Диплом "Алгебраические и трансцендентные числа"

57

Министерство Образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный педагогический университет»

____________________________________________________________________

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии

и истории математики

ТУКТУБАЕВА САЛТАНАТ ЖАНАБАЕВНА

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА (выпускная квалификационная работа)

Специальность – 050201.65 Математика

Квалификация – учитель математики

Специализация - преподавание в классах с углубленным изучением математики

Форма обучения – очная

ДОПУШЕНА К ЗАЩИТЕ:

зав. кафедрой алгебры, геометрии и истории математики к.т.н., доцент

__________ А.Н. Колобов

«___»___________2015 г.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

к.т.н., доцент кафедры алгебры, геометрии и истории математики

__________ А.Н. Колобов

«___»___________2015 г.

СТУДЕНТ

____________С.Ж. Туктубаева

«____»__________2015 г.

Оренбург 2015

Содержание

Введение

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Понятие натурального числа, появляющееся как результат постепенного абстрагирования, является основой всего дальнейшего развития математики. Изучение свойств натуральных чисел, начатое в примитивной форме математиками давно ушедших поколений, занимает большое место в современной математике, составляя основное содержание одного из ее ведущих разделов, называемой теорией чисел. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел. Если рассматривать корни многочленов: f(x) = + + … + (1) с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда многочлен (1) имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов вида (1) с целыми коэффициентами. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел [1, c. 5].

Далеко не все числа являются алгебраическими. Обычно этот факт доказывают так: множество алгебраических чисел счетно, потому что счетно множество многочленов с целыми коэффициентами и каждый такой многочлен имеет конечное число корней; множество же всех действительных чисел несчетно. Это доказательство интересно тем, что оно не просто устанавливает существование трансцендентных чисел, но и показывает, что их в определенном смысле больше, чем алгебраических. Но оно обладает и важным дефектом: оно не эффективно, то есть не содержит построения какого-либо заведомо не алгебраического числа. Правда, примеры трансцендентных чисел всем известны: π и e. Но доказать трансцендентность этих чисел совсем не просто. И, вообще, доказательство трансцендентности конкретного числа часто оказывается очень сложным [3, c. 11].

Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел. [2, c. 8]

В создании основ алгебраической теории чисел большие заслуги имеет Куммер (1810-1893), который пришел к ней, пытаясь доказать великую теорему Ферма. Куммер ввел так называемые идеальные числа и дал доказательство теоремы Ферма для целого ряда показателей, в том числе для всех n < 100. Идеи Куммера были развиты в работах Кронекера (1823-1891) и Дедекинда (1831-1916). Особенно глубокое развитие теория алгебраических чисел получила в работах русского математика Е.И. Золотарева (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел. Лиувилль открыл необходимый признак алгебраического числа и исходя из этого признака получил метод построения трансцендентных чисел. В 1873 году Эрмиту удалось доказать трансцендентность числа e. А в 1882 году Линдеманом (1852 – 1939) была доказана трансцендентность числа π. [2, c. 9]

Новые методы доказательства трансцендентности широких классов чисел были разработаны советским математиком А.О. Гельфондом и немецким математиком К. Зигелем [2, c. 11].

Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота. Эти исследования позволили изучить число решений некоторых неопределенных уравнений высших степеней. [3, c. 12]

К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм. Шафаревич открыл и доказал в 1949 г. общий закон взаимности. [2, c. 10]

Объектом исследования данной работы является теория чисел, предметом исследования - теория алгебраических и трансцендентных чисел.

Целями дипломной работы являются:

• повысить уровень математической культуры, прививая навыки самостоятельной работы;

• расширить математический кругозор;

• изучить понятия алгебраических и трансцендентных чисел и их практическое применение.

Для достижения этих целей в работе поставлены следующие задачи:

• изучить и изложить историю возникновения теории алгебраических и трансцендентных чисел

• рассмотреть теоремы об алгебраических и трансцендентных числах и их практическое применение;

• построить примеры алгебраических и трансцендентных чисел на основе изложенного материала.

Глава 1. Поле алгебраических чисел

1.1. Понятие алгебраического числа степени n

Комплексное или действительное число α называется алгебраическим числом, если оно является корнем некоторого многочлена

f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n = 0 (1)

с целыми коэффициентами a_0, a_1, … , a_n , неравными одновременно нулю.

Если α – корень многочлена (1) степени с целыми коэффициентами, то α является корнем многочлена + + … + с рациональными коэффициентами. Корень любого многочлена с рациональными коэффициентами, неравными одновременно нулю, является корнем некоторого уравнения с целыми коэффициентами. Поэтому можно дать эквивалентное определение алгебраического числа: комплексное или действительное число α называется алгебраическим числом, если оно является корнем некоторого многочлена f(x) = + + … + с рациональными коэффициентами.

Из f(α) = 0 следует f(α)ψ(α) = 0, где в качестве ψ(x) можно взять произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом, для любого алгебраического числа α существует бесконечное множество многочленов с рациональными коэффициентами, корнями которых является α; из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.

Число n называется степенью алгебраического числа α, если α есть корень некоторого многочлена n-й степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого являлось бы число.

Если корень многочлена n-й степени с целыми рациональными коэффициентами α не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени, меньшей чем n, то α не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, т.е. α – алгебраическое число степени n.

Из этого определения вытекает, что уравнение (1) степени n, корнем которого является алгебраическое число α степени n, является неприводимым в поле рациональных чисел, то есть что многочлен f(x) нельзя разложить в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами степени не ниже первой. Если бы это было возможно, то получилось бы f(x) = (x) и тогда оказалось бы, что α удовлетворяет по крайней мере одному из уравнений ) = 0, (x) = 0 степени < n c рациональными коэффициентами и не может поэтому быть алгебраическим числом степени n. [2, c. 56]

Рациональные числа являются алгебраическими числами 1-й степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а алгебраические числа 4-й степени – биквадратическими иррациональностями. [5, c. 3]

К алгебраическим числам, очевидно, относятся все рациональные числа , так как последние удовлетворяют уравнению bx – a = 0. (При этом ясно, что они будут алгебраическими числами степени 1, так как уравнению с меньшей степенью они удовлетворять не могут.) Алгебраическими числами будут также числа вида, где a – целое число, а m – любое рациональное число, например число , которое удовлетворяет уравнению – 5 = 0.

Если алгебраическое число n-й степени α является корнем многочлена

f(x) = + + … + (n ≥ 1) (2)

с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для α.

Таким образом, минимальным многочленом для α называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, корнем которого является α. Если вместо многочлена (2) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является α, то многочлен (2) может быть получен из него делением всех коэффициентов на коэффициент старшего члена. [2, c. 59]

Теорема 1. Если f(x) – минимальный многочлен для алгебраического числа α и F(x) – многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(α) = 0, то f(x) – делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами.

Доказательство: согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде F(x) = f(x)g(x) + r(x), где g(x) и r(x) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x).

Поскольку F(α) = 0 и f(α) = 0, то, придавая x значение α, получаем r(α) = 0; α – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем у минимального для α многочлена, т.е. меньшей, чем степень α. Это может быть только, если r(x) тождественно равно нулю, а, значит, F(x) = f(x)g(x). Для данного α существует единственный минимальный многочлен. Действительно, частное от деления друг на друга двух минимальных многочленов для α должно быть рациональным числом, равным единице, что означает тождественное их равенство. [4, c. 11]

Теорема 2. Для любого алгебраического числа α минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство: пусть f(x) – минимальный многочлен для α. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е. что f(x) = ω(x)ψ(x), где ω(x) и ψ(x) – многочлены с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем n. Из равенства ω(α)ψ(α) = f(α) = 0 следует, что из двух чисел: ω(α) и ψ(α), по крайней мере одно равно нулю. Пусть, например, ω(α) = 0, тогда α – корень тождественно неравного нулю многочлена ω(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем у f(x), а это противоречит тому, что f(x) – минимальный многочлен для α. Предположение, что многочлен f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. f(x) неприводим над этим полем. [7, c. 156]

Если α – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен для α, то все корни , … , уравнения f(x) = 0, отличные от α, называются сопряженными с α. [7, c. 245]

1.2. Поле всех алгебраических чисел

Покажем, что алгебраические числа образуют поле, т.е. что сумма, разность, произведение и частное алгебраических чисел тоже является алгебраическим числом.

