«Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности» конспект урока

Дата: 13.11.2023

Класс:9

Предмет:алгебра. Модуль: вероятность и статистика

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

 
Тема урока: «Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности»

Цель  урока: ввести определение геометрической вероятности

Задачи: рассмотреть определение геометрической вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости, при выборе точки из отрезка, из дуги окружности, при выборе точки из числового отрезка; добиться качественного понимания этого определения; научиться применять его при решении задач.

Тип урока: лекционно-семинарский

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная

Ход урока:

1.       Организационный момент формулирование темы урока

2.       Постановка задачи (этап – “интрига”)

Учитель просит учеников дать классическое определение вероятности и предлагает задачу.

Задача о монете.

На тетрадный лист в линейку наудачу бросается рублевая монета. Расстояние между линейками равно 8 мм, диаметр монеты 20 мм. Какова вероятность того, что монета пересечет

а) две линии б) три линии?

                 Ученики должны рассмотреть все возможные элементарные события в этом опыте и убедиться, что монета пересекает 2 или 3 линии. Важно подвести учеников к мысли, что исходы опыта можно связать с расстоянием от центра монеты до ближайшей линейки.        

Результатом работы с этой моделью должно быть, что количество возможных исходов (элементарных событий) в этом опыте бесконечно много! Это числа из отрезка [0; 4]. Благоприятствующих элементарных событий, соответствующих а) и б) тоже бесконечно много…

КАК ПОСЧИТАТЬ ВЕРОЯТНОСТЬ?

3.       Геометрическое определение вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости

Ученикам предлагается рассмотреть следующую задачу (фронтальная работа с обсуждением,  причем учителю следует вводить определение после  попыток учеников самостоятельно ответить на вопрос задачи).

 Точку наудачу бросают в область F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадет в некоторую область G, которая содержится в фигуре F?

                Если предположить, что попадание в любую точку области F равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в область G будет равна отношению площадей области G и области F, то есть

                       , где

A={точка попадет в область G}

Такое определение вероятности называется геометрическим.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому P (A)≤1.

                Имеет смысл после введения определения поработать над качественным пониманием его, предложив следующий пример:

                Выберем на географической карте мира случайную точку (зажмурили глаза и показали указкой).

- Какова вероятность что эта точка окажется в России? (Для  ответа на вопрос нужно знать какую часть всей карты занимает Россия)

- Какова вероятность попасть в Гринвичский меридиан (Как ни странно, придется положить ее равной 0, так как площадь меридиана равна 0 – попасть указкой точно в меридиан невозможно)

4. Решение задач

Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем

                Решение этой задачи провести при фронтальном обсуждении его. У доски может работать ученик или учитель (зависит от подготовленности аудитории)

Решение

S_F=1  (площадь исходного квадрата)

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если                               она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G.

S_G = S_F – S_ABCD = 1 -  =

Если A = {расстояние от точки до ближайшей стороны               квадрата не больше, чем }, то

P(A) =  : 1 =

Ответ:

Ученикам предлагается самостоятельно по вариантам решить следующие задачи:

I Вариант

В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

II Вариант

В круге случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот круг квадрату.

После решения эти задачи необходимо проверить и обсудить решения (слайд презентации, или подготовленная запись решения на откидной доске)

                                                                               Решения

I Вариант

Пусть сторона квадрата равна a, тогда r =  a

S_кв = a² ;

S_кр = πr² =  πa²

S_A – площадь заштрихованной области квадрата

S_A = S_кв - S_кр = a² -  πa² = a²

P (A)  =  =                                       Ответ:

II Вариант

Пусть радиус круга равен a.

Тогда S_кр = πa²

AB = a 

S_кв = 2a²     A = {точка принадлежит квадрату}, тогда

P (A) =  =     

                                                               Ответ:               

Если темп урока позволяет, имеет смысл задать дополнительные вопросы по этим задачам (вероятности попадания в другие, указанные учителем, области)

5.       Геометрическое определение вероятности при выборе точки из отрезка, дуги окружности; при выборе точки из числового отрезка

5.1 Случайный выбор точки X из отрезка MN  можно понимать так, будто точку X случайным образом «бросают» на отрезок MN. Элементарным событием в этом опыте может стать выбор любой точки отрезка. Рассмотрим пример:

 

Пусть отрезок CD содержится в отрезке MN. Нас интересует событие A, состоящее в том, что выбранная точка X принадлежит отрезку CD.

