Доклад на тему: "Удивительное рядом. Золотое сечение"

Конкурс исследовательских и проектных работ учащихся

«Интеллектуальное будущее Мордовии»

Работа на тему:

«Золотое сечение - золотая пропорция»

Автор: Тиньгаева Ксения

ученица10 класса

Научный руководитель:

учитель математики

Долгова Ольга Николаевна

с. Большое Игнатово

2013 г

Оглавление

Оглавление. 2

Сведения об авторе. 3

Цели и задачи. 4

Вступление. 5

Числа Фибоначчи. 7

Золотое сечение в пропорциях человеческого тела. 8

Золотое сечение в природе. 10

Золотое сечение в растительном мире. 10

Золотое сечение в животном мире. 11

Золотое сечение в строении кристаллов. 12

Золотое сечение в архитектуре. 12

Исследования (практическая часть) 15

Исследование №1 : «Золотое сечение в окружающем меня мире». 15

Исследование №2:«Золотое сечение в пропорциях тела человека». 16

Заключение. 18

Список литературы: 19

 

Сведения об авторе

Название школы:

МБОУ «Большеигнатовская средняя

Общеобразовательная школа»

Директор школы:

Вечканов Вячеслав Иванович

Почтовый адрес школы:

431670, Республика Мордовия,

Большеигнатовский район, село Большое Игнатово,

Ул. Советская д.24

Телефон школы:

2-12-30

Автор работы:

                                          Тиньгаева Ксения

Почтовый адрес автора:

431670, Республика Мордовия,

Большеигнатовский район, село Большое Игнатово

Телефон автора:2-45-04

Руководитель работы:

Долгова Ольга Николаевна

Цели и задачи

Цель работы: доказать, что «золотое сечение - золотая пропорция»   – верх совершенства и гармонии в природе.

Задачи:

1.                      Изучить понятие «золотое сечение- золотая пропорция»;

2.                      Определить и рассмотреть применение «золотого сечения » в архитектуре, искусстве, живой и неживой природе, в современном мире

           3.Исследовать и изучить присутствие золотого сечения в окружающей меня жизни.

Методы исследования:

1.                      Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2.                      Социологический опрос.

3.                      Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Объект исследования: «золотое сечение- золотая пропорция»

Предмет исследования: им стал поиск закономерностей «золо­той пропорции» в различных областях неживой и живой природы и в моем окружении.

Актуальность: Человек различает окружающие его предметы по форме. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и настоящее время  помнят и используют это сечение.

Вступление

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами.

Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка
в крайнем и среднем отношении».

Иоганн Кеплер

Впервые с понятием «золотое сечение» мы встречаемся в курсе математики 6 класса. Меня заинтересовало это понятие, и я решила его изучить. Перед тем как начать свою работу по теме « Золотое сечение»,  я провела опрос среди учеников  7 – 10 классов и учителей нашей школы. Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы,  что такое « золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на рис.1.

Рис.1.Рузультаты социологического опроса.

Как видно из диаграммы большинство учителей и учеников не знаю что такое «золотое сечение» или «золотая пропорция» .Ученики не знают потому что это понятие не углубленно изучается в школе, а учителя, потому что некоторые из них не работают в сфере математики. Поэтому я и решила вам рассказать про это.

Слово «пропорция» в переводе с латинского означает «соразмерность», «определенное отношение частей между собой». Из «Начал» Евклида к нам пришла гео­метрическая задача, называемая задачей «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Существует бесконечное множество разбиения отрезка на две части, и лишь единственный способ разбиения такой, что отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к его меньшей части. Оно и называется «золотое сечение» или другое его название «золотая пропорция»

Пусть, САВ, и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка

   АВ: АС =АС: СВ                            

Обозначим длину всего отрезка через 1, а длину его большей части через х, тогда длина меньшей части будет (1– х). Составим пропорцию согласно приведенному определению:

                                                =

В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних, поэтому пропорцию  перепишем в виде:

                                              х²  = 1(1 – х).

Получаем квадратное уравнение:

                                               х² +х-1 = 0

Корни уравнения являются иррациональными числами. Длина  отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней следует  выбрать положительный:

                                      Х=  или Х =

Число  обозначается буквой  в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого оно встречается многократно. Число  приблизительно равно  0,61803398…

оно возникает при делении большего числа на меньшее, а число 1.618… ,при делении  в зеркальном порядке, – меньшего на большее.

Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

К.Пто­лемей,  александрийский астро­ном, математик и географ рассчитал, что рост человека правильного телосложения естественно делится в «золотом» отношении. Древние скульпторы использовали этот факт как критерий гармонии и канон красоты.

 «Золотое сечение» наблюдается в шрифтах и бытовых предметах. Большинство греческих памятников архитектуры, непревзойденная «Джоконда», картины Ра­фаэля, Шишкина, Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского, стихи Вознесенского - не полный перечень выдающихся произведений искусства, насыщенных чудесной гармонией  «золотого сечения».

                                    

Изучая различную научную литературу, я пришла к выводу, что «золотое сечение» перестало быть сокровищем одной лишь геометрии.