Пусть даны алгебраические числа α = α₁ степени n и β = β₁ степени m. Сопряженные с ними числа обозначим соответственно через α₂, α_3, …, α_n и β_1, β_2,…, β_m.

Согласно теореме Виета элементарные симметрические функции σ_i от (α₂, α_3, …, α_n) и τ_j от (β_1, β_2,…, β_m) являются рациональными числами. (σ₁ = α₁ + α₂ + … + α_n, σ₂ = α₁α₂ + α₁α₃ + … + α_{n – 1}α_n , …, σ_n = α₁α₂…α_n.). Составим теперь элементарные симметрические функции от mn чисел

α_i + β_j, где i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Они не меняются при перестановках всех α_i между собою, а также всех β_j между собою. Таким образом, они являются симметричными по двум системам неизвестных, а поэтому (согласно теореме о многочленах, симметричных по двум системам неизвестных) они представимы в виде многочленов от элементарных симметрических функций σ_i и τ_j. Значит, они являются рациональными числами. Но тогда все эти числа, и среди них число α + β, будут корнями уравнения mn-й степени с рациональными коэффициентами, т.е. алгебраическими.

Аналогичным образом можно показать, что и числа α – β, αβ и - алгебраические (для последнего случая надо учесть, что если β – алгебраическое число ≠ 0, то β^-1 – число алгебраическое). Таким образом, алгебраические числа образуют поле.

Из доказанного следует, что сумма (а также разность, произведение и частное) рационального числа и радикала, например 3 + , или любых двух радикалов, например + , являются алгебраическими числами, так как каждое из слагаемых является алгебраическим числом. То что и радикалы из радикалов являются алгебраическими числами, вытекает из следующей теоремы: если α корень уравнения

β₀xⁿ + β₁xⁿ + … + β_n = 0,

где все β_i – алгебраические числа, то α – число алгебраическое. (Иными словами, поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.)

Действительно, если, например, α = , то α является корнем уравнения x³ – β = 0 (где β = 3 + - число алгебраическое), т.е. алгебраического уравнения с алгебраическими коэффициентами, поэтому, согласно вышеуказанной теореме, α – алгебраическое число. Вообще любое число, выраженное через комбинацию радикалов над полем рациональных чисел, является алгебраическим числом. Однако такими числами нельзя еще исчерпать все множество алгебраических чисел, так как известно, что корни уравнений степени выше 4-й, а значит, и алгебраические числа степени выше 4-й, не всегда выражаются через радикалы (т.е. явно в виде алгебраических выражений, составленных из коэффициентов уравнений при помощи алгебраических действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня целой степени). [1, c. 67]

1.3. Целые алгебраические числа

а) Среди алгебраических чисел особенно важны те, которые являются решениями уравнения вида

f(x) = xⁿ + b₁x^{n – 1} + … + b_n = 0 (1)

с целыми коэффициентами b₁, b₂, …, b_n. Такие числа называются целыми алгебраическими числами.

Из предыдущего параграфа можно сделать вывод, что они образуют кольцо, т.е. сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел α и β снова будут алгебраическими числами. (Заметим еще, что если коэффициенты в (1) – целые алгебраические числа, то и корни этого уравнения также являются целыми алгебраическими числами.) Но не всегда частное является целым алгебраическим числом. В связи с этим возникает вопрос о делимости целых алгебраических чисел.

Как известно из арифметики обычных целых чисел, вопрос делимости тесно связан с вопросом об однозначном разложении целого числа на «простые» множители. Если бы это оказалось возможным, то теория делимости и вместе с тем вся арифметика в кольце целых чисел была бы аналогична обычной арифметике.

б) Если говорить о всех целых алгебраических числах, то здесь на первых порах понятие неразложимости теряет смысл, так как, например, α = = и так далее, причем и также являются целыми алгебраическими числами. Не так плохо обстоит дело, если рассматривать целые алгебраические числа так называемого простого расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения целого алгебраического числа α степени n, т.е. все числа вида

А = c₀ + c₁α + … + c _{n - 1}α ^{n – 1}, (2)

где c₀, c₁,…, c _{n – 1} – целые числа, а α – решение уравнения вида (1).

Совокупность этих чисел, которую обозначим через P(α), образует кольцо.

в) Впервые такие числа рассматривал Гаусс, а именно – целые числа, т.е. числа вида a + bi, где i = , а a и b – все возможные целые рациональные числа.

В этом так называемом гауссовом кольце, имеется бесконечно много «простых» чисел, и всякое число этого кольца может быть разложено в произведение конечного числа таких «простых» чисел (и еще одной из четырех так называемых единиц = 1, i, - 1, - i кольца a + bi), причем однозначно (если не обращать внимание на порядок их следования и на множители «единицы»).

г) Однако такое однозначное разложение на простые множители (т.е. на множители, которые уже не могут быть представлены в виде произведения сомножителей такого же вида) не всегда возможно. Так, например, в кольце P() 6 = 2·3 = (1 + )(1 - , причем числа 2 = 2 + 0·, 3 = 3 + 0·, 1 + ) и (1 - являются в нем «простыми», так как оказывается, что они не разложимы на другие числа такого же вида.

С такими трудностями впервые встретился Куммер, пытаясь доказать великую теорему Ферма. Рассматривая целые числа поля деления круга (т.е. числа вида (2), где α корень неприводимого уравнения = 0) для простых значений n, он обнаружил, что для некоторых n возможно однозначное разложение любого числа кольца, а для других n этого нет.

После многолетних усилий Куммеру удалось преодолеть возникшие трудности. Он ввел в поле алгебраических чисел новые элементы, так называемые идеальные числа. С их помощью ему удалось восстановить однозначность разложения на простые множители и решить проблему Ферма для целого класса значений n.

д) Идея, которая лежит в основе введения идеальных множителей, аналогична той, с которой встречаемся в проективной геометрии, когда вводим несобственные элементы.

Рассмотрим пример. Предположим, что известно только множество D₂ четных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12 и так далее. В этом множестве числа 2, 6, 10, 14, 18 и другие будут неразложимы. Если будем считать их «простыми», то закон однозначного разложения на множители в D₂ нарушится, например 60 = 6·10 = 2·30.

Если же дополнить множество D₂ нечетными числами, которые играют здесь роль идеальных элементов, и определить «простые» числа в расширенной области, то однозначность разложения восстановится. Для числа 60 имеем 60 = 2·3·2·5, причем 6 = 2·3, 10 = 2·5, 30 = 2·3·5 (здесь 2 – «неидеальный» простой множитель, а 3 и 5 – «идеальные» простые множители).

Причину неоднозначности разложения числа множества D₂ на неразложимые числа этого множества можно объяснить тем, что различные группировки идеальных множителей в одном и том же произведении могут давать различные произведения неразложимых чисел множества D₂ .

е) Теория Куммера получила широкое признание. Однако при попытке распространить метод Куммера на кольца алгебраических чисел, зависящих от корня α произвольного неприводимого уравнения

f(x) = xⁿ + b₁x ^n-1 + … + b_n = 0,

где b₁, b_2, ..., b_n – целые рациональные числа, возникли принципиально новые трудности.

Эту сложную задачу одновременно и независимо друг от друга решили в самой общей форме Дедекинд и Е. М. Золотарев в 70-х годах прошлого столетия. При этом решение, данное Золотаревым, оказалось во многих отношениях более глубоким, благодаря применению им новых методов. [2, c. 80]

1. 4. Значение законов взаимности. Общий закон взаимности

В развитии алгебраической теории чисел крупных успехов добились советские ученые. Особенно важным достижением является открытие и доказательство в 1949 г. И. Р. Шафаревичем общего закона взаимности. [6, c. 89]

Прежде чем характеризовать закон взаимности Шафаревича, автор останавливается на связи, которая существует между вопросами разложимости на простые множители (идеальные и неидеальные) и законами взаимности. Во-первых, он отмечает, что при помощи квадратичного закона взаимности для нечетных простых чисел можно только по данному a и простому p определить, является ли a по модулю p квадратичным вычетом или нет, но и решить более сложную обратную задачу, как найти те простые числа p, для которых заданное число a квадратичным вычетом по модулю p.

