Численные методы. Вычисление интегралов. Сравнение методов трапеций и Симпсона.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение 2

2. Постановка задачи 2

3. Теоретическая часть. 2

4. Блок-схема метода трапеций 2

4. Блок-схема метода Симпсона 2

5. Описание программы. 2

6. Результат выполнения программы 2

7. Заключение 2

Список литературы 2

 

1. Введение

В данной работе рассмотрены два метода вычисления интегралов – метод трапеций и метод Симпсона. Для решения уравнения составлена программа – приложение win32 в среде Microsoft Visual Basic 6.0 for 32-bit Windows Development. В пояснительной записке рассмотрена теория данных методов, представлены блок-схема методов трапеций и Симпсона, описана структура программы и основных компонентов. Дан код программы и описана графическая часть программы – визуализации с использованием компонента PictureBox.

2. Постановка задачи

Рассчитать s = двумя способами – методом трапеций и методом Симпсона.

Количество разбиений отрезка задается с клавиатуры. Представить на графике зависимость погрешности данных методов от количества разбиений N (N изменяется на интервале [10, 200] с шагом 10). Точное решение находится по формуле Ньютона-Лейбница.

3. Теоретическая часть.

3.1. Метод трапеций.

Суть метода трапеций состоит из разбиения криволинейной трапеции на n-равных частей и построении на заданных отрезках трапеций и подсчете общей суммы площадей этих трапеций.

Рис. 1. Рисунок, представляющий метод трапеций.

Для разбиения интервала [a; b] на n-частей требуется посчитать h = (b-a)/n.

Далее на каждом отрезке восстанавливаем высоты до линии функции на их базе строим трапеции. Подсчитываем площади трапеций dS = (x2-x1)*(f(x1)+f(x2))/2.

Первоначально берется x1=a, x2=x1+h. Далее x1=x2, x2 = x1+h и т.д.

3.2. Метод Симпсона.

Формула для расчета несколько более сложная. Площадь каждой фигуры считается по формуле: dS = (x2-x1)*(f(x1)+4*f((x2+x1)/2)+f(x2))/6. После чего суммируются площади всех фигур, в результате чего мы получим число, соответствующее рассчитываемому определенному интегралу.

Данную формулу можно трактовать и иначе – для части криволинейной трапеции строится некоторый прямоугольник высотой y_sr = 1/6*f(x1)+4/6*f((x2+x1)/2)+1/6*f(x2). А затем находится его площадь: dS = h*y_sr.

Рис. 2. Графическое пояснение метода Симпсона.

В ходе выполнения курсовой работы выясним, действительно ли метод Симпсона дает более точный результат, чем метод трапеций или нет в данном конкретном случае. Обычно, за начальную точку x0 берется середина интервала [a, b], на котором ищется корень: x0 = (b+a)/2. Одно из необходимых условий нахождения корня – функция f(x) на данном интервале должна быть непрерывная.

4. Блок-схема метода трапеций

Рис. 3. Блок-схема метода трапеций.

4. Блок-схема метода Симпсона

Рис. 4. Блок-схема метода Симпсона.

5. Описание программы.

Программа состоит из нескольких форм. Формы их назначение описаны в таблице 1.

Таблица 1. Формы программы.

Назначение

Form1

Главное окно программы. На данной форме расположены 5 кнопок:

• «О программе»,

• «Расчет интеграла. Метод трапеций.»,

• «Визуализация метода трапеций.»,

• «Расчет интеграла. Метод Симпсона.»,

• «Визуализация метода Симпсона».

Form2

Форма «О программе», вызываемая кнопкой «О программе».

Form3

Форма визуализации метода трапеций, вызываемая кнопкой «Визуализация метода трапеций».

Form4

Форма визуализации метода Симпсона, вызывается кнопкой «Расчет интеграла. Метод Симпсона».

Рис. 5. Общий вид программы.

VERSION 5.00

Begin VB.Form Form1

BackColor = &H00800000&

Caption = "Вычисление интеграла методом трапеций и методом Симпсона"

ClientHeight = 7380

ClientLeft = 60

ClientTop = 390

ClientWidth = 10260

LinkTopic = "Form1"

ScaleHeight = 7380

ScaleWidth = 10260

StartUpPosition = 3 'Windows Default

Begin VB.CommandButton Command5

BackColor = &H00FFFFC0&

Caption = "Визуализация метода Симпсона."

