Исследование на тему "ПЛОЩАДИ ФИГУР НА ЛИСТЕ В КЛЕТКУ"

XX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

ПЛОЩАДИ ФИГУР НА ЛИСТЕ В КЛЕТКУ

Российская Федерация

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра

город Сургут

                                                                                     Автор:                                                               

                                                                                     Могутова Софья Николаевна,               

                                                                                     муниципальное бюджетное                            

                                                                                     общеобразовательное учреждение                

                                                                                     средняя общеобразовательная школа           

                                                                                     № 46 с углубленным изучением                     

                                                                                     отдельных предметов, 9 класс                      

                                                                                     Научный руководитель:                                

                                                                                     Кузнецова Елена Борисовна,                        

                                                                                     учитель математики                                      

                                                                                     высшей квалификационной категории

2018

АННОТАЦИЯ

     В работе на тему «Площади фигур на листе в клетку» доказана теорема и экспериментально исследована формула Георга Пика, построены двенадцать геометрических фигур на клетчатой бумаге с помощью приложения «Живая математика», решены задачи открытого банка заданий ОГЭ и ЕГЭ Федерального института педагогических измерений и сборников по подготовке к ОГЭ.

     Упрощен процесс нахождения площадей фигур с вершинами в узлах клеток, что может помочь многим ученикам лучше справляться с задачами на нахождение площадей. Материалы проекта могут быть использованы при подготовке к итоговой аттестации.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.      Введение....................................................................................................................................... 3

2.      Основная часть............................................................................................................................. 4

2.1.  Основные термины, понятия, история вопроса................................................................ 4

2.2.  Теорема Пика....................................................................................................................... 5

2.3.  Экспериментальное доказательство формулы Пика........................................................ 6

2.4.  Решение задач на клетчатой бумаге................................................................................... 9

2.5.  Решение задач ОГЭ и ЕГЭ на клетчатой бумаге............................................................. 11

3.      Заключение...................................................................................................................................14

4.      Список литературы......................................................................................................................15

1.     ВВЕДЕНИЕ

     Все понимают смысл фраз «площадь комнаты», «площадь садового участка», «площадь геометрической фигуры»; знают, в каких единицах измеряются площади. При этом у многих возникает проблема, когда речь идет о вычислении площади сложных геометрических фигур. Эта проблема может быть решена с помощью формулы Пика. Также использование этой формулы поможет ученикам при решении экзаменационных задач.

     Объект исследования: Площади геометрических фигур.

     Предмет исследования: Площади фигур на листе в клетку.

     Цель: Изучение и обоснование рациональности использования формулы Пика для вычисления площади фигур на листе в клетку.

     Задачи:

1. Доказать теорему Георга Пика с выводом формулы;

2.Научиться строить геометрические фигуры на клетчатой бумаге с помощью приложения «Живая математика»;

3. Попрактиковаться в нахождении площадей фигур на листе в клетку по материалам ГИА.

     Гипотеза исследования:

     Формулу Пика можно применять для вычисления площадей многоугольников с вершинами в узлах клеток, что позволит решать задачи на клетчатой бумаге без применения формул площадей фигур.

     Методы исследования:

1.Эмпирические (изучение литературы по теме исследования);

2.Обобщения и систематизации математического материала;

3.Аналитические, поисковые.

     Теоретическая значимость работы: подробно исследована формула Георга Пика. Упрощен процесс нахождения площадей фигур с вершинами в узлах клеток, что может помочь многим ученикам лучше справляться с задачами на нахождение площадей.

     Практическая значимость данной исследовательской работы заключается в том, что ее результаты могут быть использованы при подготовке к итоговой аттестации.

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

     2.1.  Основные термины и понятия, история вопроса

     «Формула Пика» - это классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами (целочисленные точки – это точки, обе координаты которых - целые числа) равна В+-1. Формула была открыта Георгом Пиком в 1899 году [2].

     Согласно большой политехнической энциклопедии: «Формула – символическая запись, состоящая из цифр, букв и специальных знаков, расположенных в определенном порядке, и являющаяся точным определением какого – либо закона, отношения, процесса, явления и тому подобное, которое приложимо в определенных условиях ко всем частным случаям» [5].

     Интересно, что на протяжении многих лет площадь считалась первичным понятием, которое не требует определения.

     Свойства площади:

1.      Положительность - площадь не может быть отрицательной;

2.      Нормировка – Квадрат со стороной единица имеет площадь 1;

3.      Конгруэнтность – конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;

4.      Аддивность – площадь объединения фигур без внутренних точек равна сумме площадей.

     Говорят, потребность в вычислении площадей возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме.  В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольника, прямоугольного треугольника и трапеции, но площадь произвольного четырехугольника вычислялась приблизительно таким образом: произведение полусумм пар противоположных сторон.