Для случая, когда a = -1 и 2, это непосредственно вытекает из свойств 3 и 5 символа Лежандра, а именно: -1 является квадратичным вычетом всех простых чисел вида 4n + 1, а 2 – для простых чисел вида 8n ± 1.

В общем случае, когда a – любое целое число, не делящееся ни на какой квадрат, оказывается, что a является квадратичным вычетом тех и только тех простых чисел p, которые имеют одну из форм 4ak + r₁, 4ak +r₂, 4ak + r₃, … (т.е. p = r₁, r₂, r₃…(mod 4a)), где r₁, r₂, r₃, … - вполне определенные числа, удовлетворяющие условиям

1≤ r_i < 4a = 1.

(условие, что a не делится на квадрат, принято потому, что если a = b²·a^', то a и a^' являются одновременно квадратичными вычетами и невычетами.)

Одновременно оказывается, что как раз те простые числа p, по которым a является квадратичным вычетом (т.е. числа указанных прогрессий), разлагаются в квадратичном поле K = R() (т.е. в поле чисел, получаемых путем присоединения к полю рациональных чисел иррационального числа ) на простые множители (идеальные и неидеальные), а те, по которым a является квадратичным невычетом, - не разлагаются, т.е. являются простыми и в поле K.

Таким образом, квадратичный закон взаимности показывает, какова зависимость арифметики квадратичного поля от арифметики рационального поля. В этом заключается фундаментальность закона взаимности.

Аналогичные вопросы возникают при переходах к более сложным полям. Несмотря на большие усилия таких виднейших ученых, как Гаусс, Эйзенштейн, Куммер, Гильберт и др., в течение 150 лет эти вопросы удалось решить только для разных частных случаев.

Общий закон взаимности Шафаревича решает указанную проблему в наиболее общем виде: он устанавливает зависимость арифметики поля K от арифметики поля k, где k – произвольное поле алгебраических чисел m-й степени, а K – его расширение, полученное присоединением к нему (где α – число поля k). [2, c. 98]

1.5. Проблема Ферма

а) Знаменитое утверждение Ферма (известно под названиями «Великая теорема Ферма», «Проблема Ферма»): уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n>2, не имеет решений в целых положительных числах. Это равносильно представимости числа p формой x² – ay², т.е. разрешимости уравнения Пелля x² – ay² = p. Аналогично представимость простого p формой x² + y² = (x + y)(x - y) решается арифметикой в гауссовом кольце целых комплексных чисел поля R(. Так как число (-1) является квадратичным вычетом для всех p вида

4k + 1 и квадратичным невычетом для всех p вида 4k + 3, то первые и только они всегда представимы формой x² + y², причем единственным образом, ввиду того что в гауссовом кольце имеет место однозначность разложения на простые множители (с точностью до порядка следования сомножителей и множителей «единиц»). Так с точки зрения арифметической теории алгебраических чисел знаменитые теоремы Ферма и Эйлера относительно простых чисел p вида 4k + 1 получают совершенно прозрачное доказательство.

Если утверждение верно для n, то и для kn тоже верно (так как уравнению x^kn + y^kn = z^kn можно придать вид (x^k)ⁿ + (y^k)ⁿ = (z^k)ⁿ), поэтому теорему достаточно доказать для простых показателей p ≥ 3 и для n = 4.

Эйлер доказал теорему Ферма для n = 3 и 4, Дирихле и Лежандр – для n = 5, Ламэ – для n = 7. Начиная с Куммера, для решения проблемы Ферма применяется алгебраическая теория чисел. Куммер доказал теорему Ферма для всех значений n ≤ 100.

До 1956 года доказана справедливость теоремы Ферма для всех простых показателей n < 4003. Для случая n = 4 теорема Ферма доказывается элементарно и приводится ниже.

б) Прежде чем доказать неразрешимость проблемы Ферма для n = 4, целесообразно рассмотреть решение уравнения x² + y² = z² (1) во взаимно простых натуральных числах x, y, z.

Пусть (x, y, z) = 1 потому, что в случае (x, y, z) =d > 1 обе части (1) можно разделить на d². Отметим еще, что в отношении к тройкам чисел, удовлетворяющим (1), условие взаимной простоты означает даже попарно взаимную простоту, ибо если бы, например, (x,y) = d > 1, то z ׀ d и (x, y, z) ≠ 1.

Теорема 1: уравнению (1) удовлетворяют такие и только такие тройки взаимно простых натуральных чисел x, y, z, что

1. одно из чисел x и y четно, а другое нечетно;

2. при четном x и нечетном y

x = 2mn, y = m² – n², z = m² + n²,

где m > n > 0, (m,n) = 1и одно из чисел m и n четно, а другое нечетно.

Доказательство необходимости условий. Если (1) выполняется для натуральных чисел x, y, z и (x, y, z) = 1, то x и y не могут быть оба ни четными, ни нечетными. Первый случай отпадает в силу отмеченной попарной взаимной простоты чисел x, y, z; во втором случае мы имели бы x²≡ y² ≡ 1 (mod 4), а z² ≡ 2 (mod 4), но это невозможно, так как квадрат при делении на 4 не может давать остатка 2.

Итак, одно из чисел x и y должно быть четным, а другое – нечетным.

Пусть x будет четным, тогда из (1) вследствие нечетности y и z следует

()² = · ,

где ( , ) = 1, так как иначе (y , z) ≠ 1 вопреки условию. Но если произведение двух взаимно простых чисел равно квадрату, то каждый из этих сомножителей в отдельности равен квадрату, поэтому существуют натуральные числа m, n такие, что

= mn, m², = n², (2)

так что

x = 2mn, y = m² – n², z = m² + n². (3)

При этом (m,n) = 1, где одно из чисел , m и n четное, а другое – нечетное, иначе y и z были бы оба четными и (x, y, z) ≠ 1.

Доказательство достаточности условий.

Если натуральные числа x, y, z составлены по формулам (3), то при любых натуральных m и n выполняется (1), так как

(2mn)² + (m² – n²)² = (m² + n²)².

Если (m,n) = 1 и при этом m и n имеют разную четность, то y и z – нечетные, а, кроме того, (y, z) = 1, иначе из (y, z) = d > 1 следовало бы ( , ) = d > 1, или (m², n²) = d > 1, а это несовместимо с (m,n) = 1.

Итак, (y, z) = 1, а вместе с тем (x, y, z) = 1.

Так как x – число четное и нами установлено также, что y – нечетное, то достаточность условий доказана. Вместе с тем доказана вся теорема

в) Теорема 2: уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴ (4) не имеет решений в натуральных числах.

Для доказательства покажем, что даже x⁴ + y⁴ = z² (5) не имеет решений в натуральных числах.

Доказательство. Так же, как в предыдущей теореме, достаточно доказать утверждение при условии (x, y, z) = 1, которое, как и в п. б, означает даже попарно взаимную простоту чисел x, y, z.

Допустим, что существуют тройки взаимно простых натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющие уравнению (5), и выберем из них тройку с наименьшим значением z. Как и в доказательстве теоремы п. б, можно убедиться в том, что одно из чисел x и y четно, а другое нечетно.

Пусть x - четное (а y, следовательно, нечетное), тогда согласно формулам (3)

x² = 2mn, y ²= m² – n², z² = m² + n²,

где m > n ≥ 1, (m,n) = 1 и одно из чисел m и n четно, а другое нечетно.

Не может быть, чтобы m было четным, а n – нечетным, ибо тогда m² ≡ 0(mod m), n² ≡ 1(mod 4) и y ² = m² – n² ≡ - 1≡ 3 (mod 4), что невозможно, так как квадрат нечетного числа имеет вид 4k + 1. Поэтому m должно быть нечетным, а n – четным, т.е. n = 2n'. Тогда x² = 4mn', (² = mn' с условием (m,n')= 1, отсюда, как и в п. б, заключаем, что m=z₁², n'= n₁², где (z₁, n₁) = 1, а z₁ - нечетное (в виду нечетности m). Из y ² = m² – n² получаем теперь (2 n₁²)² + y ² = z₁⁴, где (2 n₁², y ²) = 1, ибо в противном случае мы имели бы (2 n₁², z₁²) = (2n', m) = d > 1, что невозможно, так как (2, m) = 1 и (n', m) =1.

