Дидактический материал по алгебре на тему "Уравнения" (7 класс)

Диагностическая  работа  по  теме "Уравнения"

Вариант 1

1.  Найдите  значение  выражения    ,  при    

2.  Определите,  является  ли  число      корнем  уравнения 

3.  Решите  уравнение 

4.  Решите  задачу,  составив  уравнение: "Одна  из  сторон  треугольника  на  2  см  меньше  другой  и  в  два  раза  меньше  третьей.  Найдите  стороны  треугольника,  если  его  периметр  равен  22 см "

5°.  Решите  уравнение:

6°.  Решите  задачу,  составив  уравнение: "У геологической  экспедиции  40 %  маршрута  проходили  по  степи,  26 %  -  по  горной  местности,  а  остальные  102  км -  по  долине  реки.  Сколько  всего  километров  прошла   экспедиция ? "

7°.  При  каком  значении     значение  выражения    равно   ?

8°.  Докажите,  что  уравнение     не  имеет  корней.

         Вариант 2

1.  Найдите  значение  выражения    ,  при    

2.  Определите,  является  ли  число      корнем  уравнения  

3.  Решите  уравнение 

4.  Решите  задачу,  составив  уравнение: "Одна  из  сторон  треугольника  на  6  см  меньше  другой  и  на  9  см  меньше  третьей.  Найдите  стороны  треугольника,  если  его  периметр  равен  33 см "

5°.  Решите  уравнение: 

6°.  Решите  задачу,  составив  уравнение: "Андрей  в  первый  день  прочитал  30 %  всей  книги,  во  второй  день  -  25 %   всей  книги,  в  третий   день -  остальные  180  страниц.  Сколько  всего  страниц  прочитал  Андрей ? "

7°.  При  каком  значении     значение  выражения   равно   ?

8°.  Докажите,  что  корнем  уравнения     является  любое  число.

Задание № 1 "Задачи  на  составление  уравнений"

1.  Коля  задумал  число.  Если  его  увеличить  в 2,4  раза  и  результат  уменьшить  на  1,95 ,  то  получится  0,93.  Какое  число  задумал  Коля?

2.  Сколько  мальчиков  и  сколько  девочек  в  классе,  если  мальчиков  на  3  больше,  чем  девочек,  а  всего  в  классе  29  человек?

3.  В  трёх  пакетах  3,8  кг конфет.  В  первом  пакете  конфет  в  полтора  раза  больше,  чем  во  втором ,  но  в  полтора  раза  меньше,  чем  в  третьем.  Сколько  килограммов  конфет  в  каждом  пакете?

4.  Представьте  число  220  в  виде  суммы  двух  слагаемых,  причём  одно  из  них  должно  быть  на  10  больше  другого.

5.  За  3  ч  мотоциклист  проезжает  то  же  расстояние,  что  и  велосипедист  за  5 ч. Какое  расстояние  они  проезжают , если  скорость  мотоциклиста  на  12  км/ч  больше  скорости  велосипедиста?

6.  На  трёх  полках  202  книги.  На   второй  полке  втрое  больше  книг,  чем  на  первой,  а  на  третьей - на  8  книг  меньше,  чем  на  второй. Сколько  книг  на  каждой  полке?

7.  Среднее  арифметическое  трёх  чисел  равно  33,4.  Первое  число  в  4  раза  меньше  второго,  а  третье - на  6  меньше  первого.  Найдите  эти  числа.

8.  Для  компота  взяли  5  частей  красной  смородины,  4  части  яблок  и  3  части  малины.  Всего 600 г. Сколько  красной смородины,  яблок  и  малины  взяли  для  компота?

9.  Сумма  двух  чисел  равна  138.  Найдите  эти  числа,  если      одного  из  них  равны  80 %  другого.

10.  Решите  уравнение:

а) 

б) 

в) 

с) 

д) 

е) 

Задание № 2 "Корни  уравнения"

1.  Запишите  математическую  модель  уравнения:

  

2.  Найдите  значение  выражения    при  

3.  Составьте  уравнение  по  условию:

а)  к  задуманному  числу  прибавили   , а  потом  удвоив  это  значение  получили 

б)  если одна  сторона  прямоугольника  больше  другой  на  7,  то его  периметр  равен 18

в)  из  двух  смежных  углов  один  в  8  раз  больше  другого;

и решите  полученное  уравнение.

