Доклад и презентация к нему по математике на тему "Число пи в современной математике"

Предпросмотр материала:

Выберите файл для просмотра:

Всего файлов: 3

Наше сообщение называется «Число π в современной математике» (слайд 1). Мы работали под руководством А. Н. Чирковой и узнали много интересного (слайд 2).

Понятие числа служит исходным для многих основных математических теорий. Число позволяет выразить результаты счета или измерения. Мы постепенно знакомимся со всеми числами, в том числе с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными и иррациональными. Среди этого большого количества есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Это число π.

Мы поставили перед собой следующую цель (слайд 3):

1) изучить литературу о числе π;

2) познакомиться с современными методами вычисления числа π;

3) найти применение числа π в различных науках;

4) выяснить, как число π используется в современной математике.

Подробные сведения о числе π мы нашли в Википедии (слайд 4).

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. В это время изучением числа π занимались Джон фон Нейман, Сринивас Рамануджан, Ясумас Канада и многие другие математики (слайд 5). Для вычисления большего количества цифр числа π использовали ЭНИАК (электронный числовой интегратор и вычислитель) (слайд 6).

В эту эпоху было найдено ряд красивых формул для вычисления числа π. Некоторые из них вы видите на слайде (слайд 7).

Величина π сейчас используется в самых различных областях современной науки. С применением числа π можно вычислить любую другую константу, например, постоянную тонкой структуры, постоянную золотой пропорции.

Число π применяется в различных науках (слайд 8):

· В алгебре π – это иррациональное и трансцендентное число.

· В тригонометрии используется в радианной мере измерения углов.

· В планиметрии – в формулах длины окружности и её дуги; площади круга и его частей.

· В стереометрии – в формулах объема шара и его частей; объема цилиндра, конуса и усеченного конуса; площади поверхности цилиндра, конуса и сферы.

· В физике число πиспользуется в теории относительности; квантовой механике; ядерной физике.

· В теории вероятностей число π содержит формула Стирлинга для вычисления факториала.

Кроме этого, число π можно встретить в астрономии, космонавтике, архитектуре, навигации, электронике.

Число Пи одна из фундаментальных математических констант. Оно встречается во многих уравнениях различных направлений науки, например (слайд 9):

· в уравнении гравитационного поля Эйнштейна

· в уравнении нормального распределения Гаусса

· в уравнениях, связанных с образованием радуги;

· в уравнениях описывающих распространение зыби при падении дождевой капли в воду;

· в уравнении движения маятника;

· во многих геометрических задачах;

· в задачах связанных с волнами;

· в задачах навигации и т.д.

В силу своей универсальности Пи используется в вычислениях для микро и макрокосмоса и входит, как и в формулы, описывающие движение комет, астероидов, космических кораблей и других небесных тел в астрономии, так и в формулы для вычислений электронных орбит в квантовой физике и квантовой химии.

Ученые выяснили, что в расшифрованном ДНК человека число π определяет структуру макромолекулы. Это произвело фурор. Руководитель исследования, доктор Чарльз Кантор, отметил (слайд 10): «Это феноменально, число π встречается повсюду, и при этом является неизменной величиной».

Люди, далекие от математики, скорее всего не знают, но так сложилось, что число Пи имеет брата, который больше его в два раза. (слайд 11). Это число Тау(τ) , и, если Пи — это отношение длины окружности к диаметру, то Тау — это отношение этой длины к радиусу. "Тау", по мысли математиков-новаторов, должна прийти на смену "пи" и быть ровно вдвое больше привычной нам постоянной - 6,28.

И на сегодняшний день есть предложения некоторых математиков отказаться от числа Пи и заменить его на Тау, так как это во многом более удобно. По словам сторонников введения новой постоянной, при решении большинства математических задач "тау" имеет больше смысла, чем "пи", и может несколько упростить расчеты.

Однако с ними согласны далеко не все любители математики, а давняя традиция использования буквы "пи" дает основания полагать, что сбросить ее с математического пьедестала будет непросто.

И, как говорил Лев Давидович Ландау: «Новая теория начинает господствовать тогда, когда вымрут сторонники старой».

Возможности, которые дает математикам число π, безграничны. В перспективе это бесконечное число может содержать всю информацию, находящуюся во Вселенной. Изучение числа π продолжается учеными до сих пор.

В этой работе мы использовали следующую литературу (слайд 12):

Спасибо за внимание!

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

городского округа Перевозский Нижегородской области

«Ичалковская средняя школа»

Муниципальная научно-практическая конференция «Число π»

для учащихся 8 – 10-х классов общеобразовательных организаций

городского округа Перевозский Нижегородской области

Конкурсная работа

«Число π в современной математике»

Авторы: Мынова Маргарита, 10 класс

Ярославцев Георгий, 10 класс

Наставник: Чиркова А. Н.,

учитель математики,

первая квалификационная категория

С. Ичалки

2019 г.

Аннотация

Понятие числа служит исходным для многих основных математических теорий. Число позволяет выразить результаты счета или измерения. Учащиеся постепенно знакомятся со всеми числами, в том числе с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными и иррациональными. Среди этого большого количества есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Это число π.

Цель данной работы: выяснить, какие существуют современные методы вычисления числа π, в каких науках применяется это число и как используется в современной математике.

Учащимися было изучено много литературы. Они узнали, как появилось число π, проследили историю развития знаний о нём. В процессе изучения ребята встретились с интересными фактами, связанными с числом π, и особое внимание обратили на применении этого числа в современной математике.

