1611338
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт проекта «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Алгебра ТестыДля подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень). Задачи на движение.

Для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень). Задачи на движение.

библиотека
материалов

Задачи на движение .



Для подготовки к ЕГЭ по математике

(профильный уровень).



  1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна hello_html_1e212f37.pngкм/ч. Примем расстояние между пунктами за hello_html_2732e252.png. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

 

hello_html_maa0a7f5.png

hello_html_m614abf9e.png

Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 32 км/ч.

Ответ: 32.



  1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна hello_html_26718e27.png км/ч. Примем расстояние между пунктами за 2. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

 

hello_html_73b8bb35.png

hello_html_6afe4eeb.png

 

Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 52 км/ч.

Ответ: 52.

  1. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна hello_html_1b995582.pngкм/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

 

hello_html_ma92e308.png

 

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

 

Ответ: 10.

  1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость велосипедиста на пути из B в A, тогда скорость велосипедиста на пути из A в B равна hello_html_m42bdeb16.png км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 3 часа, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, отсюда имеем:

 

hello_html_6026d1f2.png

hello_html_49a6a0af.png

 

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10.

  1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость велосипедиста на пути из A в B, тогда скорость велосипедиста на пути из B в A hello_html_31881b31.png км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 7 часов, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, отсюда имеем:

 

hello_html_6828a5ae.png

hello_html_6ec03d7b.png

Таким образом, скорость велосипедиста была равно 7 км/ч.

Ответ: 7.

  1. Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, тогда скорость второго велосипедиста — hello_html_3a3c2179.pngкм/ч, hello_html_m2f6b874a.png. Первый велосипедист прибыл к финишу на 1 час раньше второго, отсюда имеем:

 

hello_html_m4bf689eb.png

hello_html_75e44670.png

Значит, первым финишировал велосипедист, двигавшийся со скоростью 16 км/ч.

Ответ: 16.

  1. Два велосипедиста одновременно отправились в 88–километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, тогда скорость первого велосипедиста – hello_html_m7d4602a.pngкм/ч. Первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго, отсюда имеем:

 

hello_html_m5c4a4d7e.png

hello_html_1eac29ed.png

Таким образом, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 8 км/ч.

Ответ: 8.

  1. Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Решение.

Пусть hello_html_mf2b33a1.pngч – время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние hello_html_5eb05ad8.pngкм, а второй – hello_html_m1ba66651.png км. Тогда имеем:

 

hello_html_m68c727e0.png.

Таким образом, автомобили встретятся через 4 часа.

Ответ: 4.

  1. Из городов hello_html_3e6a0328.pngи hello_html_m1e35b117.png, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города hello_html_m1e35b117.png. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города hello_html_3e6a0328.png. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Автомобиль, выехавший из города hello_html_3e6a0328.png, преодолел расстояние (330 – 180) км = 150 км за 3 часа. Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость данного автомобиля. Таким образом,

 

hello_html_34b5533c.pngкм/ч.

Ответ: 50.

  1. Расстояние между городами hello_html_3e6a0328.pngи hello_html_m1e35b117.pngравно 435 км. Из города hello_html_3e6a0328.pngв город hello_html_m1e35b117.pngсо скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города hello_html_m1e35b117.pngвыехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города hello_html_3e6a0328.pngавтомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Решение.

Пусть автомобили встретятся на расстоянии hello_html_5728922d.pngкм от города hello_html_3e6a0328.png, тогда второй автомобиль пройдет расстояние hello_html_md753a58.pngкм. Второй автомобиль находился в пути на 1 час меньше первого, отсюда имеем:

 

hello_html_15b4f3ca.png

hello_html_m4d7a06bb.png.

Ответ: 240.

  1. Расстояние между городами hello_html_3e6a0328.pngи hello_html_m1e35b117.pngравно 470 км. Из города hello_html_3e6a0328.pngв город hello_html_m1e35b117.pngвыехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города hello_html_m1e35b117.pngвыехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города hello_html_3e6a0328.png. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость первого автомобиля. Автомобиль, выехавший из города hello_html_m1e35b117.png, преодолел расстояние (470 – 350) км = 120 км. Первый автомобиль находился в пути на 3 часа больше, чем второй. Таким образом,

 

hello_html_5a0e52a2.png.