4.  Решите  уравнения:        . Что  объединяет  данные  уравнения?

5.  Запишите  уравнения,  где  число  5  является  его  корнем:

а)   ;  б)   ;   в)    ;  г) 

6.  Решите  задачу  с  помощью  уравнения:

а)  Одно  число  в  4  раза  больше  другого.  Найдите  эти  числа,  если  их  разность  равна  81.

б)  Ученик  задумал  число. Затем  увеличил  его  втрое  и  к  полученному  результату  прибавил  21. У  него  получилось  72.  Найдите  задуманное  число.

7.  Составьте  уравнение,  корнем  которого  было  бы  число  3.

8.  При  каком  значении    сумма  выражений  и   равна  разности  выражений   и   ?

9.  Докажите,  что  каждое  из  чисел  и  0  является  корнем  уравнения

 

10.  Найдите  корни  уравнений:

а) 

б) 

в) 

Задание № 3 "Алгоритм  решения  уравнений"

1. Выполните  последовательность  действий:

Важно! При  переносе  слагаемого  из  одной  части  уравнения  в  другую - меняем  знак  слагаемого  на  противоположный!

а)  перенесите  в одну  часть  уравнения  слагаемые  с  переменной;

б)  перенесите  числовые  слагаемые  в  другую  часть  уравнения;

в)  приведите  подобные  слагаемые  в  каждой  части  уравнения;

г)  выражаем  переменную  через  числовые  значения, выполнив  подсчёт;

д)  записываем  ответ.

2.  Решите  уравнения:

3.  Является  ли  число    корнем  уравнения:

4.  При  каком  значении  переменной   значение  выражения   на  39  больше  значения  выражения   ?

5.  Решите  уравнение:

а)   ;   б)   ;  в)   ;  г) 

6.  Решите  уравнение  и  укажите  количество  его  корней :

  а)  ; б)   ;  в)   

7.  Решите  задачу  алгебраическим  методом:

а)  На заводе  в  трёх  цехах  работают  590  человек.  В  первом  цехе  вдвое  больше  рабочих,  чем  во  втором,  а  в  третьем  на  105  рабочих  больше, чем  в  первом  цехе.  Сколько  рабочих  во  втором  цехе?

б)  Сумма  трёх  последовательных  целых  чисел  равна  144. Найдите  эти  числа.

8.  Докажите,  что  уравнение    не  имеет  корней.

9.  Докажите,  что  корнем  уравнения   является  любое  число.

10.  Решите  уравнение:  а)   ;  б)  ;  в) 

Задание № 4 "Решение  линейных  уравнений"

1.  Какие  из  чисел   являются  корнями  уравнения 

2.  Решите  уравнение:

а)  ;      б)  ;      в)    ;      г) 

3.  Найдите  корень  уравнения:

4.  Длина  отрезка    на  2 см  больше,  чем  длина  отрезка   .  Если  длину  отрезка    увеличить  на  10 см, а длину  отрезка     увеличить   в  3  раза, то  получатся  равные  результаты. Найдите  длину  отрезка   .

5.  Запишите  в  порядке  возрастания  корни  уравнений:

6.  Докажите, что  при  любом  значении     выражение     равно 36

7.  Найдите  сумму  корней  уравнений:

8.  Решите  задачу , составив  уравнение. " За  какое  время  израсходует  двигатель  весь  бензин  из  бака, если  он  за  3 часа  расходует  12 %  всего  бензина? "

9.  Составьте  уравнение, корнем  бы  которого  является  число:    

10.  Выполните  действия:

11.  Сколько  корней  имеет  уравнение:

а)   ;   б)    ;   в) 

12.  Решите  уравнение  относительно  :

а)   ;   б)   ;   в) 

13.  Найдите  значение  переменной,  при  которой   выражения       и    противоположны 

Самостоятельная  работа

Вариант 1	Вариант 2

Задание № 5 "Практическое  значение  уравнения"

1.  Решите  уравнение:

а)   ;   б)  ;   в)   ;   г)   

2.  Найдите  значение   , при  котором  выражение   больше  выражения     на  .