Согласно формулам (3) снова имеем

2 n₁² = 2uv, z₁² = u² + v², где (u, v) = 1.

Первое из этих равенств приводит, как и выше, к выводу, что u = x₁², v = y₁², вследствие чего по второму из указанных равенств

x₁⁴ + y₁⁴ = z₁⁴,

где z₁< z (так как z > m² > m = z₁² > z₁).

Итак, предположение о существовании наименьшего значения z привело к противоречию, значит уравнение (5) не имеет решений в натуральных числах. Теорема доказана. [9, c. 27]

Глава 2. Трансцендентные числа

2.1. Теорема Лиувилля

Продолжительное время считали, что все числа являются алгебраическими. Только в 1844 г. Французский математик Ж. Лиувилль показал, что существуют такие числа, которые не являются алгебраическими, т.е. не могут удовлетворять ни одному алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Такие числа называют трансцендентными. Идея доказательства Лиувилля заключается в следующем. Он сперва показывает, что алгебраические числа приближаются рациональными числами по определенному закону, а затем показывает, что существуют такие числа, которые этой закономерности не подчиняются. [2, с. 154]

Теорема Лиувилля: Для всякого действительного алгебраического числа α степени n (≥2) существует такое положительное постоянное число c, что неравенство

│α - │ ≥ (1)

выполняется для любой рациональной дроби .

Доказательство. Пусть α - действительный корень неприводимого алгебраического уравнения n-й степени

f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n = 0,

где все α_i целые и n ≥ 2.

Согласно теореме Безу f(x) делится на x – α, значит,

f(x) = (x – α)φ(x),

где φ(x) – многочлен степени n – 1 с действительными коэффициентами. Полагая x = , имеем

│f()│ = │α - │·│φ()│. (2)

Ввиду неприводимости многочлена f(x), число f() не может быть равным нулю, иначе многочлен f(x) делился бы на x - . Поэтому

│f()│= ≥ , (3)

так как │α₀ pⁿ + α₁ p^{n – 1} q + … + α_n qⁿ│- целое число, которое отлично от нуля.

Пусть теперь принадлежит сегменту [α – 1, α + 1] и – наибольшее значение многочлена │φ(x)│ на этом сегменте. Тогда │ φ()│ ≤ и согласно (2) и (3)

≤ │f()│≤ │α - │,

откуда

α - ≥^.. (4)

Если взять вне сегмента [α – 1, α + 1], то │α - │> 1, а так как q – целое число, то имеем также

│α - │>. (5)

Обозначим теперь наименьшее из чисел 1 и c₁ через c; тогда ввиду соотношений (4) и (5) имеем для любых рациональных

│α - │≥ ,

где постоянная c от p и q не зависит. Теорема доказана.

Теорема Лиувилля показывает, что приближение любого алгебраического иррационального числа рациональными дробями ограничено снизу величиной порядка . В частности, для квадратических иррациональностей величина порядка имеет вид

Автор показывает, что, кроме квадратических иррациональностей, имеются и другие иррациональности, для которых порядок приближения рациональными дробями ограничен снизу величиной порядка . [2, c. 156]

2.2. Доказательство существования трансцендентных чисел

Теорема Лиувилля дает необходимый признак алгебраического числа. Лиувилль показал, что можно строить бесконечно много таких чисел, которые этому признаку не подчиняются. Для этого он воспользовался аппаратом непрерывных дробей.

Пусть неполные частные строящейся бесконечной цепной дроби удовлетворяют следующему рекуррентному правилу: после того как неполные частные q₁, q₂, … , q_k уже определены (а следовательно, определена и подходящая дробь ), следующее неполное частное выбирается так, чтобы выполнялось условие q_{k + 1} >. Определенная таким образом непрерывная дробь представляет некоторое иррациональное число α. Покажем, что α трансцендентно. Действительно, в силу известных свойств непрерывных дробей и условия < q_{k + 1} имеем

│α - │< = < < ,

или

│α - │< .

Пусть теперь дано любое c > 0 и произвольно задано натуральное n (≥2). Если возьмем k ≥ n такое большое, что < c (это всегда возможно, так как Q_k неограниченно возрастает), то будем иметь │α - │< , а так как при таком k , то тем более │α - │<.

Таким образом, число α не удовлетворяет необходимому признаку алгебраического числа степени n, данному в теореме Лиувилля. Поэтому α не может быть алгебраическим числом степени n. Но так как n выбрано произвольно, то α вообще не может быть алгебраическим числом степени n, следовательно оно трансцендентно.

Можно также строить трансцендентные числа, не прибегая к помощи непрерывных дробей. В 1874 г. Немецкий математик Г. Кантор, исходя из развитой им теории множеств, дал новое замечательное доказательство существования трансцендентных чисел.

Основные теоремы теории множеств приводят к выводу, что множество алгебраических чисел счетно, а отсюда следует существование действительных неалгебраических чисел.

Теорема 1: множество всех алгебраических чисел счетно.

Доказательство: Рассмотрим множество всех алгебраических чисел степени n.

Каждому неприводимому многочлену с целыми коэффициентами

f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n = 0

сопоставим число H = ││+││+ … +││. Существует только конечное число таких многочленов с заданным значением H, а следовательно, поскольку каждый такой многочлен имеет не больше чем n корней, существует только конечное число алгебраических чисел с заданным значением величины H для соответствующего многочлена. Придавая H значения 1, 2, 3, … и рассматривая все соответствующие неприводимые над полем рациональных чисел многочлены и их корни, получаем множество алгебраических чисел степени n, представленным в виде суммы счетного множества конечных множеств, т.е. - счетное множество.

Множество M всех алгебраических чисел равно + + … , т.е., являясь суммой счетного множества счетных множеств , также представляет собой счетное множество.

Теорема 2: существуют действительные неалгебраические числа.

Доказательство: множество действительных чисел несчетно. В этом множестве действительные алгебраические числа согласно предыдущей теореме образуют счетное подмножество, а следовательно не исчерпывают все множество действительных чисел. Теорема доказана. [2, c. 186]

2.3. Исследование трансцендентности. Результаты Гельфонда

Несравненно трудно исследовать арифметическую природу каких-либо конкретно заданных чисел, в особенности выяснить, являются ли эти числа алгебраическими или трансцендентными. В этом – важнейшая задача теории трансцендентных чисел. Задачи такого рода принадлежат к труднейшим задачам современной математики.

Только в 1873 г. французский математик Ш. Эрмит доказал трансцендентность e. Развивая метод Эрмита, в 1882 г. немецкий математик Ф. Линдеман доказал теорему, устанавливающую трансцендентность довольно обширного класса чисел.

Теорема (Линдеман): если + + … + = 0, где - алгебраические числа, среди которых хотя бы одно не равно нулю, , , … , попарно различны и , … , - алгебраические числа, - трансцендентное число.

Эта теорема означает, что если , , … , попарно различные алгебраические числа, то при любых, не равных одновременно нулю, алгебраических числах выражение + + … +≠0. Этот результат выражают, говоря, что , … , при таких линейно независимы над полем алгебраических чисел.

Из общей теоремы Линдемана вытекает доказательство трансцендентности числа π.

Теорема (Линдеман): π – трансцендентное число.

Доказательство: 2i – алгебраическое число (корень уравнения + 4 = 0). Если бы π было алгебраическим, то алгебраическим было бы и число 2πi. Известно, что = 1 = , т.е. - = 0, а тогда согласно теореме Линдемана (при = 1, = - 1, = 2πi) число 0 было бы трансцендентным. Полученное противоречие показывает, что π – трансцендентно.

Доказательством трансцендентности π были наконец решены вопросы о квадратуре круга и о спрямлении окружности, которые равносильны задаче о построении отрезка длиною π. Действительно, при помощи циркуля и линейки можно строить только корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах, а π, будучи трансцендентным числом, не может быть корнем такого уравнения.

