Буклет по математике на тему " Свойства функции"

Министерство образования Красноярского края

краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Шушенский сельскохозяйственный колледж»

Свойства функций

Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет:

Загадок больше, чем отгадок,

И поискам предела нет!

Л.Татьяничева. Беспредельность

Справочный материал для студентов 1 курса

Выполнили: члены кружка «Учись с увлечением»

2016 г.

Свойства функции:

1.    Четность, нечетность.

2.    Периодичность.

3.    Монотонность(возрастание, убывание.)

4.     Экстремумы (минимум, максимум)

5.    Ограниченность сверху, снизу.

6.     Алгоритм построения графика функции.

Из истории

Ø функция” (от латинского function – исполнение, осуществление) в математике впервые употреблено немецким математиком В.Г.Лейбницем. Но сами функции и способы их задания фактически изучались людьми очень  давно.

Ø Знаменитый древнегреческий историк Геродот в 425 году до нашей эры писал, что египетские цари, разделив землю между египтянами, брали ежегодный налог, пропорциональный площади занимаемого участка. Конечно, ни египетские цари, ни землевладельцы, ни сам Геродот не произносили слова “функция”, но ведь речь идёт о том, что каждому значению площади соответствовало некоторое значение налога.

Определение

Ø Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью или функцией.

Ø СПОСОБЫ  ЗАДАНИЯ  функции:  аналитический (формула), табличный, графический               

Ø ГРАФИК ФУНКЦИИ –   множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, т.е. множество  точек плоскости (х, у (х)).

Опр.1. Функцию у= f(x) называют возрастающей на множестве Х , если для любых точек  x₁    и   x₂   из множества Х, таких, что  x₁ < x₂, выполняется  неравенство  f (x₁) < f  (x₂). (Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение  функции)

Опр.2. Функцию у= f(x) называют  убывающей на множестве Х , если для любых точек x₁  и x₂    из множества Х, таких , что    x₁ < x₂, выполняется  неравенство f (x₁ ) > f(x₂). (Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение  функции)

Термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием

монотонная функция

Опр.3. Функцию у= f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа, т.е., если существует такое число m, что для любого значения х выполняется неравенство f(x) > m

Опр.4. Функцию у= f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х  меньше  некоторого числа , т.е. , если существует такое число М , что для любого значения х выполняется неравенство f(x) < М

Если функция ограничена и снизу и сверху на всей области определения, то ее называют ограниченной.

Опр.5. Число m называют наименьшим значением функции у= f(x) на множестве Х , если:

1) во  множестве  Х существует такая точка   x₀   , что f(x₀) = m

2) для любого значения х из множества Х выполняется неравенство

 

Опр.6. Число М называют наибольшим значением функции у= f(x) на множестве Х, если:

1) во  множестве  Х существует такая точка, что f(x₀) = М

2) для любого значения  х из множества Х выполняется неравенство

 

Утв.1. Если у функции существует  y_наиб,то она ограничена сверху

Утв.2. Если у функции существует   y_наим,   то она ограничена снизу.

Опр.7. Точку x₀  называют точкой максимума функции у =  f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой 

(кроме самой точки  x₀) выполняется неравенство

 Опр.8. Точку x₀  называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой  (кроме самой точки x₀) выполняется неравенство 

Точки максимума и минимума  объединяют общим названием – точки экстремума

Опр.9. Функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Опр.10. Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Непрерывность функции на отрезке Х – означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва

Опр. 11. Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x).График четной функция симметричен относительно оси ординат.

Опр.12. Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = - f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Утв.3.  Если график функции симметричен относительно оси ординат, то функция четная

Утв.4.  Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетная

Алгоритм исследования функций:

1. Область определения функции.

2. Четность, нечетность.

3. Непрерывность

4. Выпуклость

5. Нули функции.

6. Промежутки возрастания, убывания.

7. Точки экстремума

8. Ограниченность функции

9. Наибольшее, наименьшее значение функции

10.  Множество значений функции.