3.  Составьте  практическую  задачу , постройте  иллюстрацию  условия   и  решите  её  с  помощью  уравнения.     

4.  Проверьте  истинность  утверждения:

а)  выражение     не  имеет  смысла ;

б)  выражение    имеет  смысл  при  любом  значении переменной.

5.  Составьте  уравнение,  корнем  бы  которого  было  число:  .

6.  Решите  уравнение  относительно 

а)  ;   б)   ;   в) 

7.  Определите,   как  зависит  переменная   от  переменной   ,  если  выполняется  равенство 

8.  Составьте  математическую  модель по  словесному  описанию.  Выберите  уравнения  и  решите  их:

а)  сумма  четырёх  последовательных  целых  чисел  не  делится  на  4;

б)  если  к  разности  двух  чисел  прибавить   их  сумму,  то  получится  удвоенное  число;

в)  к  задуманному  числу  прибавили  его  утроенное  значение  и  получили  100;

г)  сторона  прямоугольника  равна     см,  а  ширина  на  2  см  больше при  условии,  что  периметр  прямоугольника  42 см;

д)  высота  дома  15  м ,  что  в  пять  раз  больше,  чем  высота  потолка  в  подъезде  жилого  дома.

Задание № 6 "Нестандартные  методы  решения  уравнений"

1.  Решите  уравнение 

2.  Решите  уравнение       относительно  ,  если   . Зависит  ли  корень  уравнения  от  значения     ?

3.  Определите,  при  каких  значениях  параметра    уравнение         имеет  один  корень;  не  имеет  корней;  имеет  множество  решений?

4.  При   каких  значениях  параметра     уравнение      имеет  один  корень;          не  имеет  решений?

5.  Решите  уравнение  в  целых  числах:

а)   ;  б)   ;  в)  ;   г) 

6.  Решите   уравнение:

а)  ;   б)   ;    в)  ;    г) 

7.  Найдите  значение  ,  при  котором  число  2  является  корнем  уравнения     

8.  Найдите  значение   ,  при  котором  имеют  общий  корень  уравнения

9.  Два  прямоугольника  имеют  одинаковую  площадь. Длина   первого  прямоугольника   равна  7,5 см, а  ширина - 6,4 см. Ширина  второго  прямоугольника  равна  4  см. Найдите  периметр  второго  прямоугольника.

10.  Решите  уравнения:

11.  Найдите  значение  выражения      при   

12.  Найдите  значение  выражения    ,  если 

13.  Докажите  неравенство: 

Задание № 7 "Решение задач с помощью  уравнения"

1.  В  вазе  лежало   груш,  а  на  блюде - в 6  раз  больше. Когда  с  блюда  переложили  в  вазу  10  штук,  то  груш  там  стало  поровну.  Найдите  количество  груш  в  вазе  первоначально.

2.  В  двух  пачках  128  тетрадей.  В  одной  пачке  в  3  раза  меньше  тетрадей,  чем  в  другой. Сколько  тетрадей  в  меньшей  пачке?

3.  В  двух  вагонах  55  т  угля.  Во  втором  вагоне  в    раза  больше  угля, чем  в  первом.  Сколько  угля  в  каждом  вагоне?

4.  В  трёх  упаковках  5,85  кг  печенья. В  первой  упаковке  печенья  в  два  с  половиной  раза  меньше, чем  во  второй,  но  в  два  с  половиной  раза  больше,  чем  в  третьей. Сколько  килограммов  печенья  в  каждой  упаковке?

5.  Сформулируйте  ситуацию(текст  задачи),  которая  была  бы  описана  следующей математической  моделью  

6.  Представьте  число  220  в  виде  суммы  двух  таких  слагаемых,  что  если  к  первому  прибавить 10,  а  из  второго  вычесть  10,  то  оба  слагаемых  будут  равны.

7.  За  3  ч  мотоциклист  проезжает  то  же  расстояние,  что  и  велосипедист  за  5 ч. Какое  расстояние  они  проезжают  , если  скорость  мотоциклиста  на  12  км/ч  больше  скорости  велосипедиста?

8.  Среднее  арифметическое  двух  чисел  равно  49,6.  Одно  число  в  7  раз  больше  другого.  Найдите  эти  числа.