Числа Фибоначчи

Математик Фибоначчи, ломал голову над решением одной математической задачи. За 250 лет до появления на свет своего тезки, да Винчи, он пытался создать формулу, описывающую последовательность размножения кроликов. Если мы имеем самку и добавляем к ней самца, то в какой последовательности будет развиваться их потомство? Не знаю, что открыло ему истину, но решение задачи он нашел. Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого является суммой двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 и т. д. до бесконечности. Он тесно связан с «золотым сечением».В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел

И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), можно заметить, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу j: чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение. Если взять калькулятор и разделить каждое из них на предыдущее, то получиться: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666666;  8:5=1,6; 13:8=1,625; 21:13=1,615384;…

 

Золотое сечение в пропорциях человеческого тела

Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях  человеческого тела. В создании своих скульптур они использовали этот принцип. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно  величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

Золотую пропорцию можно увидеть в различных частях нашего тела.

               

            

Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

Высота лица / ширина лица

Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

Ширина рта / ширина носа

Ширина носа / расстояние между ноздрями

Расстояние между зрачками / расстояние между бровями. Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

Золотое сечение в природе

   Все то, что приобретало какую-то форму, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах — рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Спираль:

Самым интересным случаем являются спиральные структуры числа фи. Природа избегает прямых линий. Раковина улитки, подсолнухи, рога животных, шишки – все они являют нам примеры гармонии и красоты.

Каждый следующий шаг спирали образуется числом ряда Фибоначчи. Спираль стала символом эволюции. Все развитие происходит по спирали. Мы и живем в спирали: галактики закручены точно так же, как раковина маленькой улитки.

Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Золотое сечение в растительном мире

 Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д.

 Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев семян подсолнечника, шишек сосны и т.д проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». Только после сопоставления разных граней накопленных за века знаний становится понятен смысл библейской фразы: «Каким бы путем ты не пошел ко мне, ты все равно придешь ко мне».

Рассмотрим побег цикория.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.  

 

Золотое сечение в животном мире

Как в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции.

Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8.

Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Золотое сечение в строении кристаллов

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору.

Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

Золотое сечение в архитектуре

Архитектурные памятники Древней Руси поражают нас своей соразмерностью и пропорциональностью. Но древние мастера не знали дробей и не умели извлекать квадратные корни. В древнерусской числовой системе архитектурного пропорционирования в качестве единиц измерения использовался некоторый набор инструментов под названием «сажени», в основе которых также прослеживается «золотое сечение».

 Правильная четырехугольная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

На основе этих знаний и умений Древнерусские зодчие возводили замечательные, привлекающие людей по сей день пирамиды.

 Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотое сечение, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой. Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.

Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

 Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях. Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

  Высота  пирамиды (H)  оценивается  исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо.              Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м² нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.

Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г.Вайз: он равен . Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному из золотой пропорции = 1,27202 и является иррациональной величиной. Поэтому, скорее всего, в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM/MN, равное .          

Итак, примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды H  к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения ( или должна была иметь по проекту).

Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя.

А теперь посмотрим, какие интересные соотношения следуют из этих геометрических размеров. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM=1,272=; ON/MN=Ф.

Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех треугольников и квадрата основания. Основание треугольника BOC равно 500 локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитать длину боковых ребер OB и OC . Они равны 475,5 локтя.

Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.

Еще Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, писал, что площадь квадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой из его боковых граней. По нашим расчетам, квадрат высоты равен 318² = 101127 кв. локтей, что почти точно отвечает площади боковой грани (101125 кв. локтей).

Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некоем «египетском p», равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа «пи» (3,14159…).

Интересно сравнить два основных отношения, установленных нами при изучении геометрических пропорций пирамиды: 2H/L= и 2L/H=p. Отсюда получаем простую и красивую формулу, связывающую число «пи» и золотую пропорцию: 4/p=.

Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины – p и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях. 

 

 

 В качестве примера «золотого сечения» в России можно полюбоваться фасадом знаменитого Большого театра в Москве.

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. В Архитектуре так же есть сооружения в форме  спирали.

Исследования (практическая часть)

Исследование №1 : «Золотое сечение в окружающем меня мире»

Для того, чтобы провести это исследование, я обратилась к окружающим меня комнатным растениям. Ведь если верить книжным утверждениям, то рассматривая расположение трёх идущих в ряд пар листьев, на общем стебле растения, можно заметить, что между  третьей и первой парой вторая находится в месте «Золотого сечения».

Я решила проверить это. Для этого я взяла несколько растений,

провела несколько измерений и результаты занесла в таблицу1. Результаты приведены в (см).

Таблица1.Результаты измерений.

