.       Г. 10.

 Количество учащихся класса, упомянутого первым, делится, по условию, на 17, то есть оно может равняться 17 или 34, или 51. Тогда в другом классе соответственно 55 – 17 = 38, или 55 – 34 = 21, или 55 – 51 = 4 учащихся. Количество учащихся в другом классе, по условию, делится на 3. Из трёх полученных чисел на 3 делится только 21. Следовательно, в рассматриваемых классах соответственно 34 учащихся и 21. Посещают спортивные секции соответственно 34× = 6 и 21× = 7 учащихся, всего 6 + 7 = 13 человек.

Ответ. А. 13.

11.            После того, как 1500 новых вкладчиков в банке открыли счета на общую сумму 7 млн. 800 тыс. руб., средний размер вклада, составлявший 6 тыс. руб., уменьшился на 10%. Определите количество старых вкладчиков банка.

 Обозначим количество старых вкладчиков через п. Тогда общая сумма их вкладов равнялась 6п тыс. руб. После открытия новых счетов количество вкладчиков стало равным п + 1500, а общая сумма их вкладов составила (6п + 7800) тыс. руб. Согласно условию задачи, имеем

 или 0,6п = 5,4×1500 – 7800. Отсюда п = 500.

Ответ. 500.

12.            В пиццерии подают два вида круглой пиццы одинаковой толщины, но разного размера. Маленькая пицца имеет диаметр 30 см и стоит 15 зедов (зед — условная денежная единица). Большая пицца имеет диаметр 40 см и стоит 25 зедов. Какую пиццу выгоднее покупать?

 Определим, сколько см² каждой пиццы можно приобрести на 1 зед. По формуле площади круга площадь маленькой пиццы приближённо равна 3,14×15² = 706,5 см², она стоит 15 зедов, поэтому на 1 зед можно приобрести 706,5:15 = 47,1 см² пиццы. Площадь большой пиццы приближённо равна 3,14×20² = 1256 см², она стоит 25 зедов, поэтому на 1 зед можно приобрести 1256:25 = 50,24 см² пиццы. Следовательно, на 1 зед можно приобрести большую площадь большой пиццы, чем маленькой. Выгоднее покупать большую пиццу.

Ответ.  Большую.

13.            На дне рождения у Тани было съедено 9 заварных пирожных, 6 песочных и 3 бисквитных. Тех, кто съел 2 пирожных, вдвое меньше тех, кто съел одно, а съевших 3 пирожных в 3 раза меньше съевших одно. Больше трёх пирожных не съел никто. Сколько гостей было у Тани?

 Всего было съедено 9 + 6 + 3 = 18 пирожных. Если через х обозначить количество детей, съевших по одному пирожному, то они съели всего х пирожных. Те, кто съели по 2 пирожных, всего съели  пирожных, а те, кто съели по 3 пирожных, — . Имеем уравнение х + х + х =18 или 3х = 18, х = 6. Отсюда следует, что тех, кто ел пирожные, было 6 + 3 + 2 = 11. Следовательно, гостей было не менее 10, так как пирожные могла есть и Таня (а она не гость), а среди гостей могли быть и те, кто не ел пирожных.

Ответ. Не менее 10.

14.            Какое наименьшее количество граней 27 одинаковых белых кубиков нужно закрасить, чтобы из них нельзя было сложить куб, все грани которого белые?

 Из 27 одинаковых кубиков можно сложить куб, изображённый на рисунке. Если закрасить все грани двух кубиков (то есть 12 граней), то по крайней мере одна закрашенная грань будет на поверхности сложенного куба, так как только у одного кубика ни одна из граней не лежит на поверхности куба.

Если закрашено 11 граней, то можно сложить кубики так, чтобы все грани были белыми. Для этого положим кубик, у которого закрашенных граней не меньше, чем у каждого из остальных кубиков, в центр большого куба. У каждого из остальных не более пяти кубиков закрашено не менее двух граней. Их можно разместить в центрах граней большого куба так, чтобы закрашенные грани не были видны.

У каждого из оставшихся кубиков закрашено не более одной грани. Их можно разместить в любом месте так, чтобы закрашенные грани не были видны.

Ответ. 12.