9.  Решите  уравнение:

а)   = ;   б)   ;   в)   ;    г)   ;

д)  ;  е)  ;  ж)   ; з) 

10.  Катер  движется  по  течению  реки  2  часа  со  скоростью  45  км/ч  и  против  течения  реки  30  км/ч,  затратив  на  это  4  часа.  Найдите  скорость  течения  реки,  если  катер  вернулся  назад  тем  же  путём.

11.  Докажите,  что  если  к  сумме  двух  чисел  прибавить  их  разность  ,  то  получится  удвоенное  первое  число.

12.  Докажите,  что  если  из  разности  двух  чисел  вычесть  их  сумму,  то  получится  удвоенное  второе  число  с  противоположным  знаком.

Задание № 8 "Задачи  на  отношения  величин,  проценты"

1.  Найдите  число  0,9  которого  равны  216.

2.  Найдите  60 %  от  54.

3.  В  детский  сад  привезли  красные,  синие  и  зелёные  мячи. Они  находятся  в  отношении  5 : 7 : 6 соответственно.  Сколько  есть  мячей  каждого  цвета,  если  всего  в  детский  сад  привезли  540  мячей?

4.  Когда  в  кувшин  сначала  долили  0,75  л  молока,  а  затем    отлили  2,4  л, в нём  осталось  0,6  л. Сколько  литров  сока  было  в  графине  первоначально?

5.  При  закладке   парке  высадили  210  деревьев,  причём  берёз  посадили  на  86  штук  больше,  чем  дубов.  Сколько  берёз  было  посажено  в  парке?

6.  Для  приготовления  рисовой  каши  надо  взять  2  части  риса,  3  части  молока  и  5  частей  воды.  Сколько  граммов  молока  и  сколько  граммов  воды  надо  взять  , если  приготовили  для  каши  220 г  риса?

7.  Решите  уравнение:

а)  ;   б)   ;   в)  ;    г) 

8.  Если  в  каждый  пакет  с  новогодними   подарками   положить  по  120 г  конфет,  то  их  останется  2,5  кг.  Если  положить  в  каждый  пакет  по  150  г,  то  для  заполнения  всех  пакетов  не  хватит  500  г. Сколько  приготовлено  пакетов  для  подарков.

9.  Найдите  значение   ,  при  котором  имеют  общий  корень  уравнения

10.  Туристы  были  в  походе  три  дня.  В  первый  день  они  прошли  40 %  всего  намеченного  пути,  а  во  второй  день  0,45  пути. В  третий  день  туристы  прошли  оставшиеся  6 км.  Найдите  длину  всего  пути.

11.  Первое  число  на  0, 3  меньше  второго.  Найдите  эти  числа,  если    первого  числа  равны     второго.

12.  Найдите  значение  выражения:

а)  

б)  

в)     

Задание № 9 "Решение  практических  задач"

1.  Решите  уравнение:  а)  ;  б)   ;   в)   

2.  Одна   сторона  прямоугольника   больше  другой  на  5  см.  Найдите  стороны  прямоугольника,  если   его  периметр    равен  89 см.

3.  Из  графина  вылили   л  сока,  а  потом  долили     л,  в  нём  осталось    л.  Сколько  литров  сока  было  в  графине  первоначально? 

4.  Общая  площадь  двух  полей    га.  Одно  поле  на    га  больше  другого.  Найдите  площадь  каждого  поля.

5.  Масса  яблок  составляет  30 %   от  массы  фруктового  салата.  Сколько  получится  салата,  если   имеется  150  г  яблок?

6.  Решите  уравнение  относительно  :

а)  ;  б)  ;   в)   

7.  Решите  уравнение:  а)     ;  б) 

8.  Ленту  длиной  7,2 м  разрезали  на  две  части.  Определите  длину  каждой  части,  если  известно,  что  одна  из  них  на  40 %  длиннее  другой.

9.  При  каком  значении  переменной  значение  выражения    равно  ?

10.  Найдите  значение  параметра,  при  котором  уравнения    имеют  общий  корень.

11.  Из  двух  смежных  углов  один  в  5  раз  меньше  другого.  Найдите  величину  каждого  угла.