После результатов, полученных Эрмитом и Линдеманом, долгое время не удавалось добиться новых успехов в рассматриваемой области. На международном математическом конгрессе в 1900 г. Д. Гильберт в качестве одной из актуальных 23 математических проблем выдвинул задачу исследовать, являются ли трансцендентными числа вида α^β, где α и β – алгебраические числа, причем α отлично от нуля и единицы, а β – иррационально, и, в частности, являются ли трансцендентными числа , e^π.

Несмотря на усилия многих ученых, эта проблема долгое время не поддавалась решению. Только в 1929 г. советскому математику А. О. Гельфонду удалось при помощи открытого им весьма сильного метода (основанного на теории функций комплексного переменного) найти частичное решение проблемы Гильберта. Углубив свой метод введением в него новых идей, А. О. Гельфонд дал в 1934 г. полное ее решение. Он доказал, что все числа, о которых идет речь в этой проблеме, являются трансцендентными.

Теорема (Гельфонд): если α – алгебраическое число, отличное от 0 и 1, β – алгебраическое иррациональное, то - трансцендентное число.

Из результата Гельфонда непосредственно следует, что трансцендентными будут, например, все десятичные логарифмы рациональных чисел, если сами они не являются рациональными числами. Действительно, если бы , где r – рациональное число, было числом алгебраически иррациональным, то число согласно результату Гельфонда, должно было бы быть трансцендентным, между тем = – число рациональное. Трансцендентным является также число e^π, так как из = - 1 = i² следует

e^π = i ^{– 2i}.

В последние десятилетия А. О. Гельфонд, все более совершенствуя свои прежние методы, получил возможность указать на ряд новых классов трансцендентных чисел.

Метод Гельфонда успешно использован также другими авторами, как советскими, так и зарубежными(например, Зигель, Малер, Риччи, Шнейдер).

Большие заслуги в развитии теории трансцендентных чисел имеет также немецкий математик Зигель. В 1930 г. ему удалось найти естественное обобщение того метода, которым пользовались Эрмит и Линдеман в своих доказательствах трансцендентности чисел e и π.

С помощью метода Зигеля стало возможным исследовать арифметическую природу значений довольно широкого класса целых функций, степенные ряды которых имеют алгебраические коэффициенты, например функций типа .

Советскому математику А. Б. Шидловскому удалось усилить метод Зигеля и получить важные результаты в теории трансцендентных чисел. [2, c. 228]

2.4. Усиление неравенства Лиувилля. Приложение к решению неопределенных уравнений

Теорему Лиувилля можно выразить следующим образом: для всякой действительной алгебраической иррациональности α степени n (≥ 2) существует такое положительное постоянное c', что неравенство

│α - │ < (1)

имеет лишь конечное число решений в целых числах p и q. (Если взять c' = c из формулы (1) п. 2.1, согласно первой формулировке теоремы Лиувилля, то решений вообще не существует.)

Неравенство Лиувилля через 50 лет удалось усилить. Это сделал в 1909 г. норвежский математик А. Туэ, который доказал следующую теорему: если α – любое алгебраическое число степени n, то неравенство

│α - │ < (2)

может иметь только конечное число решений в целых числах p и q при любом

s > + 1.

Метод Туэ был 10 лет спустя усовершенствован немецким математиком К. Зигелем, а в сороковых годах усилен советским математиком А.О. Гельфондом и английским математиком Д. Дайсоном.

Методом Зигеля – Шнейдера Малер в 1937 г. доказал трансцендентность числа η = 0,123456789101112…

Наконец , в 1955 г. английский математик К. Рот, пользуясь методом Туэ – Зигеля, еще более усилил неравенство Лиувилля (1), доказав, что неравенство (2) имеет только конечное число решений при s > 2. Этот результат, свидетельствующий об определенной близости алгебраических чисел к квадратическим иррациональностям, является большим успехом в теории чисел.

Теорема Туэ – Зигель – Рот: Пусть α – алгебраическое число степени n ≥ 2; тогда при любом ε > 0 существует только конечное число рациональных дробей , таких, что │α - │< .

Из этой теоремы вытекает, что для любого алгебраического числа α степени

n ≥ 2 и произвольного положительного ε можно подобрать c > 0 так, что для любой рациональной дроби будет иметь место неравенство │α - │< .

Для алгебраических чисел степени, большей чем 2, этот результат значительно улучшает теорему Лиувилля.

Теорема Туэ – Зигеля – Рота является одним из наиболее глубоких результатов теории алгебраических чисел.

Упомянутые результаты имеют многочисленные приложения в теории решения уравнений в целых числах, в теории трансцендентных чисел, а также в других разделах теории чисел.

Уже сам Туэ при помощи теоремы, носящей его имя, доказал, что неопределенное уравнение

a₀xⁿ + a₁x^{n – 1}y + ... + a_nyⁿ = c, (3)

где a₀,a₁, … , a_n, c – целые и многочлен a₀tⁿ + a₁t^{n – 1} + … + a_n неприводим в поле рациональных чисел, имеет только конечное число целых решений при

n ≥3.

Заметим в заключение, что метод Туэ не дает возможности судить о том, в каких границах находятся решения и каково их число.

Пользуясь другим методом, советский математик Б.Н. Делоне для более узкого класса неопределенных уравнений установил границы числа решений. Он доказал, что кубическое уравнение Пелля ax³ + y³ = 1, где a – целое, может иметь, кроме тривиального решения (0, 1), не более одного решения в целых числах. Он показал также, что для каждого заданного значения a можно установить, существует ли нетривиальное решение и как его найти. Делоне доказал также, что уравнение ax³ + bx²y + cxy² + dy³ = 1 имеет не более 5, а иногда ровно 5 решений в целых числах, и указал алгоритм решения.[2, c. 248]

Глава 3. Применение алгебраических и трансцендентных чисел в школе

3.1. Применение в школе

В школьных учебниках средней школы не даются понятия алгебраических и трансцендентных чисел. Но в школе изучаются иррациональные числа, которые обладают следующим свойством: каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. С понятием иррационального числа учащиеся уже знакомы в 8 классе при изучении темы «Квадратные корни».

Рассмотрим учебник Мордковича А. Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11. При изучении темы «Преобразование выражений, содержащих радикалы» учащиеся опираются на знание понятия иррационального числа. Выражения, содержащие операцию извлечения корня, называют иррациональными. На примерах автор выделяет следующие виды преобразований: вынесение множителя за знак радикала и внесение множителя за знак радикала. Рассмотрим несколько из примеров, приводимые автором в данной теме:

1. Сравнить числа 2 и 3. Решение. Имеем: 2 = ; 3 = . Значит, 2 = · = = ; 3 · = = . Получаем, < , т.е. 2 3.

2. Разложить на множители выражение + 4. Решение. Заданное выражение можно переписать следующим образом: 2 · 2 + . Видно, что это полный квадрат – квадрат разности выражений и 2. Значит, + 4 = .

3. Сократить дробь . Решение. Первый способ. Знаменатель дроби можно преобразовать следующим образом: 2 + . В числителе получаем: = = = . Выполним сокращение заданной дроби: = = .

Второй способ. Введем новые переменные: , , при этом . Тогда заданная дробь примет вид . Замена позволила заменить иррациональное выражение (с переменными x и y) рациональным выражением (с переменными a и b). А оперировать с рациональными выражениями проще, чем с иррациональными. Имеем: = = = .

Далее учащиеся знакомятся с иррациональными уравнениями в теме «Обобщение понятия о показателе степени». В учебнике дается следующее определение иррациональных уравнений: уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у учащихся в курсе алгебры для 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. Автор учебника приводит следующий пример: решить уравнение 0. Решение. Введем новую переменную = . Тогда = . Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y: Решим это уравнение:₁ =; ₂ = 4. Задача сводится к решению двух уравнений: ; . Первое уравнение не имеет корней, поскольку область допустимых значений для переменной x в подобных случаях определяется условием x > 0, а тогда и > 0. Решая второе уравнение, последовательно находим: = 4; = ;x = ; x = . Ответ: .

При изучении понятия логарифма Мордкович говорит о том, что для числа точного рационального значения мы указать не можем, поскольку - иррациональное число. Предположим, что – рациональное число, т.е. что , где m и n – натуральные числа. Тогда = 6; = ; . Последнее равенство невозможно, поскольку его правая часть есть натуральное число, которое делится без остатка на 3, а левая часть делиться без остатка на 3 никак не может. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно, и, следовательно, иррациональное число.