Height = 1335

Left = 5760

MaskColor = &H00FFFF80&

TabIndex = 4

Top = 3840

Width = 4215

End

Begin VB.CommandButton Command4

BackColor = &H00FFFFC0&

Caption = "Расчет интеграла. Метод Симпсона."

Height = 1335

Left = 840

MaskColor = &H00FFFF80&

TabIndex = 3

Top = 3840

Width = 4215

End

Begin VB.CommandButton Command3

BackColor = &H00FFFFC0&

Caption = "Визуализация метода трапеций."

Height = 1335

Left = 5760

MaskColor = &H00FFFF80&

TabIndex = 2

Top = 2160

Width = 4215

End

Begin VB.CommandButton Command2

BackColor = &H00FFFFC0&

Caption = "Расчет интеграла. Метод трапеций."

Height = 1335

Left = 840

MaskColor = &H00FFFF80&

TabIndex = 1

Top = 2160

Width = 4215

End

Begin VB.CommandButton Command1

BackColor = &H00FFFFC0&

Caption = "О программе"

Height = 1215

Left = 5760

MaskColor = &H00FFFF80&

TabIndex = 0

Top = 600

Width = 4215

End

End

Attribute VB_Name = "Form1"

Attribute VB_GlobalNameSpace = False

Attribute VB_Creatable = False

Attribute VB_PredeclaredId = True

Attribute VB_Exposed = False

Sub Trapecii()

a = 0

b = 3.1415926535897 / 2

n = InputBox("n = ")

s = 0

h = (b - a) / n

X1 = a

X2 = X1 + h

While X2 <= b

ds = (X2 - X1) / 2 * ((Sin(X1) ^ 2) + (Sin(X2) ^ 2))

s = s + ds

X1 = X2

X2 = X1 + h

Wend

MsgBox ("При n = " + Str(n) + " Интеграл = : " + Str(s))

End Sub

Sub Simpson()

a = 0

b = 3.1415926535897 / 2

n = InputBox("n = ")

s = 0

h = (b - a) / n

X1 = a

X2 = X1 + h

i = 1

While X2 <= b

y_sred = 1 / 6 * (Sin(X1) ^ 2) + 2 / 3 * (Sin((X1 + X2) / 2) ^ 2) + 1 / 6 * (Sin(X2) ^ 2)

s = s + y_sred * h

X1 = X2

X2 = X1 + h

Wend

MsgBox ("При n = " + Str(n) + " Интеграл = : " + Str(s))

End Sub

Private Sub Command1_Click()

Form2.Show

End Sub

Private Sub Command2_Click()

Trapecii

End Sub

Private Sub Command3_Click()

Form3.Show

End Sub

Private Sub Command4_Click()

Simpson

End Sub

Private Sub Command5_Click()

Form4.Show

End Sub

Формы Form3 и Form4 визуально показывает разбиение криволинейной трапеции на части по методам трапеций или Симпсона. Это показано на рис.

Следует заметить, что начало координат у компонента PictureBox начало координат находится в левом-вернем углу. При построении взята область размером 6000х6000 усл. единиц. Поэтому при построении графика функции нужен перерасчет координат. На рис. 6. представлено соотношение координат компонента PictureBox и классической декартовой системы координаты.

Рис. 6. Отношение систем координат.

Поэтому при построении нужно пересчитать координаты точек (x, y) в координаты (i, j).

