Исследовательская работа по теме "Теорема Пифагора"

Оглавление

Введение……………………..……………………………………..

1.Биография  Пифагора ……………………………..

2. Пифагор и пифагорейцы ………………………………. …

3. История пифагорейского союза ……………………….. ..

4.История теоремы Пифагора…………………………

5. Шесть доказательств теоремы Пифагора………………….

5.1. Древнекитайское доказательство ……………………

5.2. Доказательство Дж. Гардфилда ………………………

5.3 Доказательство старейшее ……………………..

5.4. Доказательство древних  индусов………………………

5.5. Доказательство Евклида ……………………………..

5.6. Простейшее доказательство………………………

6. Применение теоремы Пифагора …………………………

6.1. Современные теоретические задачи…………………………………………………..

6.2. Старинные задачи ……………………………………

6.3. Задача индийского математика XII века Бхаскары……………

6.4. Задача из китайской "Математики в девяти книгах"……………

Заключение …………………………………

Список литературы …………………………

ВВЕДЕНИЕ


В прошлом учебном году я познакомилась с интересной теоремой, известной, как оказалось с древнейших времён:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».


Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.

Я заинтересовалась, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.

Целью моего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор и какое отношение он имеет к этой теореме. Изучая историю теоремы, я решила выяснить:

• 
  Существуют ли другие доказательства этой теоремы?
• 
  Каково значение этой теоремы в жизни людей?
• 
  Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?

1. Биография Пифагора
Пифагор Самосский – великий греческий учёный.

Родился около 580 г. до н. э. на острове Самос
Первые познания он получил от своего отца, ювелира: в те времена эта профессия требовала многосторонней образованности. Есть указания, что его предки были сирийцами или финикинянами, и, может быть, еще в своей семье он приобщился к религиозной традиции Востока . Для тогдашней греческой молодежи посещение чужих стран было главным способом расширить запас знаний, и поэтому юность свою Пифагор провел в путешествиях.

Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны.

Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и другими), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора. Сейчас известно, что эта теорема была известна до него, но именно Пифагор первым доказал ее.

 Ему было лет тридцать, когда он приехал в Египет и там познакомился с древней мудростью жрецов: медициной, математикой и метеорологией.

Говорят, что при вторжении персов в Египет Пифагор был захвачен в плен и отвезен в Вавилон. Существует легенда, будто в то время он встретился с иранским пророком Заратустрой и даже побывал в Индии . Но, по мнению большинства историков, эти сведения (записанные, кстати сказать, много веков спустя после смерти мудреца) являются скорее романом, чем историей .

Вернувшись на Самос, Пифагор нашел родину в руках диктатора Поликрата, который упрочил свою власть, опираясь на союз с персами. Поначалу могло показаться, что остров расцвел после трудных лет политических переворотов. Поликрат, сам выходец из торговой среды, поощрял ремесла и искусства. Повсюду сооружались обширные постройки, поражавшие своим великолепием. При дворе правителя находили приют выдающиеся поэты и художники. Пифагор быстро понял цену этой золотой клетки. Опека властей оказалась тяжким бременем для свободы мысли. Пифагор проникся отвращением к самосскому режиму и задумал навсегда покинуть отечество. «Ненавидя душой тиранию, сам он изгнанье избрал»,— говорил Овидий, читавший одну из древних биографий философа.

О подробностях этого переселения (или изгнания ?) ничего не известно. Мы знаем лишь, что в 540 г. Пифагор сел на корабль, отплывавший в Италию, и через некоторое время прибыл в город Кротон. Сюда, в богатый торговый порт у берегов Тарентского залива, в так называемую «Великую Грецию», стремились многие путешественники, купцы и мастера. В этом царстве колонистов общая атмосфера была намного свободнее, чем на Самосе.

Но и здесь Пифагор не прекратил проповедовать свое учение, что не могло не беспокоить власть имущих. Заговор против свободолюбивого философа возглавил богатый и знатный житель Кротона Килон, властолюбивый и обладающий тяжелым нравом. Спасаясь от преследователей, Пифагор попытался скрыться в Метапоне, но и здесь его настигла рука


2. Пифагор и пифагорейцы


Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые

стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения. Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

• 
  учения о числах – арифметике,
• 
  учения о фигурах – геометрии,

учения о строении Вселенной – астрономии.

Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков.
Пифагорейцы учили, что Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет всё в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых выражениях. Кто до конца изучит гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца".
Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд.

Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением".

В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, поэтому практически невозможно определить, что сделал сам Пифагор, а что его ученики.
У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями: например, «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; огня ножом не вороши», т. е. не задевай гневных людей обидными словами.

Но главным пифагорейским символом -

символом здоровья и опознавательным знаком –

была пентаграмма или пифагорейская звезда –

звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями

правильного пятиугольника.


Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции.
Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.
О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

3.История Пифагорейского союза

Сведения о пифагорейском союзе дают нам также лишь поздние источники. Некоторые сомневаются в его существовании, считая его вымыслом поздних греков. Между тем из этой поздней информации вырисовывается величественная картина пифагорейского «         общего товарищества» (Ямвлих) как научно-философского и этико-политического сообщества единомышленников.

Правда, политическое лицо союза неясно. Сначала пифагорейцы в Кротоне и в других городах “Великой Эллады” как будто бы пришли к власти. Но им противостоял некий Килон и его сторонники. Когда пифагорейцы собрались в Кротоне в доме Милона на съезд, сторонники Килона окружили этот дом и сожгли их.

Историю Пифагорейского и пифагореизма союза можно разделить на шесть частей:

1) Организация Пифагорейского союза Пифагором – последняя треть, а может быть, и десятилетие VI в. до н.э. Это зарождение пифагорейской философии и науки в рамках пифагорейского «товарищества», которое имело свои корни в орфической общине. Это время установления политического господства пифагорейцев в “Великой Элладе”.

2) Политическое господство Пифагорейского союза – первая половина V в. до н.э.

3) Разгром союза в середине V в. до н.э.

4) Пифагорейская диаспора (рассеяние), Лизис и Филолай в Фивах. Это время философской вершины пифагореизма в учении Филолая. Здесь же возвращение Филолая в “Великую Грецию” – вторая половина V в. до н.э.

5) Архит Тарентский и его группа – преврашение пифагореизма в науку, утрата им не только мифологических пережитков, но и философских оснований – первая половина IV в. до н.э.

6) Пифагорейцы во Флиунте – последние из пифагорейцев – середина IV в. до н.э.

4. История теоремы Пифагора

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду.
Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы.
Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого.
Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).
Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В заключение приведу различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с других языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В Geometry Culmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

5. Шесть способов доказательства теоремы Пифагора

5.1. Древнекитайское доказательство

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе






a² + 2ab +b² = c² + 2ab


a² +b² = c²


5.2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

S =

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S =

Приравнивая данные выражения, получаем:

или с² = a² + b²


5.3. Старейшее доказательство


Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.





.
5.4. Доказательство древних индусов
Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с² = а² + b².
5.5. Доказательство Евклида
В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.
Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.
Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

5.6. Доказательство простейшее

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.

Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

6. Применение теоремы Пифагора.


6.1. Задачи теоретические современные


1. Периметр ромба 68 см., а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба.
2.Гипотенуза КР прямоугольного треугольника КМР равна см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.
3.На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, причем
S₁-S₂=112 см², а S₃=400 см². Найдите периметр треугольника.
4.Дан треугольник АВС, угол С=90⁰, CD AB, AC=15 см., AD=9 см. Найдите АВ.

6.2. Старинные задачи
Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

6.3 Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

6.4. Задача из китайской "Математики в девяти книгах"

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

    Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"


Заключение
Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Я изучила ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидела, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые мной в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.
Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.
Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.
Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Литература и Интернет-ресурсы:

1.      Г.И. Глейзер История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, - М: Просвещение 1982г.

2.      И.Я. Демпан, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов, Москва, Просвещение 1989г.

3.      И.Г. Зенкевич «Эстетика урока математики», М.: Просвещение 1981г.

4.      Войтикова Н.В. «Теорема Пифагора» курсовая работа, Анжеро-Судженск, 1999г.

5.      В. Литцман .Теорема Пифагора, М. 1960.

6.      А.В. Волошинов «Пифагор» М. 1993.

7.      Л. Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры» М. 1990.

8.      В. В. Афанасьев «Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач» Ярославль 1996.

9.      П. И. Алтынов «Тесты. Геометрия 7 – 9 кл.» М. 1998.

10.  Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В Никитин, А. И. Санкин «Сборник задач по элементарной математики». М. 1963.

11.  Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов «Пособие по математике». М. 1973

12.  А. И. Щетников “ Пифагорейское учение о числе и величине “. Новосибирск 1997.
М.С. Атанасян “Геометрия” 7-9 класс. М: Просвещение, 1991

13. www.moypifagor.narod.ru/

14.http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

15.http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора

16.http://th-pif.narod.ru/history.htm

Администрация Лукояновского муниципального района

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Лукояновская средняя школа №2

Математические исследования

  

Тема: «Теорема Пифагора»

     Автор: обучающаяся 9«б» класса

                                                                      МБОУ «СШ №2» г.Лукоянова                                      

                                                                      Бударагина М.

                                                       Руководитель: учитель математики

                                                                      МБОУ «СШ №2» г.Лукоянова                                      

                                                              Соколова  Елена  Владимировна

                                                      607802 г.Лукоянов ул.Новошкольная д.2

                                                     [e-mail]    

г. Лукоянов,2016