Аналогично определению геометрической вероятности данному выше имеем

                                                                                      P (A) =

Учителю стоит обратить внимание учеников на аналогию рассматриваемого примера с приведенным выше. Отличие состоит только в мерности объектов. И опять следует подчеркнуть, что P (A) – число неотрицательное и не превосходящее 1, как и полагается для вероятности случайного события. Далее предлагается пример для фронтальной работы с ним. Пример предлагается ученикам как задача. Цель работы с ним – качественное понимание данного определения. Не стоит давать рисунок вместе с текстом, так как в нем содержится подсказка.

Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что точка X ближе к N чем к M.

Решение

Пусть O – середина отрезка MN. Обозначим указанное событие через A. Это событие наступит только тогда, когда точка X лежит внутри отрезка ON. То есть P (A) =  =

5.2   Ничего не меняется, если точка X выбирается не из отрезка, а из дуги некоторой кривой линии. Например, можно случайным образом выбирать точку X на окружности.

Пример: в окружность вписан квадрат ABCD. На окружности случайным образом выбирается точка M. Найдите вероятность того, что эта точка лежит на:

а) меньшей дуге AB

б) большей дуге AB

        Учитель предлагает ученикам самостоятельно решить эту задачу. Проверка с помощью слайда или рисунка, заранее подготовленного на откидной доске.

                                       Решение

A – указанное событие

а) P (A) =

б) P (A) =

5.3 Геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число x, удовлетворяющее условию

m ≤ x ≤ n. Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка  [m; n] на числовой прямой выбирается точка с координатой x.

        Рассмотрим событие, состоящее в том, что точка с координатой x выбирается из отрезка

[a; b], содержащегося в отрезке [m; n].

Это событие обозначим (a ≤ x ≤ b). Его вероятность равна отношению длин отрезков  [a; b] и [m; n].

                                                                              P (a ≤ x ≤ b) =

            Пример:

Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [0; 1], принадлежит отрезку []

Решение:      P ( ≤ x ≤ ) =  =

Учитель подводит итог на этом этапе урока, задавая ученикам следующие вопросы:

- с какой вероятностью познакомились на этом уроке?

- для каких случаев была рассмотрена эта вероятность?

                Учитель еще раз обращает внимание учеников на аналогичность определения геометрической вероятности во всех случаях и возвращает к началу урока, к задаче о монете, предлагая ученикам теперь ее решить.

6.       Решение задачи о монете

Вспомним, что положение монеты договорились оценивать по расстоянию от центра монеты до ближайшей линейке. Если обозначить это расстояние x, то множество всех исходов соответствует  0 ≤ x  4. Монета бросается на лист наудачу, это значит что все значения x из отрезка [0; 4] будут равновозможными.

Событие A = {монета пересекла две линии} соответствует  2 < x ≤ 4;

Событие B = {монета пересекла три линии} соответствует  0 ≤ x ≤ 2.

По формуле геометрической вероятности получим

                                                                               P (A) =  =

                                                                               P (B) =  = .

Ответ:

Вероятности событий A и B получились одинаковыми. Стоит ученикам задать вопросы:

- можно ли это было предполагать с самого начала (нет)

- от чего эти результаты зависели (расстояние между линейками, размерами монеты).

Если темп работы аудитории позволяет, то хорошо бы успеть рассмотреть последним заданием урока задачу о встрече, как классический пример задачи, решение которой наглядно демонстрирует необходимость владения геометрическим определением вероятности.

7.       Задача о встрече

Илья и Женя договорились встретиться у памятника Пушкину с 17.00 до 18.00. Пришедший первым ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся, если каждый из них с одинаковой вероятностью может прийти в любой момент времени в течении заданного часа?

Решение

Обозначим время прихода Ильи через X, а Жени - через Y (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 17 часов). Тогдо точка с координатами (x, y) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Oxy, изображенном на рисунке:

Каждая точка этого квадрата – это один из возможных исходов нашего эксперимента. Эксперимент завершается встречей, если выполняется условие |x-y|<30. Множество таких точек закрашено на следующем рисунке:

Площадь закрашенной части можно найти, вычитая из площади квадрата площади двух равных треугольников:

S=60² – 2 ▪   ▪ 30  ▪ 30 = 3600 – 900 = 2700

Искомую вероятность встречи находим как отношение «благоприятной» площади ко всей площади квадрата:

P==

Ответ:

8.       Подведение итогов урока