№	Наименование растения	АВ	АС	ВС	АС/ВС	ВС/АВ
1	Толстянка- Денежное дерево	4.5	1	3.5	0.286	0.777
2	Рео	10	6	4	1.5	0.4
3	Кротон	8	4.6	3.4	1.352	0.425
4	Малочай	4.5	2	2.5	0.8	0.555
5	Герань	4	1.5	2.5	0.6	0.625
6	Традесканция	6	2.5	3.5	0.714	0.583
7	Вьюнок	19	8	11	0.727	0.578
8	Вьющаяся традесканция	8.5	3	5.5	0.545	0.647
9	Китайская роза	6	2.5	3.5	0.714	0.583
10	Дефинбахия	14	6	8	0.750	0.571

Проведя это исследование, я убедилась, что не все, но большинство из отношений стремятся к 0,618. Более близким к этому значению оказался цветок герань.

С точки зрения математики этот цветок близок к совершенству. С уверенностью можно сказать, что отношение листьев на стебле соответствует «Золотому сечению».

Также я провела исследование вокруг окружающих нас в повседневной жизни предметов.

 Например, отношение сторон спичечного коробка  А/В. А=50мм; В=30мм,тогда  50/30=1,(6)-эта величина также стремиться к «золотому» значению.

 Отношение сторон  книги: 21/15=1.4.Это значение тоже стремиться к совершенству.

Соотношение сторон футляра компактного диска:12.5/14=0.892. также стремиться к этому значению.

Исследование №2:«Золотое сечение в пропорциях тела человека»

Для того чтобы проверить , выполняется ли золотое сечение в пропорциях тела человека  я провела исследование среди учащихся 7– 10 классов.

У каждого участника были сняты мерки двух видов: мерка от верхней точки головы до талии, мерка от талии до пола.  Их отношение сравнивалось с числом отношения золотого сечения. Результаты исследования я занесла в таблицу 2.

Таблица 2.Результаты измерений.

Ученик(ца)		От головы до талии (см)  (в)	От талии до пола, (см)   (а)		а/в
1.Батаршев Д		71	106		1.492
2.Макшаева И		58	107		1.844
3.Лунькова А		64	96		1.5
4.Темаева Л		60	107		1.783
5.Тутуркин А		71	107		1.507
6.Сятойкина А		77	86		1.116
7.Иванов К		68	107		1.573
8.Клименко К	67		93	1.388
9.Кечемайкиа А	60		95	1.583
10.Васинькин А	68		107	1.573
11.Французов А	72		100	1.388
12.Святкин М	72		98	1.352

Из 12-ти человек, участвовавших в исследовании, не было выявлено отклонений от золотого сечения. У всех ребят пропорции тела близки к золотому сечению. На мой  взгляд,  это неплохо.

Если, например, взять обычную детскую куклу. Измерив её, я также убедилась в том, что она совершенна.

Длина самой куклы: 27см

Длина от макушки до талии:11.5см

Длина от талии до пяток 15.5

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Тогда при длине ног до талии в 15,5 см, кукла должна быть:  15,5 см * 1,618 = 25,08 см, моя - 27 см. Так что, это ещё раз доказывает, что она стремиться к «Золотому сечению»

Сейчас если спросить у маленькой девочки, «Какую куклу ты хочешь?». Ответ последует незамедлительно «Барби!» или подобную ей куклу (которые сейчас стали особо популярными). С первого взгляды ничего негативного и угрожающего в такой кукле нет. Она красивая, у неё красивые волосы и наряды, но многие считают её вредной для детишек. Почему?   кукла Барби  не соответствует реальности  во внешности.

Есть три изъяна в её внешности:

•          Непропорциональные ноги.

•          Непропорциональные руки (слишком длинные, как и ноги)

•          Обсолютно непропорциональная фигура (широкие плечи, большой бюст, очень тонкая талия и плоские бёдра)

•          Фигуры являются гораздо более худыми по сравнению с традиционными

Думаю, Барби способствуют развитию у девочек чувства неуверенности относительно собственного образа. Играя с ними, девочки закладывают себе неправильные представления о фигуре и,  вырастая, они начинают изводить себя диетами, чтобы стать стройнее, добиться мнимого идеала.

Заключение

«Золотое сечение- золотая пропорция»давно перестало быть сокровищем только геометрии. Хотя это понятие нам не заметно, но всё-таки оно существует. Оно выходит далеко за рамки геометрии. Применяется в архитектуре, живописи, в живой и неживой природе, во всём что нас окружает. Значение «золотого сечения» в современной науке очень велико. Его пытались изучить многие известные ученные и гении, но никому полностью этого сделать не удалось. В своей работе я хотела показать всю красоту и широту такого понятия как «Золотое Сечение». Проведённые мною исследования доказали то, что не всё, но многое подчиняется правилу золотого сечения

Мне понравилось раскрывать эту тему. Я хочу и дальше продолжить изучение «Золотого Сечения»

Список литературы:

1 А. Азевич .Двадцать уроков гармонии – М., “Школа-Пресс”, 1998

2 Н. Васютинский .Золотая пропорция – М.,”Молодая гвардия”, 1990

3 Д.  Пидоу .Геометрия и искусство – М., “Мир”, 1989

4 А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю. Котова .Я познаю мир. Математика – М.: АСТ: Астрель: Хранитель, 2007

5 Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. - М.: Аванта+, 1998.

6. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: «Педагогика», 1989.

7. www.goldenmuseum.com