Занятие элективного курса по теме: Решение тригонометрических уравнений с модулем

Занятие по теме: «Тригонометрические уравнения с модулем».

Цель занятия: формирование у учащихся навыков решения тригонометрических уравнений с модулем.

Задачи занятия:

Образовательная: освоить алгоритм решения тригонометрических уравнений с модулем.

Развивающая: развивать у учащихся навыки самостоятельно приобретать знания, применять их на практике, развивать логическое мышление, математическую речь, память, умение рассуждать, выделять главное, делать выводы.

Воспитательная: воспитывать познавательный интерес к предмету, трудолюбие и целеустремленность, аккуратность и точность при выполнении заданий по теме занятия.

Технология обучения: развивающее обучение.

Тип занятия: комбинированный.

Оборудование: мультимедийный компьютер с проектором и экраном, презентация по теме занятия, карточки с тестом, карточки для работы в группах, карточки с домашним заданием, линейка, циркуль.

Ход занятия

1. Организационный момент.

- Тема нашего занятия «Тригонометрические уравнения с модулем».  Цель занятия: формирование навыков решения тригонометрических уравнений с модулем. Сегодня мы с вами повторим решение тригонометрических уравнений, рассмотрим алгоритм решения уравнений с модулем, продолжим подготовку к ЕГЭ по математике.

- Древнекитайский философ Конфуций считал, что «Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – самый легкий и путь опыта – самый горький». Сегодня на уроке мы будем размышлять, подражать, то есть решать по образцу, чтобы набираться опыта.

(слайды 1-2)

2. Проверка домашнего задания.

- Проверим домашнее задание.

На слайде демонстрируется решение домашней работы (10 заданий прототипы № 9). Один из учащихся заранее выписывает решение задания повышенной степени сложности на доске. Учащиеся проверяют у себя в тетрадях выполнение заданий, при необходимости задают вопросы учителю. Учитель отвечает на вопросы учащихся.

(слайды 3-4)

Ответы на прототипы № 9

№ 2	№ 4	№ 8	№ 9	№ 10	№ 42	№ 43	№ 44	№ 45	№ 49
1	- 3	6	- 9	- 42	- 2	0,3	0,7	0,4	- 0,12

*Задание  повышенной степени сложности:

№ 10.4 Решите уравнение .

Решение:

Левая часть уравнения имеет смысл при .

Получим совокупность .

Решая первое уравнение, получим , откуда  и .

Решая второе уравнение, получим .

Учитывая, что , получаем , , .

Ответ: ,

            ,

            .

3. Тест: проверка решений простейших тригонометрических уравнений.

Учащиеся получают карточки с заданием на проверку решений простейших тригонометрических уравнений. Выполняют задания 4-5 минут, затем проверяют друг у друга выполнение заданий. Правильные ответы появляются на слайде.

(слайд 5)

1 вариант       Решите уравнения: 1)   Cos x = 0              2) Sin x = – 1 3)   2Cos x – 1 = 0      4) Sin x =  – 5)   Sin x + Cos x = 0 Выберите к каждому уравнению ответ: A.    x = ± π/3 + 2πk, k Є Z   B.     x = π/2 + πk, k Є Z C.    x = π/2 + 2πk, k Є Z D.    x = (–1)k+1π/6 + πk, k Є Z E.     x = (–1)k+1π/4 + πk, k Є Z F.     x = –  π/2 + 2πk, k Є Z G.    x = – π/4 + πk, k Є Z Ответы:

2      вариант    Решите уравнения: 1)   Sin x = 0                  2) Cos x = – 1 3) 2Sin x –   = 0       4) Cos x =  – 5) Sin x – Cos x = 0 Выберите к каждому уравнению ответ: A.    x = ± π/6 + 2πk, k Є Z   B.     x = π + 2πk, k Є Z C.    x = πk, k Є Z D.    x = π + πk, k Є Z   E.     x = (–1)kπ/3 + πk, k Є Z F.     x =   π/4 + πk, k Є Z G.     x = ± 5π/6 + 2πk, k Є Z

1 вариант  

1	2	3	4	5
B	F	A	E	G

2 вариант

1	2	3	4	5
C	B	E	G	F

      4. Изучение новой темы.

- Мы с вами уже рассматривали различные тригонометрические уравнения, в том числе и уравнения, подобные № 13 из профильного ЕГЭ по математике. Сегодня познакомимся с алгоритмом решения тригонометрических уравнений с модулем.

- Вспомним, что такое модуль числа?

