Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа на тему" Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа на тему" Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ"

библиотека
материалов

МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ» Инсарского района РМ







hello_html_m36802b4.gif

hello_html_38e20a14.gifhello_html_m50e5e3ab.gif



hello_html_m39e55d29.jpg



Выполнила: Пантилейкина Надежда,

ученица 11 класса

Руководитель: Кадышкина Н.В.,

учитель математики





hello_html_4f59b3a1.gif

Оглавление



Введение…………………………………………………………………………….

Глава I. О тригонометрических уравнениях…………………………………..…5

1) Основные типы тригонометрических уравнениях и методы их решения:

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. …………………………………..5

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным…………………………………….5

3. Однородные уравнения acosx + b sin x = 0………………………………...6

4.Уравнения вида acosx + b sin x = c, с≠ 0…………………………………7

5. Уравнения, решаемые разложением на множители…………………...….7

6. Нестандартные уравнения………………………………………………….8

Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии…………………….8-10

Глава III. Уравнения предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет…………...……10-14

Заключение………………………………………………………………………….14

Приложение……………………………………………..……………………….15-17

Литература…………………………………………………………………………..18



















Введение

«Единственный путь, ведущий к знаниям - это деятельность...»

Бернард Шоу

  Актуальность работы.


Через несколько месяцев я заканчиваю школу.

Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ — и один из них математика. Что уж там говорить, выпускные экзамены — ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.

Единый Государственный Экзамен – это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике — серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат.

Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания. Я не претендую на максимальный балл, тем не менее старательно готовлюсь. И заметила, что даже на первом задании части С, а, именно, на решении тригонометрических уравнениях и их системах допускаю ошибки. На первый взгляд, задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические функции, одним из основных подходов к решению которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Так почему я ошибаюсь?

Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений.

Поэтому, перед собой я поставила следующую цель:

Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.

Предмет исследования - является решение тригонометрических уравнений

Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений и их систем, способы их решения.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

1). Изучить все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;

2) Изучить методы решения тригонометрических уравнений.

3). Выявить основные возможные ошибки при решении таких уравнений;

4). Выяснить причину допущения таких ошибок.

5)Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений;

6). Сделать выводы.

В своей работе я решу несколько тригонометрических уравнений, покажу возможные ошибки при их решении и постараюсь ответить на следующие вопросы:

1). Можно ли избежать ошибок при выполнении заданий типаС1

2) Если я буду тренироваться в решении уравнений такого типа, то я смогу

ли безошибочно выполнять такие задания?

Для этой цели я изучила все демонстрационные и тренировочные задания, проводимые с нами, материалы ЕГЭ предыдущих лет;

изучила справочные источники;

самостоятельно решала задания из Интернета;

консультировалась со своим учителем в случае затруднения;

училась анализировать и правильно оформлять результаты.













Глава I. О тригонометрических уравнениях.

1) Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а - данное число.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

2)Основные типы тригонометрических уравнений.

  1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

Решить уравнение 

hello_html_m1b0512d3.png
Решение:

hello_html_11b77b90.png

Ответ: hello_html_m1c13bc2b.png


  1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

hello_html_m447195d4.png

Ответ: hello_html_63935993.png



  1. Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0

   sin 2 x + sinxcosx + cos 2 x = 0.

Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем,

что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx.

Получим

hello_html_m164fb657.png

Ответ: hello_html_3d26d7bf.png


  1. Уравнения вида a sinx + cosx = с, с ≠ 0.
    hello_html_10282104.png

Пример: Решить уравнение hello_html_m26dba8de.png

Решение: hello_html_m5991e674.png

Ответ: hello_html_6d632f42.png


  1. Уравнения, решаемые разложением на множители.

Припер: Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

hello_html_m311c2eed.png

Ответ: hello_html_m22fa7d29.png



  1. Нестандартные уравнения.

Решить уравнение cosx = х 2 + 1.

Решение:

Рассмотрим функции

hello_html_m6e9846d1.png



Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии.

Тригонометрические уравнения - обязательная тема любого экзамена по математике.

Ох, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии.

Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом учитель по математике и объясняет каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, hello_html_66538e36.png.

Вы знаете формулы - вам легко решать. Не знаете - не поймете, даже если дадут формулу.
Формулу нужно не просто тупо знать, а знать куда ее можно применить, как раскрыть и в чем суть формулы, а для этого вам нужно решать примеры именно для тех задач, которые даются с трудом.