Оглавление:

Введение

Основная часть:

Число π в эпоху цифровой техники

Применение числа π

Споры математиков

Заключение

Список литературы и источников информации

Введение

Обычно наши знания о числе π заканчиваются на этом: 3,14159. Не все даже помнят, что это число показывает отношение длины окружности к её диаметру.π — иррациональное число, то есть его можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, что делает его одним из самых загадочных чисел, известных человеку.

В современной математике число π – это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит оно и в формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа “π” и числа “е”. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.

Число π в эпоху цифровой техники

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр $\pi$ , которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. (Десяти знаков числа $\pi$ $(\pi = 3{,}141592653\ldots)$ вполне достаточно для всех практических целей).

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для $\pi$ , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

$\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ .

Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

$\frac{1}{\pi} = \frac{1}{426880 \sqrt{10005}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}$ ,

Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении $\pi$ в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих $\pi$ на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В 1975 году Ричард Брент и Юджин Саламин независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина, который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков. Алгоритм состоит из установки начальных значений

$a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1$

и итераций:

$a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$

$t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n$ ,

пока a_n и b_n не станут достаточно близки. Тогда оценка $\pi$ даётся формулой

$\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.$

Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном и Питером Боруэйном. При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления $\pi$ вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, открытая в 1997 году Саймоном Плаффом и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликованаhttp://www.wiki-wiki.ru/wp/index.php/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) - cite_note-bbpf-12. Эта формула,

$\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),$

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа $\pi$ без вычисления предыдущихhttp://www.wiki-wiki.ru/wp/index.php/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) - cite_note-bbpf-12. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа $\pi$ , который оказался нулёмhttp://www.wiki-wiki.ru/wp/index.php/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) - cite_note-13.

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул. Пусть q = e^π, тогда

$\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)$

$\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)$

и другие вида

$\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)$ ,

где q = e^π, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

$p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)$

для рационального p, у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядовhttp://www.wiki-wiki.ru/wp/index.php/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) - cite_note-15.

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов.

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.

Голландский математик Брауэр в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении $\pi$ последовательности — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с 17 387 594 880-го знака после запятойhttp://www.wiki-wiki.ru/wp/index.php/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) - cite_note-.D0.A5.D0.BE.D0.B0.D0.BA.D0.B8.D0.BD_.D0.9D.D0.B0.D0.B2.D0.B0.D1.80.D1.80.D0.BE.E2.80.942014.E2.80.94.E2.80.9411.-21.

Применение числа π

Величина π сейчас используется в самых различных областях современной науки. Это не только отношение длины окружности к ее диаметру, неевклидова геометрия не обходится без π. Эйлер вывел формулу, описывающую связь между π и e:

e^i*π + 1 = 0.

С применением числа π можно вычислить любую другую константу, например, постоянную тонкой структуры, постоянную золотой пропорции.

Число π применяется в различных науках:

· Алгебра: π - иррациональное и трансцендентное число.

· Тригонометрия: радианная мера измерения углов.

· Планиметрия: длина окружности и её дуги; площадь круга и его частей.

· Стереометрия: объем шара и частей; объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы.

· Физика: теория относительности; квантовая механика; ядерная физика.

· Теория вероятностей: формула Стирлинга для вычисления факториала.

Кроме этого, число π можно встретить в астрономии, космонавтике, архитектуре, навигации, электронике.

Число Пи одна из фундаментальных математических констант. Оно встречается во многих уравнениях различных направлений науки:

· в уравнении гравитационного поля Эйнштейна

· в уравнении нормального распределения Гаусса

· в уравнениях, связанных с образованием радуги;

· в уравнениях описывающих распространение зыби при падении дождевой капли в воду;

· в уравнении движения маятника;

· во многих геометрических задачах;

· в задачах связанных с волнами;

· в задачах навигации и т.д.

Ученые выяснили, что в расшифрованном ДНК человека число π определяет структуру макромолекулы. Это произвело фурор. Руководитель исследования, доктор Чарльз Кантор, отметил: «Это феноменально, число π встречается повсюду, и при этом является неизменной величиной».

Споры математиков

Люди, далекие от математики, скорее всего не знают, но так сложилось, что число Пи имеет брата, который больше его в два раза. Это число Тау(τ) , и, если Пи — это отношение длины окружности к диаметру, то Тау — это отношение этой длины к радиусу. "Тау", по мысли математиков-новаторов, должна прийти на смену "пи" и быть ровно вдвое больше привычной нам постоянной - 6,28.

Заключение

С давних времен загадка этого числа не давала покоя многим ученым, особенно математикам - именно в этой области многие разделы науки не могут обойтись без законов этого таинственного числа.

Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.

В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.

Список литературы:

1. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Перевод с немецкого и дополнения И.Б. Погребысского - М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 2012г.

2. Глейзер. Г.И. История математики в средней школе / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 2011г.

3. Математика в школе, журнал, 2010 г.

4. Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей / О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Соркин, Н.Г. Федин. – М.: Просвещение, 2013г.

Интернет ресурсы:

http:// crow.academy.ru/ materials_/pi/history.htm

http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/

http://ru.wikipedia.org/

http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-14621/

http://dic.academic.ru

http://www.bestreferat.ru/referat

http://statistic.su/blog/pi/2010-09-24-49

1/12

Доклад и презентация к нему по математике на тему "Число пи в современной математике"

Доклад и презентация к нему по математике на тему "Число пи в современной математике"

16.03.2019

3833

Файл будет скачан в формате:

Автор материала

Чиркова Альбина Николаевна

Учитель математики

На сайте: 11 лет и 3 месяца
Всего просмотров: 44055
Подписчики: 10
Всего материалов: 16

44055
просмотров
16
материалов
10
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Чиркова Альбина Николаевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.