Ответ: 70.

  1. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Решение.

Примем расстояние между городами 1. Пусть время движения велосипедиста равно hello_html_277729cd.pngч, тогда время движения мотоциклиста равно hello_html_m1c582b64.pngч, hello_html_m7e06da62.pngК моменту встречи они находились в пути 48 минут и в сумме преодолели всё расстояние между городами, поэтому

 

hello_html_52b766bd.png

 

Таким образом, велосипедист находился в пути 4 часа.

Ответ: 4.

  1. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Скорость товарного поезда меньше, чем скорого на 750 м/мин или на

 

hello_html_m5fe960b8.png.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч — скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда hello_html_78e63052.pngкм/ч. На путь в 180 км товарный поезд тратит времени на 2 часа больше, чем скорый, отсюда имеем:

 

hello_html_27b22af0.png

hello_html_5da44272.png

Ответ: 45.

  1. Расстояние между городами hello_html_3e6a0328.pngи hello_html_m1e35b117.pngравно 150 км. Из города hello_html_3e6a0328.pngв город hello_html_m1e35b117.pngвыехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе hello_html_22d09072.pngи повернул обратно. Когда он вернулся в hello_html_3e6a0328.png, автомобиль прибыл в hello_html_m1e35b117.png. Найдите расстояние от hello_html_3e6a0328.pngдо hello_html_22d09072.png. Ответ дайте в километрах.

Решение.

Обозначим hello_html_5728922d.pngкм – расстояние от A до C, hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость автомобиля, hello_html_mf2b33a1.pngч – время движения мотоциклиста от A до C. Тогда hello_html_m2a474034.pngи hello_html_m5f654a4e.pngРешим систему полученных уравнений:

 

hello_html_4fb92206.png

Тогда hello_html_m1ff8dde5.pngкм.

 

 

Ответ: 90.

  1. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение.

Пусть hello_html_1a9928bf.pngкм/ч – скорость второго пешехода, тогда скорость первого – hello_html_1c8c8fd7.pngкм/ч. Пусть через hello_html_mf2b33a1.pngчасов расстояние между пешеходами станет равным 0,3 километра. Таким образом,

 

hello_html_m7efb4b50.png,

hello_html_m39eca937.pngчаса или hello_html_m73512086.pngминут.

 

Ответ: 12.

  1. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть автомобиль находился в пути hello_html_1f022368.pngчасов, тогда его средняя скорость равна:

 

hello_html_m18143fc0.pngкм/ч.

Ответ: 70.

  1. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть hello_html_m302a5cd.pngкм – весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:

 

hello_html_787d772.pngкм/ч.

Ответ: 88.

  1. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость равна:

 

hello_html_6656e3d.pngкм/ч.

Ответ: 70.

  1. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость автомобиля равна

 

hello_html_4779871b.pngкм/ч.

Ответ: 72.

  1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость поезда равна hello_html_1887ff2d.png. За 36 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние, равное своей длине:

 

hello_html_m4059ab3.png.

Ответ: 800.

  1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость поезда равна 60 км в час, значит, за 1 минуту поезд проезжает 1 км. За это время поезд проезжает мимо лесополосы, то есть проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и самого поезда. Поэтому длина поезда равна hello_html_m7cda5f48.pngметров.

 

Ответ: 600.

  1. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Относительная скорость поездов равна

 

hello_html_m1609ba5a.png

За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевают расстояние равное сумме их длин:

hello_html_4b05d31.pngм,

поэтому длина пассажирского поезда hello_html_524df6d8.pngм.

Ответ: 400.

  1. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Относительная скорость поездов равна

 

hello_html_m33779bed.png

За 36 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть вместе поезда преодолевают расстояние, равное сумме их длин:

 

hello_html_66f79dc5.pngм,

поэтому длина скорого поезда hello_html_m3e7e8888.png

Ответ: 300.

  1. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

Решение.