Мне поначалу казалось, тригонометрия - это скучный набор формул и графиков. Однако, знакомясь с новыми понятиями тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз убеждалась, насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.

Во- первых, для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие), так как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается

(Приложение1)

Во- вторых, мы должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений)

Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:

а) Функция y=sin x. Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа sinx=2 или sinx=-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= sinx

1) sinx =a, x= (-1)narcsin a +n,nhello_html_m289d78ff.gifZ

2) sinx = - a, x= (-1)n+1arcsin a +n,nhello_html_m289d78ff.gifZ

Также, нужно знать частные случаи: 1) sinx =- 1, hello_html_2f21411f.gif

2) sinx =0, hello_html_m41afa714.gif

3) sinx =a, hello_html_64680bf5.gif

Также нужно уметь решение hello_html_23f27be0.gifв виде двух серий корней

hello_html_m2ded480e.gif

hello_html_m4f182440.gif.

2. Функция y= cos x. Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа cos x=2 или cos x=-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= cos x:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,nhello_html_m289d78ff.gifZ

2. cos x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,nhello_html_m289d78ff.gifZ

Частные случаи: 1. cosx =-1, X= +2n,nhello_html_m289d78ff.gifZ

2. cosx =0, hello_html_64680bf5.gif

3. cosx =1, X= 2n,nhello_html_m289d78ff.gifZ

3. Функция y= tg x.

Тут всего одна формула, без частных случаев: tg x =±a .

х= ± arctg a+n,nhello_html_m289d78ff.gifZ

hello_html_m53d4ecad.gif

В-третьих, надо знать значения тригонометрических функций;

( Приложение 2)

В- четвёртых, Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).



V. Уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели».

Лейбниц

1. Уравнения, сводящиеся к квадратному.

С1. Решить уравнение: hello_html_7edc10a6.gif

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в видеhello_html_m1ffa783.gif

Заменой coshello_html_2860b879.gif=t уравнение сводится к квадратному:2t2+ 9 t -5 =0, которое имеет корни t 1= ½ и t2 = -5. Возвращаясь к переменной х, получим hello_html_7b1fbc9e.gif,hello_html_m5ae15fda.gif

Второе уравнение корней не имеет так как |cosx|≥1, а из первого xhello_html_1bfc1af9.gif+6hello_html_1bfc1af9.gifk,khello_html_m289d78ff.gifZ

Ответ: =±hello_html_1bfc1af9.gif+6hello_html_1bfc1af9.gifk,khello_html_m289d78ff.gifZ



Вывод: вводя новую переменную, нужно учитывать, что значения sin x и cos x ограничены отрезком hello_html_m4e7c58c7.gif, а иначе появятся посторонние корни.



2. Уравнения, решаемые разложением на множители

Задание С1 ( 2011 г.)

а) Решить уравнениеhello_html_73dadf8c.gif

б) Указать корни уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m7c7fd629.gif



Решение: а) решаем разложением левой части на множители:

группируем и выносим общий множитель за скобки, получим

hello_html_m510994d2.gif





Уравнение 1) решений не имеет.

Второе уравнение однородное, решается делением почленно на cosx ≠0, получим hello_html_m5cdf4307.gif, откуда hello_html_19402111.gif

б) hello_html_m7ac9d09e.gif

Ответ: а) hello_html_7df2757d.gif б)hello_html_m11570a67.gif

Вывод:

1.При решении уравнения такого вида, во – первых, нужно знать, что |sinх|≤1 и |cosx|≤1, и уравнение sinx=-2 решений не имеет;

2.Во – вторых, обосновать деление на cosx≠о ( так как , если cosx=0,то sinх=0 , а это невозможно;

в- третьих, обоснованно произвести отбор корней, принадлежащие данному промежутку

3hello_html_56096a42.gif.Уравнение на применение формул приведения

С1 ( 2010 г.) Дано уравнение



а) решить уравнение;



бhello_html_m2ae77f4c.gif) Указать корни, принадлежащие отрезку



Решение: Используя формулы приведения, получим :

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

сosx (2 sinx -1 )=0, откуда cosx= 0 или sinx =½,

hello_html_m3f9849d5.gifhello_html_m5093e705.gif

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать

указанному промежутку. Для того, чтобы выбрать корни. принадлежащие заданному промежутку, решение представим в виде :

hello_html_m15cdd709.gifhello_html_9cf3d6e.gif

бhello_html_m2a9b4ec7.gifhello_html_m7b48b757.gif) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать указанному промежутку.

hello_html_56096a42.gif2)

Решая это неравенство, целого

hello_html_4dfe88a.gifзначения к не получим.