Введение показательной функции по Мордковичу Алгебра 10-11. Рассмотрим выражение и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной x, например при x = 2; 5; - 4;- 3,5: если x = 2, то = = 4; если x = 5, то = 32; если x = 0, то ; если x = - 4, то = = = ; если x = , то = = = ; если x = - 3,5, то = = = = = = . Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной x, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения . Таким образом, можно говорить о показательной функции y = , определенной на множестве Q рациональных чисел: y = ,

x Q.

Числовая прямая содержит не только рациональные, но и иррациональные числа. Для изученных раннее функций это нас не смущало. Например, значения функции y = мы одинаково находили как при рациональных, так и при иррациональных значениях x: достаточно было заданное значение x возвести в квадрат. С функцией y = дело обстоит сложнее. Если аргументу x придать рациональное значение, то вычислить можно. А если аргументу x придать иррациональное значение? Как, например, вычислить ? Этого мы пока не знаем. Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали. Известно, что = 1,7320508… Рассмотрим последовательность рациональных чисел – десятичных приближений числа по недостатку: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508; … . 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508; … .

Соответственно возрастает и последовательность

. (1)

Убедимся в этом. Возьмем, например, два соседних члена последовательности . Перепишем их так:

= ; .

Поскольку , то , а это и означает, что . Все члены последовательности (1) – положительные числа, меньшие, чем , т.е. эта последовательность ограниченная. По теореме Вейерштрасса, если последовательность возрастает и ограничена, то она имеет предел. Этот предел принято считать значением числового выражения . И неважно, что найти даже приближенное значение числового выражения очень трудно, важно, что это – конкретное число (например, x = корень рационального уравнения, а x = arсcos(корень тригонометрического уравнения, не особенно задумываясь над тем, а что же это конкретно за числа или arсcos(). Аналогично, можно определить, что такое , и т.д.

Определение. Пусть a > 1 и α = a,a₁a₂a₃ … a_n … – положительное иррациональное число (бесконечная десятичная непериодическая дробь). Составим последовательность десятичных приближений числа α по недостатку:

α₁ = a,a₁,; α₂ = a,a₁a₂; α₃ = a,a₁a₂a₃; … ; α_n = a,a₁a₂a₃ … a_n … . Тогда предел последовательности , , , …, , … обозначают и называют степенью с иррациональным показателем. Если α > 1 и α < 0 – иррациональное число, то под будем понимать число . Если 0 < α < 1, то под будем понимать число .

Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции y = , определенной на множестве всех действительных чисел. Далее автор рассматривает график и свойства показательной функции. Также автор говорит о том, как связаны многие экономические, биологические, физические законы, относящиеся, например, к изменению температуры тела, и т.д. Приведем пример. Предположим, что колония живых организмов находится в благоприятных условиях: пространство, занимаемое колонией, и пищевые ресурсы не ограничены, а хищников, питающихся организмами данной колонии, нет, благодаря чему рождаемость выше, чем смертность. В таких условиях обычно считают, что скорость изменения численности колонии пропорциональна численности (чем больше организмов, тем выше скорость; k – коэффициент пропорциональности). Установлено, что число организмов колонии выражается формулой y = , где – численность колонии в момент времени t = 0, а e – особое число, примерно равное 2,7. На рисунке 1 схематически представлен график функции y = (пунктиром добавлена гипотетическая часть графика при t < 0).

рис.1

Ярким примером трансцендентных чисел является число e. В школьном учебнике Мордковича Алгебра 10-11 данное число вводится после изучения логарифмов в теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функции». После введения показательной функции y = , где a > 1, автор проводит для примера касательную к графику функции y = в точке x = 0 (рис. 2). Эта касательная образует с осью x угол 35◦ (примерно). Далее проводит касательную к графику функции y = тоже в точке x = 0 (рис. 3). Здесь угол между касательной и осью x будет больше – примерно 48◦. А для показательной функции y = угол примерно равен 66,5◦ (рис. 4). Если основание показательной функции постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке x = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35◦ до 66,5◦. Существует основание a, для которого соответствующий угол равен 45◦. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, так как для функции y = угол равен 35◦, что меньше 45◦, а для функции y = он равен 48◦, что уже немного больше 45◦. Доказано, что такое основание действительно существует, его принято обозначать буквой e. Установлено, что число e – иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь: e = 2,7182818284590…; на практике обычно полагают, что e ≈ 2,7. Далее автор рассматривает график и свойства функции y =

рис.2

рис.3

рис.4

В учебнике Мордковича Алгебра и начала анализа 10-11 изучаются иррациональные выражения, иррациональные уравнения, степень с иррациональным показателем, ключевым понятием которых является иррациональное число, тесно связанное с алгебраическими и трансцендентными числами. Также в учебнике рассматривается число e, где говорится о его иррациональности. [11, c. 214, c. 273, c. 251]

В учебнике Виленкина Н. Я. Алгебра и математический анализ 11(учебное пособие для классов с углубленным изучением математики) число e вводится при изучении натурального логарифма. Рассмотрим как оно вводится автором. Поскольку функция принимает по одному разу все действительные значения, то найдется такое число, что его натуральный логарифм равен 1. Это число было введено в математику действительным членом Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707 – 1783) и получило обозначение e. Итак, через e обозначают число, натуральный логарифм которого равен 1, т.е. для которого выполнено равенство = = 1. Очевидно, что e > 1. Так как площадь квадрата ABCD на рисунке 5 равна 1, то видим, что 1 и потому 2 < e. С другой стороны, площадь фигуры заштрихованной на этом рисунке, равна 1, и потому видим, что 1 < , откуда e < 3. Значит, число e заключено между 2 и 3. Более точные подсчеты показывают, что e = 2,7182818284590… . Это число иррациональное.

рис.5

Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе в учебнике Виленкина Алгебра и математический анализ 11. Замена дроби, знаменатель которой – иррациональное выражение, тождественно равной ей дробью, знаменатель которой – рациональное выражение, называется уничтожением иррациональности в знаменателе. Аналогично определяется уничтожение иррациональности в числителе. Приведем примеры такого преобразования иррациональных выражений.

1. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби . Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на . Получим: = = = .

2. Уничтожить иррациональность в знаменателе выражения . Решение. Имеем: = = = .

Трансцендентные уравнения с параметрами. Функции y = , y = , y = , y = arc называют трансцендентными. Решим трансцендентные уравнения с параметрами. При решении показательных уравнений с параметрами надо проверять случай, когда основание равно 1. Рассмотрим один из примеров. Решить уравнение = b. (1)

Решение. Запишем уравнение (1) в виде ( (2)

Если a = b=1, то при любом x имеем: = 1. Значит, при a = b=1 корнем уравнения является любое значение x. Пусть теперь a >0, a ≠ 1. Покажем, что при этих значениях a выполняется неравенство . Функция y = при x ≥ 0 имеет только минимум в точке x = , равный > 0. Поэтому при a . Отсюда следует, что если a >0,

a ≠ 1, b > 0, то > 0 и потому x = . В случае, когда a = 0, равенство (1) выполняется лишь при b = 0, x > . Рассмотрим случай, когда a < 0. В этом случае допустимы лишь целые значения 2x – 3. Иными словами, если a < 0, то x = , где n – целое число. При этом b = Итак, если a = b=1, то x – любое действительное число. Если

a >0, a ≠ 1, то x = . Если a = b = 0, то x > . Если a < 0, b = , где n – целое число, то x = . В других случаях уравнение корней не имеет. Обычно в таких задачах делают оговорку, что a >0 и случаи a = 0, a < 0 не рассматриваются. [12, c. 68, c. 129]

Таким образом, в старших классах школы, а особенно в классах с углубленным изучением математики, изучаются различные темы, связанные с понятием алгебраических и трансцендентных чисел.

3.2. Конспект урока на тему «Упрощение иррациональных выражений» по учебнику

Приведем конспект урока на тему «Упрощение иррациональных выражений» по учебнику Н. Я. Виленкина Алгебра и математический анализ 11 (учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики).

Тип урока: изучение нового материала

Цели урока:

1. Образовательные:

• отработка навыков и умений по упрощению иррациональных выражений;

• отработка навыков применения основных приемов упрощения иррациональных выражений.

2. Развивающие:

• развитие логического мышления;

• развитие творческого подходa к упрощению иррациональных выражений.

3. Воспитательные:

• формирование aктивной позиции учащихся;

• воспитание информaционной культyры yчащихся.

Структура урока:

1. Организационный момент

2. Устный опрос

3. Объяснение нового материала

4. Работа в тетрадях и у доски

5. Итог урока

6. Домашнее задание

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Устный опрос:

1. Что называют иррациональными выражениями?

Иррациональные выражения – выражения с переменными, содержащими знак корня.

2. Приведите примеры иррациональных выражений.

3. Назовите свойства арифметического корня

Свойства арифметического корня:

1. = a;

2. = a;

3. ;

4. = , b ≠ 0;

5. = ;

6. =

7. =│a│.

3. Объяснение нового материала.

Учитель: Вы уже знакомы с иррациональными выражениями. Сегодня мы рассмотрим упрощение иррациональных выражений. При упрощении иррациональных выражений применяются следующие приемы (под запись):

1. приведение корней к одному показателю;

2. замена произведения или частного корней с одинаковыми показателями корнем из произведения или частного;

3. сокращение показателей;

4. замена корня из корня одним корнем;

Такие преобразования позволяют заменить любое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций умножения, деления и извлечения корня, тождественно равным ему выражением вида или вида . Рассмотрим пример:= = = = 6 = 6 = 12.

Рассмотрим случай, когда показатель корня четен. = .

4. У доски цепочкой решаем № 203, 204, 205.

№ 203. Упростите выражения: ; 2) .

Решение: 1) 8; 2) = = .

№ 204. Приведите к общему показателю корни: и .

Решение: = = =

= = , при a ≥ 0, b ≥ 0.

№205. Какое из чисел больше: 1) или ; 2) ; 3) или ?

Решение: Приведем к общему показателю корни.

1. = = ; = = . А < . Следовательно,

.

2. = = ; = . А .

Следовательно, .

3. = ; = . А .

Следовательно, .

5. Итог урока. Под преобразованием иррационального выражения

понимают приведение его к виду, содержащему меньшее число алгебраических операций над входящими в исходное выражение переменными. Какие основные приемы применяются при упрощении иррациональных выражений?

6. Домашнее задание. Повторить свойства арифметического корня,

выучить основные приемы преобразования иррациональных выражений, № 206, 207.

3.3. Решение задач

1.Доказать, что следующие числа являются алгебраическими: а) б) ; в)

Доказательство: - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая

иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x³-2=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

б) - алгебраическое число 2-й степени. Это число есть корень многочлена 2-й степени с целыми коэффициентами x² – 3 = 0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й с целыми коэффициентами.

в) - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x³-5=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

2. Дано: - алгебраические числа 2-й степени.

- алгебраическое число 4-й степени.

Доказательство: Действительно, если α = , то α² = 5 + 2, α⁴ – 10α² + 1 = 0, т.е. α – корень многочлена f(x) = x⁴ - 10x² + 1 с целыми коэффициентами, и

f(x) = (x - )(x - )(x + )(x + (1)

Из теоремы единственности разложения многочлена на неприводимые множители следует, что любые неприводимые над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (1). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а следовательно - алгебраическое число 4-й степени.

3. Дано: число e.

Доказать: e – трансцендентно.

Доказательство: Предположим, что e – корень многочлена с целыми коэффициентами c₀, c₁, … , c_n, так что

c₀ + с₁e + … + c_neⁿ = 0. (2)

Обозначим через M наибольшую из абсолютных величин коэффициентов c_s, так что при всех s = 0,1, … , n имеем │ c_s│≤ M.

При заданном n функция при увеличении y стремится к нулю и, поскольку существуют сколь угодно большие простые числа, мы можем выбрать простое число p так, что будут одновременно выполняться условия:

< , p > │c₀│и p > n.

Рассмотрим функцию степени (n + 1)p – 1

f(x)= (x -1)^p(x – 2)^p … (x – n)^p.

Интегрируя по частям, находим:

- f(x) + e^xf(0) + = - (f(x) + ) + e^x(f(0) + (0)) + …

Продолжим этот процесс, пока не дойдем до производной (n + 1)p, равной тождественно нулю; получим:

- F(x) + e^xF(0), (3)

где F(x) = f(x) + + (x) + … (до производной порядка np + p – 1).

Подставляя в (3) вместо x число s и умножая на c_s, (0 ≤ s ≤ n), имеем:

c_sF(s) + c_sc_se^sF(0). (4)

Придавая s значения 0,1, … ,n, складывая при таких s равенства (4) и принимая во внимание, что ввиду тождества (2) правая часть получается равной нулю, находим:

c₀F(0) + c₁F(1) + … + c_nF(n) + _s . (5)

Разложение f(x) по степеням x имеет вид:

f(x) = (A_{p – 1}x^{p – 1} + A_px^p + … ), (6)

где A_{p – 1}, A_p, … - целые числа. Получаем: f(0) = f'(0) = … = f^{(p– 2)}(0) = 0, а f^(p-1)(0) = A_{p – 1} = (- 1)^np 1^p 2^p … n^p есть целое число, которое, поскольку p простое и

n < p, не делится на p; f^(p)(0), f^(p+1)(0), … , как легко видеть из (6), - целые числа, делящиеся на p.

F(0) = f^(p-1)(0) + f^(p)(0) + f^(p+1)(0) + … представляет собой сумму целого числа

f^(p-1)(0), не делящегося на p, и других целых чисел, кратных p, так что p не делится на F(0). Поскольку p > │c₀│, то будет также p не делится на c₀F(0).

Разложение f(x) по степеням x – k, где 1 ≤ k ≤ n, имеет вид:

f(x) = (B_{k, p}(x – k)^p + B_{k, p + 1}(x – k)^{p + 1} + … ), (7)

где все коэффициенты B_{k, p}, B_{k, p + 1}, … - целые числа.

Дифференцируя (7), легко видеть, что при всех таких k F(k) = f(k) + f'(k) + … - целое число, делящееся на p. В сумме R = c₀F(0) + c₁F(1) + … + c_nF(n) первое слагаемое не делится на p, а все остальные слагаемые делятся на p,так что R – целое число, не делящееся на p, и, таким образом, отлично от нуля. Целое число, отличное от нуля, имеет модуль, больший или равный единице, так что │ R │≥ 1. Оценим теперь величину │ R │ сверху. Согласно (5)

│ R │ = _s │.

Во всех интегралах, входящих в R, величина t пробегает значения, не выводящие за пределы сегмента [0 ; n], а при таких t справедливо неравенство:

│f(t)│= f(x)= (t -1)^p(t – 2)^p … (t – n)^p ≤ ,

так что при всех s = 0,1, … , n имеем (Теорема: пусть f(x) – непрерывная в сегменте [a ; b] функция; m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f(x) в этом сегменте; тогда m(b –a) ≤ ≤ M(b –a)):

││< eⁿ и │ R │≤ M(n+1)eⁿ < ,

что противоречит полученному ранее неравенству │ R │≥ 1. Предположение, что e – алгебраическое число, привело к противоречию; следовательно, e – неалгебраическое, т.е. трансцендентное число. Следовательно, теорема доказана.

4. Дано: α = + + … = 0,11000100…; α = + + …

Доказать: 1) α = + + … = 0,11000100… - число трансцендентное; 2) α = + + …- число трансцендентное.

Доказательство: 1) Пусть = α_k = + + … + =, так что

α - α_k < (1 + + + … ) < и, наоборот, > α - α_k. Если α – алгебраическое число степени n, то согласно теореме Лиувилля существует положительное c такое, что │ α - α_k│≥ . Пусть k так велико, что > , а > ; тогда по предыдущим неравенствам > и > для достаточно больших k, но это неверно для значений k > n. Итак, α – трансцендентно.

2) Пусть = α_k = + + … + = , так что

α - α_k < (1+ + + …) < и, наоборот, > α - α_k. Если α – алгебраическое число степени n, то согласно теореме Лиувилля существует положительное c такое, что │ α - α_k│≥. Пусть k так велико, что > , а > ; тогда по предыдущим неравенствам > и > для достаточно больших k, но это неверно для значений k > n. Итак, α – трансцендентно.

5. Дано: любое алгебраическое число α (α ≠ 0).

Доказать: - трансцендентное число.

Доказательство: если бы = β был алгебраическим числом, то из = α = α, α-= 0 согласно теореме Линдемана следовало бы, что 0 - также трансцендентное. Полученное противоречие показывает, что - трансцендентное число.

6. С помощью теоремы Гельфонда доказать трансцендентность чисел: 1) lg2; 2).

Доказательство: 1) число lg2 - число иррациональное и ему соответствует алгебраическое число = 2, следовательно по теореме Гельфонда lg2 – трансцендентно.

2) число - число иррациональное и ему соответствует алгебраическое число = 5, следовательно по теореме Гельфонда - трансцендентно. [1, c. 256]

Заключение

Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Так, например, теория алгебраических и трансцендентных чисел позволила математикам решить три знаменитые геометрические задачи, оставшиеся нерешенными со времен античности. Речь идет о задачах об «удвоении куба», о «трисекции угла» и о «квадратуре круга», которые относятся к построению с помощью циркуля и линейки. Эти задачи состоят в следующем:

1) Удвоение куба. Требуется построить куб, имеющий вдвое больший объем по сравнению с данным кубом. Хотя куб и пространственная фигура, задача, по существу, является планиметрической. Если в качестве единицы длины взять ребро данного куба, то задача будет состоять в построении отрезка длины , поскольку именно такой будет длина ребра куба, имеющего вдвое больший объем по сравнению с данным.

2) Трисекция угла. Найти способ, посредством которого, используя лишь циркуль и линейку , можно любой угол разделить на три равные части. Имеются некоторые углы, например 90⁰ или 45⁰, которые можно с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части, однако так называемый «общий» угол с помощью этих инструментов разделить на три равные части нельзя.

3) Квадратура круга. Построить квадрат, по площади равный данному кругу, или, что равносильно, построить круг, равный по площади данному кругу.

Так как в отношении этих трех классических задач имеет место большая путаница, то можно доказать невозможность всех трех построений. Например, рассмотрим задачу о квадратуре круга. Пусть имеется некоторый круг радиуса единицы длины. Тогда площадь его будет равна π квадратных единиц. Квадрат той же площади имеет сторону длины . Тогда задача о квадратуре круга сводится к задаче о построении отрезка длины , исходя из данного отрезка единичной длины. Далее, из теории геометрических построений известно, что если имеются отрезки длины 1 и a, то можно построить отрезок длины . Следовательно, если бы можно было построить отрезок длины , то можно было бы построить и отрезок длины π. π – есть число трансцендентное ,т.е. неалгебраическое. Поэтому, согласно теореме о геометрических построениях, отрезок длины π построить невозможно. Таким образом, « квадратура круга» неосуществима циркулем и линейкой.

Алгебраические числа позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел.

Проблемы, относящиеся к теории трансцендентных чисел, возникли впервые в работах Эйлера, ставившего, в частности, задачу доказательства трансцендентности иррациональных значений логарифмической функции.

Теорема 1 из п. 2.2., показывающая, в частности, существование трансцендентных чисел, была дана в работах Георга Кантора (1845 – 1918).

Французский математик Лиувилль (1809 – 1882) известен своими работами по теории дифференциальных уравнений, эллиптических функций и теории трансцендентных чисел. Вопросы существования трансцендентных чисел были рассмотрены Лиувиллем в работах, опубликованных в 1844 и в 1851 гг. до работ Кантора.

Теорема Линдемана является частным случаем общих теорем Зигеля и Шидловского об алгебраической независимости значений так называемых E-функций при алгебраических значениях аргумента.

В период с 1882 по 1929г. теория трансцендентных чисел почти не двигалась вперед. Известные методы были исчерпаны, а новых путей для доказательств трансцендентности не было видно. Метод Эрмита – Линдемана оказался, однако, бессильным установить трансцендентность многих других величин, часто встречающихся в математике, таких, например, как , , и т.д. В 1929 – 1934гг. советский математик А.О. Гельфонд ввел в теорию трансцендентных чисел существенно новые методы, позволившие ему и другим математикам, работавшим в этом направлении, установить трансцендентность многих величин, арифметическая природа которых до этого не была известна. Теоремой Гельфонда была решена знаменитая проблема, поставленная Гильбертом еще в 1900 г. на Международном съезде математиков и считавшаяся одной из наиболее трудных среди целого ряда проблем, выдвинутых им на этом съезде.

Работы Гельфонда и других математиков,в особенности Зигеля, Маллера, Шнейдера, Шидловского, существенно продвинули теорию трансцендентных чисел. Вместе с тем о многих величинах, часто встречающихся в математике, до сих пор трудно определить, являются ли они трансцендентными или алгебраическими. Так, например, предполагают, что эйлерова постоянная C – трансцендентное число. Доказать это пока не удалось, и, не опровергнута даже возможность того, что C – рациональное число. [1, c. 167]

Трансцендентные числа применяются и в других науках. Например, в экономическом смысле число e означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимально частой капитализации процентов. Теоретически считается, что наиболее производительные компьютеры должны иметь разрядность e. Троичные ЭВМ ближе к данному значению, но из-за технических сложностей распространение получили двоичные компьютеры, в которых используются 1 и 0. Числа π и е входят также во множество формул в математике, физике, химии, биологии, также в экономике. Константа е непосредственно связана с однородностью пространства и времени, а π - с изотропностью пространства. Тем самым они отражают законы сохранения: число е - энергии и импульса (количества движения), а число π - вращательного момента (момента импульса). Природу числа е полезно знать поглубже студентам-химикам и материаловедам, биологам и экономистам. Это поможет им понять кинетику распада радиоактивных элементов, насыщения растворов, износа и разрушения материалов, размножения микробов, воздействия сигналов на органы чувств, процессов накопления капиталов и т.д. - бесконечного множества явлений в живой и неживой природе и деятельности человека.[6, c. 18]

В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел. Введение, дающий общий очерк развития теории чисел, посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел. Так же на протяжении всей работы можно наблюдать исторические комментарии. Поставленные цели и задачи в работе выполнены.

Эта работа может быть рекомендована студентам в качестве дополнительного материала для углубленного изучения математики.

Данная работа дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса и дает представление о теории алгебраических чисел и о теории чисел вообще, как о развивающейся науке.

Список использованной литературы

1. Михелович, Ш. Х. Теория чисел: учеб. / Ш. Х. Михелович - 2-е изд., испр. и доп. - М.:Высшая школа, 1967. - 334с.

2. Бухштаб А. А. Теория чисел: учеб. пособие/ А. А. Бухштаб - 3-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2008. - 384 с.

3. Нивен А. Н. Числа рациональные и иррациональные: учеб./ А. Нивен 2-е изд., испр. и доп.- М.: Мир, 1966. - 201 с.

4. Сафонов В. И. Алгебра и начала анализа/В. И. Сафонов//Математика в школе. – 2009. - №1. – с. 24-26

5. Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа/Н. Фельдман//Квант. – 1983. - №7. – с. 5 - 7

6. Виноградов И.М. Элементы высшей математики: учебник для вузов/ И. М. Виноградов 2- е изд. - М.: Высшая школа, 1999. - 512 с.

7. Кутузова Т. И., Казанцев А. Д. Элементы математики в задачах: учеб. пособие / Т.И. Кутузова, А.Д. Казанцев. - М.: МЦНМО, 2011. - 160 с.

8. Гусак А. А. Справочник по высшей математике: учеб./ А. А. Гусак 2-е изд. -Минск: ТетраСистемс, 2005. - 631с.

9. Сингх Саймон Великая теорема Ферма: учебник./ Саймон Сингх 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000. – 160 с.

10. Михалев А. А. Начала алгебры: учебн./ А. А. Михалев 1-е изд., - М. Интернет-университет информационных технологий, 2010. - 196с.

11. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11: учебник/ А. Г. Мордкович 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010. - 399 с.

12. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11: учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашов-Мусатов, С. И. Шварцбурд 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2002. - 288 с.