     Лишь впоследствии было развито учение о площадях и получены формулы для вычисления площадей различных геометрических фигур. И сегодня умение правильно вычислять площади фигур необходимо не только школьникам при сдаче экзаменов, но и людям различных профессий (архитекторам, строителям, дизайнерам и другим).

     Простой многоугольник – это многоугольник, границей которого является простая замкнутая несамопересекающаяся ломаная, и к каждой вершине примыкает ровно две стороны [1, с.46].

     Рассмотрим на плоскости систему прямых, заданных уравнениями x = m и y = n, где m и n— целые числа. Эти прямые образуют решётку квадратов или целочисленную решётку. Вершины этих квадратов, то есть точки с целочисленными координатами, называют узлами целочисленной решётки [4, с.469].  

     Примитивный треугольник – это треугольник с вершинами в узлах клеток, если кроме своих вершин он не имеет внутри себя и на своих сторонах других узлов [1, с.10].

     Фундаментальный параллелограмм – это параллелограмм с вершинами в узлах клеток, если кроме своих вершин он не имеет внутри себя и на своих сторонах других узлов [1, с.9]. Такой параллелограмм порождает решетку (клетчатую плоскость).

     2.2.  Теорема Пика.

     Теорема (Г. Пик) [1, с.45]: Для площади S любого простого многоугольника на решетке Ł имеет место формула: S = (V +  G - 1) Δ(Ł), где В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г - число узлов решетки, расположенных на его границе (включая и вершины), и Δ(Ł) – площадь фундаментального параллелограмма решетки.

     Доказательство. Пусть многоугольник имеет k вершин (по условию – узлов решетки). Тогда на его границе имеется (G – k) узлов решетки, не являющихся вершинами многоугольника. Через N обозначим число примитивных треугольников в каком-либо разбиении многоугольника (Рис.4). Покажем, что число N не зависит от способа разбиения (а они могут быть разными). Каждый из узлов решетки, находящихся внутри многоугольника, участвует в разбиении на примитивные треугольники и сумма углов всех примитивных треугольников при каждом таком узле равна 360◦ (Рис.1). Поэтому сумма всех углов всех примитивных треугольников c вершинами во внутренних узлах решетки равна 360◦V. Каждый из узлов решетки, который находится на границе многоугольника, но не является его вершиной, также участвует в разбиении и является вершиной некоторых примитивных треугольников (Рис.2). Сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна 180◦(G−k). Наконец, сами вершины многоугольника также являются вершинами некоторых примитивных треугольников разбиения (Рис.3). Сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна сумме внутренних углов многоугольника и, тем самым, равна 180◦(k−2). Таким образом, для суммы всех углов всех примитивных треугольников, которая, с одной стороны, равна 180◦N, получаем равенство 180◦N =360◦V +180◦(G−k) +180◦(k−2) и, следовательно, N=2V+G−2. В правой части этого равенства стоит число, которое не зависит от способа разбиения многоугольника на примитивные треугольники, что и утверждалось. Любой примитивный треугольник на решетке является половиной ее фундаментального параллелограмма и, тем самым, площадь любого примитивного

треугольника на решетке Ł равна ∆ (Ł)/2. Следовательно, S = (V +  G - 1)⋅ Δ(Ł), что и требовалось доказать.

    Рис.1                      Рис.2                           Рис.3                                Рис.4

     2.3. Экспериментальное доказательство формулы Пика

     Задача [6, с. 50]: На клетчатой бумаге нарисован многоугольник (Рис.5) с вершинами в узлах клеток. Найти его площадь, подсчитывая лишь количество узлов?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Пика, но сначала экспериментально докажем ее справедливость.

Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник с узлами внутри и на сторонах.

(Рис. 6)

 

Внутренних узлов – 3; на сторонах (граничных) узлов – 8 (вершины треугольника -  в узлах клеток). По формуле Пика: S = .

Проверим, верно ли получена площадь: данный треугольник – половина прямоугольника со сторонами 3⨯4. Площадь прямоугольника – 12, значит, площадь треугольника 6. Итак, формула Пика дала верный результат.

Повторим исследование для произвольного треугольника с узлами внутри (Рис.7):

Внутренних узлов – 5; граничных узлов – 3 (только вершины). По формуле Пика: S = . Проверим, верно ли получена площадь: достроим данный треугольник до прямоугольника со сторонами 3⨯4, площадь которого 12 (Рис. 8).

Чтобы найти площадь данного треугольника, надо из площади прямоугольника вычесть площади трех прямоугольных треугольников:

S = 12 –  -  -  = 12 – 3 – 1,5 – 2 = 5,5. Итак, формула Пика снова дала верный результат.

Проверим справедливость формулы Пика для произвольного четырехугольника с вершинами в узлах клеток (Рис. 9):

Найдем площадь данного четырехугольника, подсчитывая количество узлов (Рис 10).

Внутренних узлов – 7; граничных узлов – 5. По формуле Пика: S = . Проверим, верно ли получена площадь: достроим данный четырехугольник до квадрата со сторонами 4⨯4, площадь 16 (Рис. 11).

