Проектная работа по теме "10 способов решения квадратных уравнений" 9 класс

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №10 с углублённым изучением отдельных предметов»

Проектная работа по геометрии

Тема: 10 способов решения квадратных уравнений

Выполнила: ученик

МАОУ СОШ №10 с УИОП 9Б класса

Ефимов Егор

Руководитель: учитель математики

Демидова Алёна Николаевна

Альметьевск

2020

Введение

         Практически все, что окружает современного человека - это всё так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомились с несколькими видами квадратных уравнений и  отрабатывали  их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому я выбрал тему проектной работы, связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «10 способов  решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением  квадратных  уравнений.  Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  квадратные уравнения,  это также может мне  пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цель работы: Изучение 10 способов решения квадратных уравнений.

Задачи:

-  изучить историю развития квадратных уравнений;

- рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

- выявить наиболее удобные способы  решения квадратных уравнений;

- научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить  всеми существующими способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. В него вошли как известные нами из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax² + bx + c = 0,

где  х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем,  а ≠ 0.  

   Если в квадратном уравнении ах² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов bили с равен нулю, то такое уравнение называют неполным  квадратным уравнением.

Неполные квадратные  уравнения бывают трёх видов:

1) ах² + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах² + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах² = 0.

Из истории квадратных уравнений.

а) Квадратные  уравнения в Древнем Вавилоне

  Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных  участков и с земляными работами  военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные  уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные  уравнения:

         х² + х =  ,     х² –  х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

б) Квадратные  уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

         ах² + bх = с,  а> 0

В уравнении  коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

в) Квадратные  уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд,  в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.  

   Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

                                                х² + bх = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с  было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

   Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли  среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Способы решения квадратных уравнений

1.     Решение  квадратных уравнений через дискриминант.

Корни уравнения ах² + bх + с = 0, а ≠ 0 можно найти по формуле

, где выражение b² - 4ac= Dназывается дискриминантом.

Таким образом:

1.     В случае положительного дискриминанта, т.е. при b² - 4ac>0, уравнение

 ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень x=.

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b² - 4ac< 0,  то уравнение ах² + bх + с = 0 не имеет корней.

Данная формула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

Пример:,

а =3,  в=4,   с=-7,

,

D= 4² - 4∙3∙ (-7) = 16 + 84 = 100,

,

,

.

2.     Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

Если второй коэффициент  уравненияb = 2k– четное число, то формулу корней        можно записать в виде

     Приведенное уравнение       х² + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором   а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид 

Формулу удобно использовать, когда р— четное число.

Пример:

,

,

,

,

,

,

.

3.     Решение квадратных уравнений выделением полного квадрата двучлена

,

,

,

,если,

,

Пример:

Решить уравнение х²+ 6х — 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Запишем выражение х² + 6х в следующем виде: х²+ 6х = х²+ 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как х² + 2• х • 3 + 3²= (х + 3)².

Преобразуем теперь левую часть уравнения х²+ 6х — 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

х²+ 6х — 7 = х² + 2• х • 3 + 3²— 3²— 7 = (х + 3)²— 9 — 7 = (х + 3)²— 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)²— 16 =0,

(х + 3)²= 16.

Следовательно, х + 3 = -4 или х + 3 = 4

                            х₁ = -7         х₂= 1  

4.     Решение квадратных уравнений разложением на множители.

При решении квадратных уравнений часто при­меняется метод разложения на множители (с по­мощью вынесения за скобки общего множителя, фор­мул сокращенного умножения или способа группи­ровки).

Пример:,

Разложим левую часть на множители:

,

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при , а также при Это означает, что числа и 1 являются корнями уравнения 

5.     Решение квадратных уравнений при помощи теоремы Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

, где первый коэффициент равен единице.

         Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле:

.

          Чтобы квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, а ≠ 0 привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a,и квадратное уравнение примет вид

=0. Тогда

Если обозначитьи , то мы  получим уравнение вида. А формулы  примут вид

         Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример:,

,

,

         По коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней.

     а) Если свободный член q приведенного уравнения положителен (q> 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента:

если р< 0, то оба корня  положительные;

если р> 0, то оба корня отрицательные.

Например,

х² – 3х + 2 = 0;  х₁ = 2  и  х₂ = 1, так как  q = 2 > 0  и   p =  – 3 <0;

х² +8х + 7 = 0;  х₁ =  –  7   и  х₂ =  – 1, так как  q = 7 > 0 и  p = 8 >0.

       б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0 , или отрицателен, если p> 0.

Например,

х² + 4х – 5 = 0;  х₁ =  –  5   и  х₂ = 1, так как  q = –  5<0 и  p = 4 > 0;

х²  –8х – 9 = 0;  х₁ = 9   и  х₂ =  –  1, так как  q = –  9<0 и  p = –  8 >0.