12.  В  первом  заповеднике  в  3  раза  больше  лосей,  чем  во  втором. Когда  во  второй  заповедник  привезли  ещё  136  лосей,  то  их  в  заповеднике  стало  поровну.  Сколько  лосей  было  в  каждом  заповеднике?

13.  Прямоугольник  на  плане ,  масштаб  которого  2  :  5  ,  имеет  длину  18  см,  а  ширину  8 см.  Найдите   стороны  этого  прямоугольника  в  действительности.

14.  Составьте   практическую  задачу  на  части.  Представьте  решение  в  виде  уравнения.

15.  Составьте  уравнение,  корнем  бы  которого  было  число  .

16.  Запишите  два  разных  по  виду   уравнения,  корнями  которых  были  бы  одни  и  те же   числа         

Задания  для  коррекции  знаний  по  теме  "Уравнения"

Вариант 1

1.  Выполните  действия:

2.  Найдите  значение  выражения   ,  при 

3.  Приведите  подобные  слагаемые 

4.  Раскройте  скобки  и  приведите  подобные  слагаемые 

5.  Является  ли  число   корнем  уравнения 

6°.  Решите   уравнение 

7°.  Решите  задачу,  составив  уравнение "Одно  число  в  4  раза  больше  другого. Найдите  эти  числа,  если  их  разность  равна 81 "

8°. Решите  уравнение 

Вариант 2

1.  Выполните  действия:

2.  Найдите  значение  выражения      ,  при 

3.  Приведите  подобные  слагаемые  

4.  Раскройте  скобки  и  приведите  подобные  слагаемые 

5.  Является  ли  число     корнем  уравнения 

6°.  Решите   уравнение 

7°.  Решите  задачу,  составив  уравнение " Периметр  прямоугольника  равен 24. Его  ширина  в  3  раза меньше  длины.  Найдите  стороны  прямоугольника "

8°. Решите  уравнение 

Контрольная  работа № 4 по теме "Уравнения"

(уровень А)

Вариант 1

1.  Проверьте,  является  ли  число   корнем  уравнения 

2.  Решите  уравнение:

а)   ;   б)   =  12

3.  Решите  задачу  с  помощью  составления  уравнения: "Длина  прямоугольника  втрое  больше  ширины. Периметр  прямоугольника  равен  84  см.  Найдите  длину  и  ширину  прямоугольника.  "

4.  Решите  уравнение 

5.  Найдите  значения  переменной,  при  которой  значения  выражений    и       противоположны.

6.  Решите  уравнение    относительно 

Вариант 2

1.  Проверьте,  является  ли  число   корнем  уравнения  

2.  Решите  уравнение:

а)  ;   б)    = 9

3.  Решите  задачу  с  помощью  составления  уравнения: " Ширина  прямоугольника  на  6  см   меньше  его  длины.  Найдите  стороны  прямоугольника,  если  его  периметр   равен  44  см ."

4.  Решите  уравнение 

5.  Найдите  значения  переменной,  при  которой  значения  выражений     и     противоположны.

6.  Решите  уравнение      относительно 

Контрольная  работа № 4 по теме "Уравнения"

(уровень Б)

Вариант 1

1.  Является  ли  число   корнем  уравнения  

2.  Решите  уравнения: а) ;   б)    = ;   в)   

3.  Решите  задачу, составив  уравнение: "На  трёх  полках  202  книги.  На второй  полке  втрое  больше  книг, чем  на  первой,  а  на  третьей -  на  8  книг  меньше,  чем  на  второй.  Сколько  книг  на  каждой  полке? "

4.  Решите  уравнение   =     относительно 

5.  Решите  уравнение 

6.  Докажите  ,  что  уравнение      не  имеет  корней

         Вариант 2

1.  Является  ли  число    корнем  уравнения  

2.  Решите  уравнения: а)   ;  б)    =  ;  в) 

3.  Решите  задачу, составив  уравнение: " В  трёх  ящиках  115  кг  овощей.  Во  втором  ящике  вдвое  больше  овощей,  чем  в  первом,  а  в  третьем -  на  15  кг  больше,  чем  во  втором.  Сколько  овощей  в  каждом  ящике? "

4.  Решите  уравнение        относительно 

5.  Решите  уравнение  

6.  Докажите,  что  корнем  уравнения

         является  любое  число