3)



Ответ: а)hello_html_m3efcdf4.gifhello_html_m4585a5ec.gif

б) hello_html_6a867b71.gif

Вывод:

При решении уравнения такого вида, необходимо знать формулы приведенного уравнения и правильно её применить; уметь представлять решениеhello_html_5150a9b3.gifна две серии корней; правильно выбрать корни, принадлежащие заданному отрезку.





4. Системы тригонометрических уравнений

С1 (2010).  Решить систему уравненийhello_html_231d729e.gif

Решение: О.Д.З hello_html_76f40e56.gif

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Из уравнения 2sin2x – 3 sinx +1 =0, решая методом введения новой переменной, находим

hello_html_1771c1e2.gifили sin x=1.

1)Пусть hello_html_1771c1e2.gif, тогда hello_html_m654d8c9.gif и у = cos x = hello_html_m9b24522.gif›0 ( используя основное тригонометрическое тождество)

либо hello_html_5d643b05.gif и hello_html_m577bab14.gif- нет решения.

2) Пусть sinx = 1, тогда у = cos x = 0 – нет решения.

Ответ: hello_html_m654d8c9.gifи у = hello_html_m9b24522.gif



Вывод: 1) нужно учитывать ограниченность тригонометрических

функций

2) Записывать и учитывать О.Д.З.







5. С1 ( ЕГЭ 2011 г.) Решить уравнение: hello_html_m5dc313f8.gif

О.Д.З. – cos x ≥ 0, sin х ≤ 0.

4sin2 x + 12 sinx + 5 = 0 или cos x =0

sinx = t hello_html_523bd24.gif

4 t2 + 12 t + 5=0, откуда t1=-½ , t2 = -hello_html_6a81be73.gif

sinx = -½ sinx =- hello_html_6a81be73.gif - не имеет решения

х = hello_html_m32b6468a.gif

х = hello_html_1e0bb602.gif

с учётом О.Д.З. х =hello_html_1e0bb602.gif

Ответ: х =hello_html_1e0bb602.gif

Вывод: Ответ записать с учётом О.Д.З.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В проделанной мною работе были изучены решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, методы решения тригонометрических уравнений и рассмотрены ошибки, которые возможны при их решении.

Я пришла к следующим выводам:

1. Задания типа С1 проверяют умение решать тригонометрические уравнения. Эти задания являются, действительно, несложными, что придаёт лишнюю самоуверенность и усыпляют внимательность. Единственной сложностью этих заданий является то, что, решив уравнение или систему уравнений, отбросить посторонние корни.


2. Задача С1 – это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились – немедленно нужно остановиться, проверить решение и попробовать понять, что же здесь не так.

3. В конечном итоге, главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Нужно постараться записать свое решение кратко и понятно, но главное – правильно!

4. И самое главное - чтобы научиться без ошибок решать уравнения , надо их решать! Ведь, как говорил Пойа, « Если хотите научиться плавать, то смело ныряйте в воду, а если хотите научиться решать задачи, надо их решать!»



Приложение 1 ( основные формулы тригонометрии)

1) основное тригонометрическое тождество sin2α +cos2 α= 1,

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем

hello_html_64f9d44f.gif

2)формулы двойного аргумента sin2α =2 sinα cos α,

cos 2α = cos2 α - sin2α,

cos 2α = 1- 2sin2α,

3)формулы понижения степени: hello_html_m35533018.gif

4) формулы суммы и разности двух аргументов:

sin(α+β)=sinα cos β +cos α sin β

sin(α-β)=sinα cos β -cos α sin β

cos(α+β)=cosα cos β +sin α sin β

cos(α-β)=sinα cos β +sinα sin β

5)Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

hello_html_m7c147ef6.png

hello_html_762785f.png

hello_html_m30ad9b31.png

hello_html_m74e62571.png

Суммы суммы и разности тригонометрических уравнений

hello_html_m3dd90a94.png

hello_html_m2becba57.png

hello_html_m274628ed.png

hello_html_6ae37a29.png

hello_html_m9b43368.png





Чётность

Косинус— чётная, синус, тангенс и котангенс— нечётные, то есть:

hello_html_m207410f.png

hello_html_m34935348.png

hello_html_m6ce0a5d7.png

hello_html_m153a5c4e.png

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и имеет точки разрыва hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_348ee95f.gif,котангенс 0; ±π; ±2π;…

Периодичность

Функции y = cos x, y = sin x — периодические с периодом 2π,

функции  y = tg x и  y = ctg x — c периодом π.