Пусть x ч — время, прошедшее от начала движения до момента встречи пешеходов. Тогда к моменту их встречи тот, кто шёл медленнее, прошёл 2,5x км, а тот, кто шёл быстрее, прошёл 4,4 км до опушки и ещё 3x км в обратном направлении. Пешеходы встретились на одном и том же расстоянии от опушки, поэтому расстояние, которое ещё осталось пройти до опушки более медленному из них, равно расстоянию, на которое более быстрый от неё уже удалился. Следовательно, 4,4 − 2,5х = 3х − 4,4, откуда х = 1,6 ч, а искомое расстояние равно 2,5 · 1,8 = 4 км.

 

Ответ: 4.

  1. Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Турист прошёл путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 1 час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 3 км/ч?

Решение.

Пусть скорость, с которой турист спускался, равна х км/час, тогда его скорость на подъёме равна х − 3 км/ч, длина спуска равна х км, длина подъёма равна 4(х − 3) км. Поскольку весь путь равен 8 км, имеем: х + 4(х − 3) = 8, откуда х = 4 км/ч.

 

Ответ: 4.

  1. Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Решение.

Пусть по плану плиточник должен был укладывать hello_html_277729cd.pngкв. м. плитки в течение hello_html_1bb361b8.pngдней. Если он будет укладывать hello_html_7af35802.pngкв. м. плитки в течение hello_html_m5fc325ec.pngдней, то выполнит ту же работу. Поскольку всего нужно уложить 175 кв. м. плитки, имеем систему уравнений:

 

hello_html_ec51753.png

 

Таким образом, плиточник планировал в течение 7 дней укладывать по 25 кв. м. плитки в день.

 

Ответ: 25.

  1. Иван и Алексей договорились встретиться в N-ске. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 275 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 75 км/ч. Иван в момент разговора находится в 255 км от N-ска и ещё должен по дороге сделать 50-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в N-ск одновременно с Алексеем?

Решение.

Время, необходимое Алексею, чтобы доехать до города, равно 275 : 75 = 11/3 часа или 3 часа 40 минут. Поскольку Иван должен сделать 50-минутную остановку, у него остаётся 2 часа 50 минут или 17/6 часа на движение. За это время он должен проехать 255 км, поэтому его скорость должна быть равной 255 : (17/6) = 90 км/час.

 

Ответ: 90.

  1. Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Пешеход прошёл путь из А в В за 2 часа 45 минут. Время его движения на спуске составило 1 час 15 минут. С какой скоростью пешеход шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 2 км/ч? Ответ выразите в км/ч.

Решение.

Заметим, что время подъема составило 1 час 30 минут или 1,5 часа, а время спуска 1,25 часа. Пусть x км/ч — скорость движения пешехода на спуске, тогда х − 2 км/ч — скорость движения пешехода на подъеме, 1,25х км — длина пути на спуске, 1,5(х − 2) км — длина пути на подъеме. Всего было пройдено 8 км, откуда имеем:

 

hello_html_4643226a.png

 

Тем самым, скорость пешехода на спуске была равна 4 км/ч.

 

Ответ: 4.

  1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть велосипедист ехал из А в В со скоростью hello_html_277729cd.pngкм/час, тогда обратно он ехал со скоростью hello_html_39e2f06e.pngкм/час. Разность времен на пути туда и обратно составляет 8 часов, откуда имеем:

 

hello_html_m15e79db7.png

 

Искомая скорость велосипедиста на обратном пути на 8 км/час больше, поэтому она равна 16 км/час.

 

Ответ: 16.



Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Экскурсоведение: основы организации экскурсионной деятельности»
Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности экономиста-аналитика производственно-хозяйственной деятельности организации»
Курс повышения квалификации «Финансы: управление структурой капитала»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Организация системы менеджмента транспортных услуг в туризме»
Курс профессиональной переподготовки «Эксплуатация и обслуживание общего имущества многоквартирного дома»
Курс профессиональной переподготовки «Гостиничный менеджмент: организация управления текущей деятельностью»
Курс профессиональной переподготовки «Гражданско-правовые дисциплины: Теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.