Ответ учащихся:

Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а < 0.

- Согласно данному определению в уравнениях модуль можно раскрывать следующим образом:

(слайды 6-7)

- Рассмотрим пример решения уравнения с модулем:

№ 10.5

5. Закрепление темы занятия.

Учитель делит класс на группы и раздает карточки с заданиями.

- У каждого из вас есть выбор: сдавать ЕГЭ по математике профильного или  базового уровня. И сейчас разделимся на группы, в зависимости от выбранной формы экзамена по математике. Первые две группы «теоретики» получают задания на работу с готовым решением. Следующие две группы «практики» получают задания на решение тригонометрических уравнений с модулем.

Учащиеся работают по группам. По окончании работы «практики» показывают результаты решения на доске.

Задание «теоретикам»:

Найдите ошибку в решении уравнения: № 10.6

Решение:

Рассмотрим  решение  уравнения вторым  способом. Составим совокупность их двух систем уравнений.

 

          Sin 2x = Cos x                2 Sin xˑCos x – Cos x = 0              Cos x(2Sin x – 1) = 0

          Cos x ≥ 0                         Cos x ≥ 0                                        Cos x ≥ 0

–Sin 2x = Cos x              –2 Sin xˑCos x – Cos x = 0            Cos x(2Sin x + 1) = 0

Cos x ≥ 0                          Cos x ≥ 0                                       Cos x ≥ 0               

 

Решим уравнение первой системы:

Cos x(2Sin x – 1) = 0

Cos x = 0                                           2Sin x – 1 = 0

x =  + 𝛑k, k Є Z   - удовл.            Sin x =        

условию Cos x ≥ 0                            x₁ =   + 2𝛑k, k Є Z   - удовл условию Cos x ≥ 0

                                                           x₂ =  + 2𝛑k, k Є Z    - не удовл. условию Cos x ≥ 0

                                                                                           (т.к. x₂ находится во 2 четверти)                                                                                        

Решим уравнение второй  системы:

 Cos x(2Sin x + 1) = 0      

 Cos x = 0                                           2Sin x + 1 = 0

x =  + 𝛑k, k Є Z   - удовл.             Sin x = –       

условию Cos x ≥ 0                            x =  (-1)^k+1  + 𝛑k, k Є Z      

Ответ:  + 𝛑k, k Є Z ;      + 2𝛑k, k Є Z  ;  (-1)^k+1  + 𝛑k, k Є Z      

Ошибка в том, что при решении второй системы не учтено, что Cos x ≥ 0. Поэтому вместо ответа  (–1)^k+1π/6 + πk, k Є Z должна быть записана серия - π/6 + 2πn, n Є Z

Решение выводится на слайде, учащиеся комментируют решение, указывая на ошибку.

(слайды 8-11)

Задание «практикам»:

Решите уравнения:

№ 10.7     ctg x ·│Sin x│ = 0,5     

№ 10.8      = 2 sin x – 2

6. Решение задания повышенной степени сложности.

Учитель предлагает решить задание: № 10.9

 +  = 7 + 2 

(слайд 12)

Решение:

│3Sin x – 4│ + │Sin x – 3│= 7 + 2 

 –3Sin x + 4 – Sin x + 3 = 7 + 2 

– 4 Sin x = 2

Sin x = –

     x = (–1)^k+1π/3 + πk, k Є Z

Ответ:  x = (–1)^k+1π/3 + πk, k Є Z

Один из учащихся показывает решение на доске.

7. Запись домашнего задания:

- Прежде чем, мы подведём итоги занятия, запишем домашнее задание:

учитель раздает карточки с домашним заданием.

1)    Решать прототипы задания № 9:

№ 17, 18, 19, 20, 33, 34, 35, 36, 51, 52

2)    Решить уравнение* № 10.10

│Sin x -  │= Cos x -

8. Подведение итогов урока, рефлексия.

- Скажите, что нового вы узнали сегодня на занятии?

- Какие трудности испытывали?

- Решение, каких уравнений повторили?

- Наше занятие закончено. Спасибо за работу!

Учитель: Николаева Лариса Анатольевна (МОАУ «СОШ № 4 г. Соль-Илецка»)

Краткое описание документа:

Занятие элективного курса направлено на расширение знаний, умений учащихся по теме: "Решение тригонометрических уравнений". Особое внимание уделяется решению тригонометрических уравнений с модулем. На занятии проводится самостоятельная работа, используется форма групповой работы учащихся, повторяется материал с целью подготовки к ЕГЭ.