Знаки тригонометрических функций по четвертям



hello_html_m65884a81.png













Приложение 2(Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов)

Угол (a)

Тригонометрическая функция

 Градусы 

 Радианы 

 sin a 

 cos a 

 tg a 

 ctg a 

 sec a 

 cosec a 

0

0

1

0

1

30°

hello_html_m124809ca.png

hello_html_m7514a290.png

hello_html_m623384f9.png

hello_html_52cd5eec.png

hello_html_m9d5cf4c.png

hello_html_16acf14.png

2

45°

hello_html_m14151430.png

hello_html_2c235467.png

hello_html_2c235467.png

1

1

hello_html_589a7081.png

hello_html_589a7081.png

60°

hello_html_47731120.png

hello_html_m623384f9.png

hello_html_m7514a290.png

hello_html_m9d5cf4c.png

hello_html_52cd5eec.png

2

hello_html_16acf14.png

90°

hello_html_17e44449.png

1

0

0

1

120°

hello_html_m37f79fb.png

hello_html_m623384f9.png

hello_html_53b03f11.png

hello_html_4878949.png

hello_html_5f276b72.png

-2

hello_html_16acf14.png

135°

hello_html_m42a7493d.png

hello_html_2c235467.png

hello_html_m616fd9d8.png

-1

-1

hello_html_1499ad84.png

hello_html_589a7081.png

150°

hello_html_67bf3ea6.png

hello_html_m7514a290.png

hello_html_m5e569da0.png

hello_html_5f276b72.png

hello_html_4878949.png

hello_html_230b8cc3.png

2

180°

hello_html_m10eb20be.png

0

-1

0

-1

210°

hello_html_m46f0c7ab.png

hello_html_53b03f11.png

hello_html_m5e569da0.png

hello_html_52cd5eec.png

hello_html_m9d5cf4c.png

hello_html_230b8cc3.png

-2

225°

hello_html_2dd99bf2.png

hello_html_m616fd9d8.png

hello_html_m616fd9d8.png

1

1

hello_html_1499ad84.png

hello_html_1499ad84.png

240°

hello_html_m5589f5e4.png

hello_html_m5e569da0.png

hello_html_53b03f11.png

hello_html_m9d5cf4c.png

hello_html_52cd5eec.png

-2

hello_html_230b8cc3.png

270°

hello_html_2de37ea0.png

-1

0

0

-1

300°

hello_html_m1c214a40.png

hello_html_m5e569da0.png

hello_html_m7514a290.png

hello_html_4878949.png

hello_html_5f276b72.png

2

hello_html_230b8cc3.png

315°

hello_html_m5eae841e.png

hello_html_m616fd9d8.png

hello_html_2c235467.png

-1

-1

hello_html_589a7081.png

hello_html_1499ad84.png

330°

hello_html_m4dee3c89.png

hello_html_53b03f11.png

hello_html_m623384f9.png

hello_html_5f276b72.png

hello_html_4878949.png

hello_html_16acf14.png

-2

360°

hello_html_m79d2b320.png

0

1

0

1









ЛИТЕРАТУРА

1. Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

2. Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций/ Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. – М.: Издательство «Экзамен», 2008-2010

3. Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979.

4. Синакевич С.В. Тригонометрические уравнения - М.: Учпедгиз, 1959.

5. Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.

6. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978.

7. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, «Просвещение», 1994.

8. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11. Учебник - М.: Просвещение, 2001.

9. ЕГЭ. Контрольно-измерительные материалы. М: Просвещение, 2002-2011г.

10.http://www.ucheniki.hut2.ru/sprav/sprav_mathem/sprav_mathem_text/trigonom/sprav_mathem_znashen.php

11. http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php





18


Краткое описание документа:

 

     Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ — и один из них математика.   Что уж там говорить, выпускные экзамены — ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.

Единый Государственный Экзамен – это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике — серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат. 

     Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания.   На первый взгляд, задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические  функции,  одним из основных подходов к решению  которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. 

 

 

Автор
Дата добавления 11.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2750
Номер материала 282004
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх