Задачи на движение .
Для
подготовки к ЕГЭ по математике
(профильный
уровень).
1. Из пункта
A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый
проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину
пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью,
на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в
пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть км/ч —
скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на
второй половине пути равна км/ч.
Примем расстояние между пунктами за . Автомобили
были в пути одно и то же время, отсюда имеем:
Таким образом,
скорость первого автомобиля была равна 32 км/ч.
Ответ: 32.
2. Из пункта
A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый
проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину
пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую
половину пути – со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в
пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого
автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в
км/ч.
Решение.
Пусть км/ч –
скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на
первой половине пути равна км/ч.
Примем расстояние между пунктами за 2. Автомобили были в пути одно и
то же время, отсюда имеем:
Таким образом, скорость первого
автомобиля была равна 52 км/ч.
Ответ: 52.
3. Из пункта
A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно
выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист
проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость
велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на
6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть км/ч –
скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна км/ч.
Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:
Таким образом, скорость велосипедиста
была равна 10 км/ч.
Ответ: 10.
4. Велосипедист
выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние
между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно
в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал
остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный
путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите
скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в
км/ч.
Решение.
Пусть км/ч –
скорость велосипедиста на пути из B в A, тогда скорость велосипедиста
на пути из A в B равна км/ч.
Сделав на обратном пути остановку на 3 часа, велосипедист затратил
на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B,
отсюда имеем:
Таким образом, скорость велосипедиста
была равна 10 км/ч.
Ответ: 10.
5. Велосипедист
выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние
между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно
со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку
на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же
времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста
на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть км/ч –
скорость велосипедиста на пути из A в B, тогда скорость велосипедиста
на пути из B в A – км/ч.
Сделав на обратном пути остановку на 7 часов, велосипедист затратил
на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B,
отсюда имеем:
Таким образом,
скорость велосипедиста была равно 7 км/ч.
Ответ: 7.
6. Два велосипедиста
одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со
скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу
на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к
финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть км/ч —
скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, тогда скорость
второго велосипедиста — км/ч, . Первый
велосипедист прибыл к финишу на 1 час раньше второго, отсюда имеем:
Значит, первым
финишировал велосипедист, двигавшийся со скоростью 16 км/ч.
Ответ: 16.
7. Два велосипедиста
одновременно отправились в 88–километровый пробег. Первый ехал со
скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу
на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего
к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть км/ч –
скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, тогда скорость
первого велосипедиста – км/ч.
Первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго, отсюда
имеем:
Таким образом, скорость велосипедиста,
пришедшего к финишу вторым, равна 8 км/ч.
Ответ: 8.
8. Из двух
городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу
одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили
встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?
Решение.
Пусть ч –
время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет
расстояние км, а
второй – км.
Тогда имеем:
.
Таким образом,
автомобили встретятся через 4 часа.
Ответ: 4.
9. Из городов
и , расстояние
между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали
два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города
. Найдите
скорость автомобиля, выехавшего из города . Ответ
дайте в км/ч.
Решение.
Автомобиль, выехавший из города
, преодолел
расстояние (330 – 180) км = 150 км за 3 часа. Пусть км/ч –
скорость данного автомобиля. Таким образом,
км/ч.
Ответ: 50.
10. Расстояние
между городами и равно 435
км. Из города в город со скоростью
60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из
города выехал со
скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города автомобили
встретятся? Ответ дайте в километрах.
Решение.
Пусть автомобили встретятся
на расстоянии км от
города ,
тогда второй автомобиль пройдет расстояние км.
Второй автомобиль находился в пути на 1 час меньше первого, отсюда
имеем:
.
Ответ: 240.
11. Расстояние
между городами и равно 470
км. Из города в город выехал
первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города выехал со
скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля,
если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города . Ответ
дайте в км/ч.
Решение.
Пусть км/ч –
скорость первого автомобиля. Автомобиль, выехавший из города , преодолел
расстояние (470 – 350) км = 120 км. Первый автомобиль находился в
пути на 3 часа больше, чем второй. Таким образом,
.
Ответ: 70.
12. Из городов A
и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист.
Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист
приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда.
Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?
Решение.
Примем расстояние между городами
1. Пусть время движения велосипедиста равно ч,
тогда время движения мотоциклиста равно ч, К моменту
встречи они находились в пути 48 минут и в сумме преодолели всё расстояние
между городами, поэтому
Таким образом, велосипедист
находился в пути 4 часа.
Ответ: 4.
13. Товарный поезд
каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в
180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного
поезда. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Скорость товарного поезда
меньше, чем скорого на 750 м/мин или на
.
Пусть км/ч —
скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда км/ч.
На путь в 180 км товарный поезд тратит времени на 2 часа больше, чем скорый,
отсюда имеем:
Ответ: 45.
14. Расстояние
между городами и равно 150
км. Из города в город выехал автомобиль,
а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист,
догнал автомобиль в городе и повернул
обратно. Когда он вернулся в , автомобиль
прибыл в . Найдите
расстояние от до . Ответ
дайте в километрах.
Решение.
Обозначим км –
расстояние от A до C, км/ч –
скорость автомобиля, ч –
время движения мотоциклиста от A до C. Тогда и Решим
систему полученных уравнений:
Тогда км.
Ответ: 90.
15. Два пешехода отправляются
одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку
по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго.
Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
Решение.
Пусть км/ч –
скорость второго пешехода, тогда скорость первого – км/ч.
Пусть через часов
расстояние между пешеходами станет равным 0,3 километра. Таким образом,
,
часа или минут.
Ответ: 12.
16. Половину времени,
затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую
половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на
протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть
автомобиль находился в пути часов,
тогда его средняя скорость равна:
км/ч.
Ответ: 70.
17. Первую треть трассы
автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120
км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на
протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть км –
весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:
км/ч.
Ответ: 88.
18. Первые два часа
автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью
100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на
протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя
скорость равна:
км/ч.
Ответ: 70.
19. Первые 190 км автомобиль
ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч,
а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на
протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя
скорость автомобиля равна
км/ч.
Ответ: 72.
20. Поезд, двигаясь
равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба
за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение.
Скорость поезда равна . За
36 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние, равное
своей длине:
.
Ответ: 800.
21. Поезд, двигаясь
равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина
которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.
Решение.
Скорость поезда равна 60 км в
час, значит, за 1 минуту поезд проезжает 1 км. За это время поезд проезжает
мимо лесополосы, то есть проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы
и самого поезда. Поэтому длина поезда равна метров.
Ответ: 600.
22. По двум параллельным
железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и
товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30
км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского
поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно
1 минуте. Ответ дайте в метрах.
Решение.
Относительная скорость поездов
равна
За 60 секунд один
поезд проходит мимо другого, то есть преодолевают расстояние равное
сумме их длин:
м,
поэтому длина
пассажирского поезда м.
Ответ: 400.
23. По двум параллельным
железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский
поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч.
Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого
поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда,
равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение.
Относительная скорость поездов
равна
За 36 секунд один
поезд проходит мимо другого, то есть вместе поезда преодолевают расстояние,
равное сумме их длин:
м,
поэтому длина
скорого поезда
Ответ: 300.
24. Два человека
отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся
в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч,
а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же
скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления
произойдёт их встреча?
Решение.
Пусть x ч — время, прошедшее
от начала движения до момента встречи пешеходов. Тогда к моменту их
встречи тот, кто шёл медленнее, прошёл 2,5x км, а тот, кто шёл быстрее,
прошёл 4,4 км до опушки и ещё 3x км в обратном направлении.
Пешеходы встретились на одном и том же расстоянии от опушки, поэтому
расстояние, которое ещё осталось пройти до опушки более медленному
из них, равно расстоянию, на которое более быстрый от неё уже удалился.
Следовательно, 4,4 − 2,5х = 3х − 4,4,
откуда х = 1,6 ч, а искомое расстояние равно
2,5 · 1,8 = 4 км.
Ответ: 4.
25. Дорога между
пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна
8 км. Турист прошёл путь из А в В за 5 часов. Время
его движения на спуске составило 1 час. С какой скоростью турист
шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения
на спуске на 3 км/ч?
Решение.
Пусть скорость, с которой турист
спускался, равна х км/час, тогда его скорость на подъёме равна х − 3
км/ч, длина спуска равна х км, длина подъёма равна 4(х − 3)
км. Поскольку весь путь равен 8 км, имеем: х + 4(х − 3) = 8,
откуда х = 4 км/ч.
Ответ: 4.
26. Плиточник должен
уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на
10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу
на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует
укладывать плиточник?
Решение.
Пусть по плану плиточник должен
был укладывать кв. м.
плитки в течение дней.
Если он будет укладывать кв. м.
плитки в течение дней,
то выполнит ту же работу. Поскольку всего нужно уложить 175 кв. м. плитки,
имеем систему уравнений:
Таким образом, плиточник планировал
в течение 7 дней укладывать по 25 кв. м. плитки в день.
Ответ: 25.
27. Иван и Алексей
договорились встретиться в N-ске. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот
находится в 275 км от N-ска и едет с постоянной скоростью
75 км/ч. Иван в момент разговора находится в 255 км от N-ска и
ещё должен по дороге сделать 50-минутную остановку. С какой скоростью
должен ехать Иван, чтобы прибыть в N-ск одновременно с Алексеем?
Решение.
Время, необходимое Алексею,
чтобы доехать до города, равно 275 : 75 = 11/3 часа или
3 часа 40 минут. Поскольку Иван должен сделать 50-минутную остановку, у
него остаётся 2 часа 50 минут или 17/6 часа на движение. За это время он должен
проехать 255 км, поэтому его скорость должна быть равной
255 : (17/6) = 90 км/час.
Ответ: 90.
28. Дорога между
пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна
8 км. Пешеход прошёл путь из А в В за 2 часа 45 минут. Время
его движения на спуске составило 1 час 15 минут. С какой скоростью пешеход
шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения
на спуске на 2 км/ч? Ответ выразите в км/ч.
Решение.
Заметим, что время подъема составило
1 час 30 минут или 1,5 часа, а время спуска 1,25 часа. Пусть x км/ч —
скорость движения пешехода на спуске, тогда х − 2 км/ч
— скорость движения пешехода на подъеме, 1,25х км — длина пути на
спуске, 1,5(х − 2) км — длина пути на подъеме. Всего было
пройдено 8 км, откуда имеем:
Тем самым, скорость пешехода на
спуске была равна 4 км/ч.
Ответ: 4.
29. Велосипедист
выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние
между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно
в А со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал
остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на обратный
путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите
скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в
км/ч.
Решение.
Пусть велосипедист ехал из А
в В со скоростью км/час,
тогда обратно он ехал со скоростью км/час.
Разность времен на пути туда и обратно составляет 8 часов, откуда
имеем:
Искомая скорость велосипедиста
на обратном пути на 8 км/час больше, поэтому она равна 16 км/час.
Ответ: 16.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.