Чтобы найти площадь данного четырехугольника, надо из площади квадрата вычесть площади четырех прямоугольных треугольников:

S = 16 –  -  -  = 16 – 3 – 1,5 – 2 – 1 = 8,5. Итак, формула Пика и для произвольного четырехугольника дала верный результат.

Применим ее для нахождения площади многоугольника (Рис. 20, задача изложена выше):

Внутренних узлов – 20; граничных узлов – 11. По формуле Пика: S = . Проверим, верно ли получена площадь: достроим данный многоугольник до прямоугольника со сторонами 6⨯7, площадь 42 (Рис.13).

Чтобы найти площадь данного многоугольника, надо из площади прямоугольника вычесть площади семи прямоугольных треугольников и прямоугольника со сторонами 2⨯1:

S = 42 – 2 -   -  -  = 40 – 3 – 1,5 – 2 – 2 - 1 – 4 – 2 = 24,5.

     Таким образом, формула Пика дала верный расчет площади треугольника, четырехугольника и многоугольника с вершинами в узлах клеток, значит, ее можно применять для вычисления площадей любых многоугольников с вершинами в узлах клеток без применения формул площадей фигур (как говорит В.В.Вавилов, «берем палец и считаем»).

     2.3.  Решение задач на клетчатой бумаге.

     Рассмотрим задачи на вычисление площадей фигур, размещенных на клетчатом поле.

Задача 1: Найти площадь параллелограмма (Рис. 14).

1)      Сначала отметим все узлы, находящиеся на границе (оранжевым) и внутри фигуры(синим).

2)      Считаем узлы, таким образом:

·         G=20

·         V=23

3)      Подставляем в формулу, получается S = + 23 – 1 = 32см²

Ответ: 3см²

Задача 2: Найти площадь треугольника (Рис.15).

Решение:

1)      Снова посчитаем узлы:

·         G = 8

·         V = 6

2)      Подставляем в уравнение: S =  + 6 – 1 = 9 см²

Ответ: 9 см²

Задача 3: Найти площадь фигуры (Рис. 16).

Решение: 1) Ищем узлы:

·         G = 11

·         V = 5

3)      Подставляем в уравнение:  + 5 – 1 = 9,5 см²

Ответ: 9,5 см²

     2.4.  Решение задач ОГЭ и ЕГЭ на клетчатой бумаге.

№1 [7]. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (Рис. 17). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: S =  + 6 – 1 = 13 см²

Ответ: 13

№ 2 [7]. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (Рис. 18). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: S =  + 8 – 1 = 10 см²

Ответ: 10

№ 3[8, с.71]. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм      (Рис. 19). Найдите его площадь

             

Решение: S =  + 6 – 1 = 12

Ответ: 12

№ 4[3, с. 136]. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (Рис. 20). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: S =  + 52 – 1 = 53 см²

Ответ: 53

№ 5[7]. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник (Рис. 21). Найдите его площадь 

Решение: S =  + 1 – 1 = 3

Ответ: 3

№ 6[3, с. 150]. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция (Рис. 22). Найдите её площадь.

Решение: S =  + 9 – 1 = 13,5

Ответ: 13,5

3.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Данным исследованием экспериментально доказана   справедливость формулы Пика для различных фигур, изображенных на клетчатой бумаге: формула Пика дала верный расчет площади треугольника, четырехугольника и многоугольника с вершинами в узлах клеток. Значит, наше предположение о применении ее для вычисления площадей любых многоугольников на клетчатой бумаге без использования формул площадей фигур - доказано. Формула Пика - это перспективный вариант решения задач на нахождение площади.

     Итак, в работе доказана теорема и экспериментально исследована формула Георга Пика, построены двенадцать геометрических фигур на клетчатой бумаге с помощью приложения «Живая математика», решены задачи открытого банка заданий ОГЭ, ЕГЭ Федерального института педагогических измерений и сборников по подготовке к ОГЭ.  

     Упрощен процесс нахождения площадей фигур с вершинами в узлах клеток, что может помочь многим ученикам лучше справляться с задачами на нахождение площадей.

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вавилов, В.В., Устинов, А.В. Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006. – 72 с.;

2. Википедия: свободная энциклопедия. [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki (дата обращения 20.03.2017);

3. Лысенко, Ф.Ф. Математика. 9-й класс. Подготовка к ОГЭ-2016. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016 год: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. – 400 с.;

4.Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. - М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640 с.;

5.Рязанцев, В. Д. Большая политехническая энциклопедия. - Мир и Образование, 2011. – 707 с.;

6. Сгибнев, А.И. Исследовательские задачи для начинающих. – М.: МЦНМО, 2015. -  136 с.;

7. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ОГЭ, ЕГЭ [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj_guid (дата обращения 10.04.2017);

8. Ященко, И.В. ОГЭ-2017: Математика: 10 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к основному государственному экзамену. – М.: Издательство АСТ, 2017. – 78 с.