6.     Графическое решение квадратных уравнений

Если в уравнении х²+ px+ q= 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х²= — px— q.

Построим графики зависимости у = х² и у = — px— q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости —прямая.

Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры:

1)Решить уравнение =0

Преобразуем уравнение к виду .

 Построим в одной системе координат графики функций

 и 

Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B, значит,.

Ответ:

2)Решим графически уравнение х²— 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х²= 2х — 1.

Построим параболу у = х² и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке с

абсциссой х = 1. Ответ:х = 1.

3)Решим графически уравнение х²— 2х + 5 = 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде х²= 5х — 5. Построим параболу у = х² и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ: уравнение х²— 2х + 5 = 0 корней не имеет.

7.     Решение квадратных уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, гдеа ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а²х²+ аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у²+ by+ ас = 0,

равносильно данному. Его корни у₁и у₂ найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаемх₁= у₁/а и х₂= у₂/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х²– 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение 4х²– 22х + 30 = 0

2х = у, откуда х = у/2

4(у/2)²– 22(у/2) + 30 = 0

у²– 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5     и   у₂= 6 

х₁= 5/2x₂= 6/2 

x₁= 2,5x₂= 3

Ответ: 2,5; 3.

8.     Решение квадратных уравнений с помощью  свойств коэффициентов.

Пусть дано квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, гдеа ≠ 0.

А) Если а+ b+ с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1,х₂= с/а.

Б) Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х₁ = – 1, х₂  = –  .

Решим уравнение 345х²– 137х – 208 = 0.

Решение. Так кака + b+ с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х₁= 1, х₂= c/a= -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Решим уравнение 132х² - 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то

х₁= - 1, х₂= -

Ответ: - 1; -

9. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

   Графический способ решения квадратных уравнений с помощью  параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

  Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного

уравнения        ах² + bх +  с = 0  с помощью циркуля и линейки.

Итак:

1)    построим точки S(; )  (центр окружности)  и  А (0;1);

2)    проведем окружность с радиусом  SA;

3)    абсциссы точек пересечения этой окружности с осью  Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а)   B(х₁; 0)  и  D (х₂;0), где

х₁ их₂  –   корни  квадратного уравнения ах² + bх +  с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох  в точке  B(х₁; 0 ), где

х₁ – корень  квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS<SВ, или R<), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

а) AS>SВ,  или R>.            б) AS = SВ,  илиR = .                             в) AS<SВ, или R<

Два решения х₁ их₂.                      Одно решение х₁                                                               Нет решения

А)Решим  уравнение

  х²  –5х + 4 = 0. 

    Решение.  Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = –

у =  =

у            Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

                        S(2,5; 2,5)

A

1 

           1                  4      х                                                

Ответ: х₁  =  1  ,  х₂ =  4 .

Б) Решим  уравнение

   х²  +4х + 4 = 0. 

    Решение.  Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = –

у =   =

  Проведем окружность радиуса SA, где  А (0;1).

                    у

S( - 2; 2,5)

                  А

  - 2                                         х                    Ответ: х= –  2 .

В) Решим  уравнение

   х²  –2х + 3 = 0. 

    Решение.  Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = –

у =  =

  Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

      у

             S(1; 2)

     А

                                           х  

Ответ: уравнение не имеет решения.

10. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М.  Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).

   Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Примеры

Для уравнения z2 –9z + 8 = 0.  p = -9, q = 8 Номограмма дает корни z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 12).
Решим  с помощью номограммы уравнение        2z2  –9 z + 2 = 0.      Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,получим уравнение  z2– 4, 5z + 1 =  0. p = -4,5, q = 1 Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5. (рис. 12).
Для уравнения  z2 + 5 z – 6 =  0 p = 5, q = -6 номограмма дает положительный корень z1 = 1,  а отрицательныйкорень находим, вычитая положительный корень из –р,   т.е.   z2 = – р –1 = –5 –1 = –6     (рис.13.)
Для уравнения   z2 – 2z – 8 = 0 p = -2, q = -8 номограмма даетположительный корень z1 = 4,   отрицательный равенz2 = – р –z1 = = 2 – 4 = –2.(рис.13.)

Заключение:

В ходе выполнения проектной работы я считаю, что с поставленными целями и задачами справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

         Способов решения квадратных уравнений очень много. Я  нашёл 10 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания. В данной работе представлены тренировочные задания для каждого из способов решения квадратных уравнений.      

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться мне на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.

Литература

Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.

Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/  В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.

Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990-

Теорема Виета– Режим доступа:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta/

 Квадратные уравнения– Режим доступа: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html

Краткое описание документа:

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решениемквадратныхуравнений.Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения,это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.