Листинг программы визуализации дан ниже:

VERSION 5.00

Begin VB.Form Form3

Caption = "Визуализация метода трапеций"

ClientHeight = 7260

ClientLeft = 60

ClientTop = 390

ClientWidth = 7260

LinkTopic = "Form3"

ScaleHeight = 7260

ScaleWidth = 7260

StartUpPosition = 3 'Windows Default

Begin VB.CommandButton Command1

Caption = "Строить"

Height = 375

Left = 5520

TabIndex = 1

Top = 6600

Width = 1095

End

Begin VB.PictureBox Pict

Height = 6000

Left = 600

ScaleHeight = 5940

ScaleWidth = 5940

TabIndex = 0

Top = 480

Width = 6000

End

End

Attribute VB_Name = "Form3"

Attribute VB_GlobalNameSpace = False

Attribute VB_Creatable = False

Attribute VB_PredeclaredId = True

Attribute VB_Exposed = False

Private Sub Command1_Click()

s_y1 = -1

s_y2 = 1

s_x1 = 0

s_x2 = 4

maxx = 6000

maxy = 6000

For i = 0 To maxx Step 600

Pict.Line (i, 0)-(i, maxy), RGB(100, 100, 100)

Pict.Line (0, i)-(maxx, i), RGB(100, 100, 100)

Pict.PSet (i + 600, maxy / 2), RGB(255, 0, 0)

t = t + 0.5

tt = t * 4 / 5

Pict.Print tt

Pict.PSet (10, i)

Pict.Print -(t - 0.5) / 2.5 + 1

Next

Pict.Line (0, maxy / 2)-(maxx, maxy / 2), RGB(255, 0, 0)

Pict.Line (0, 0)-(0, maxy), RGB(255, 0, 0)

For i = 100 To 6000

x = i / maxx * (s_x2 - s_x1)

y = Sin(x) ^ 2

j = maxy / 2 - maxy / 1 * y / (s_y2 - s_y1)

Pict.PSet (i, j), RGB(0, 0, 255)

Next

Pict.PSet (3100, 400)

Pict.Print "Метод трапеций. y=sin(x)^2"

End Sub

6. Результат выполнения программы

Теоретический расчет по формуле Ньютона-Лейбница дает следующий результат:

Для проверки результатов работы было произведено вычисление интеграла в математическом пакете MathCAD 11 с точностью до 15 знаков после запятой.

Рис. 7. Результат вычислений интеграла с помощью MathCAD 11.

Ниже приведен график – погрешность вычислений интегралов двумя способами от количества разбиений криволинейной трапеции.

Таблица 2.Результаты вычислений.

N

Метод трапеций

Метод Симпсона

10

0,78539816

0,78539816

20

0,70710008

0,70701963

30

0,73310999

0,73308610

40

0,74615852

0,74614844

50

0,75399773

0,75399257

60

0,75922719

0,75922420

70

0,78539816

0,78539816

80

0,76576699

0,76576573

90

0,76794752

0,76946643

100

0,78539816

0,78539816

110

0,77111965

0,77111916

120

0,77230931

0,77230894

130

0,78539816

0,78539816

140

0,78539816

0,78539816

150

0,77492676

0,77492657

160

0,78539816

0,78539816

170

0,77615858

0,77615844

180

0,78539816

0,78539816

190

0,77713109

0,77713100

200

0,78539816

0,78539816

Рис. 8. Зависимость точности вычислений от количества разбиений n.

7. Заключение

В данной работе были рассмотрены и сравнены два метода расчетов интегралов – метод трапеций и метод Симпсона. Для точного вычисления интеграла был использован пакет MathCAD 11. Результаты расчетов были сведены в таблицу. Вследствие чего было выяснено, что метод трапеций расчета интегралов по точности соответствует практически методу расчета интегралов по Симпсону в данном конкретном случае. Для вычислений была создана программа в среде Microsoft Visual Basic 6.0 for 32-bit Windows Development.

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. Гос. издательство физико-математической литературы. М.: 1962 г. – 608 с.

2. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: «Просвещение», 1998. – 288 с.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: «Академкнига», 1967 – 267 с.

4. Кузьмина Е.А., Минасов Ш.М., Тархов С.В. Электронный лабораторный практикум 

5. по дисциплине: "Информатика". Уфа, кафедра Информатики УГАТУ, 2004-2005 г.

6. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. М.: «Академия», 1999. – 424 с.

16

Краткое описание документа:

В данной работе рассмотрены два метода вычисления интегралов – метод трапеций и метод Симпсона. Для решения уравнения составлена программа – приложение win32 в среде Microsoft Visual Basic 6.0 for 32-bit Windows Development. В пояснительной записке рассмотрена теория данных методов, представлены блок-схема методов трапеций и Симпсона, описана структура программы и основных компонентов.