МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ» Инсарского района РМ

 

 

 

 

 

                                             

 

                                                 Выполнила: Пантилейкина Надежда,

                                                                       ученица 11 класса                                            

                                                                 Руководитель: Кадышкина Н.В.,

                                                               учитель математики

 

 

Оглавление

 

Введение…………………………………………………………………………….

Глава I.  О тригонометрических  уравнениях…………………………………..…5

1) Основные типы тригонометрических  уравнениях и методы их  решения:

        1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. …………………………………..5

        2. Уравнения, сводящиеся к квадратным…………………………………….5

        3. Однородные уравнения acosx + b sin x = 0………………………………...6

        4.Уравнения вида     acosx + b sin x = c, с≠ 0…………………………………7

        5. Уравнения, решаемые разложением на множители…………………...….7

         6. Нестандартные уравнения………………………………………………….8

Глава II.   Основные понятия и формулы тригонометрии…………………….8-10

 Глава III. Уравнения предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет…………...……10-14

Заключение………………………………………………………………………….14

Приложение……………………………………………..……………………….15-17

Литература…………………………………………………………………………..18

 

 

 

 

 

 

 

 

                        

 

       Введение

«Единственный путь, ведущий к знаниям - это деятельность...»

                                                                               Бернард Шоу

           Актуальность работы.

 

     Через несколько месяцев я заканчиваю школу.

Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ — и один из них математика.   Что уж там говорить, выпускные экзамены — ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.

Единый Государственный Экзамен – это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике — серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат.

     Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания. Я не претендую на максимальный балл, тем не менее старательно готовлюсь. И заметила, что даже на первом задании части С, а, именно, на решении тригонометрических уравнениях и их системах допускаю ошибки.     На первый взгляд, задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические  функции,  одним из основных подходов к решению  которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Так почему я ошибаюсь?

Актуальность  темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах  решения тригонометрических уравнений.

 Поэтому, перед собой я поставила следующую  цель:

Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения  тригонометрических уравнений.

Объектом исследования  является изучение тригонометрических уравнений  в заданиях ЕГЭ.

Предмет исследования - является решение тригонометрических уравнений

Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений  и их систем, способы их решения.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

1). Изучить все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся на ЕГЭ  работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;

2) Изучить методы решения тригонометрических уравнений.

3). Выявить основные возможные ошибки при решении таких уравнений;

4). Выяснить причину допущения таких ошибок.

 5)Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений;

6). Сделать выводы.

В своей работе я решу несколько тригонометрических уравнений, покажу возможные ошибки при их решении и постараюсь  ответить на следующие вопросы:

1). Можно ли избежать ошибок при выполнении заданий  типаС1

2) Если я буду тренироваться в решении уравнений такого типа, то я   смогу

 ли безошибочно выполнять такие задания?

   Для этой цели я изучила все демонстрационные и тренировочные задания, проводимые с нами, материалы ЕГЭ предыдущих лет;

 изучила справочные источники;

 самостоятельно решала задания из Интернета;

консультировалась  со своим учителем в случае затруднения;

 училась анализировать и правильно оформлять результаты.

 

 

 

 

 

 

 Глава I. О тригонометрических  уравнениях.

    1) Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а - данное число.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

   2)Основные типы тригонометрических уравнений.

1.     Уравнения, сводящиеся к простейшим.

Решить уравнение 

  
Решение:

Ответ:                  

2.     Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin ² x – cosx –1 = 0.

             Ответ:         

 

3.     Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0

   a sin ² x + b sinxcosx + c cos ² x = 0.

           Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем,

что sin ² x + cos ² x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx.

Получим

Ответ:              

4.     Уравнения вида a sinx + b cosx = с,   с ≠ 0.

 Пример: Решить уравнение 

Решение:                                   

Ответ:                 

5.     Уравнения, решаемые разложением на множители.

Припер: Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

                          2sinxcosx – sinx = 0,

                sinx (2cosx – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:        

 

6.     Нестандартные уравнения.

Решить уравнение cosx = х ² + 1.

Решение:

Рассмотрим функции

 

 Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии.

Тригонометрические уравнения - обязательная тема любого экзамена по математике.

Ох, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии.

Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом  учитель по математике и объясняет  каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, .

  Вы знаете формулы - вам легко решать. Не знаете - не поймете, даже если дадут формулу.
Формулу нужно не просто тупо знать, а знать куда ее можно применить, как раскрыть и в чем суть формулы, а для этого вам нужно решать примеры именно для тех задач, которые даются с трудом.

Мне поначалу казалось, тригонометрия - это скучный набор формул и графиков.  Однако, знакомясь с новыми понятиями  тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз убеждалась,  насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.

Во- первых, для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие),  так как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается

 (Приложение1)

Во- вторых, мы  должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений)

Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:

  а) Функция y=sin x. Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа  sinx=2 или sinx=-5 в ответе получается: нет корней.     Формулы для функции у= sinx

                         1)   sinx =a,   x= (-1)ⁿarcsin a +n,nZ

                                            2) sinx = - a, x= (-1)ⁿ⁺¹arcsin a +n,nZ

Также, нужно знать частные случаи: 1) sinx =- 1,

                                                                                               2) sinx =0, 

                                                                                              3) sinx =a,  

Также нужно уметь решение  в виде двух серий корней

.

2. Функция y= cos x. Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа  cos x=2 или cos x=-5 в ответе получается: нет корней.     Формулы для функции у= cos x:

                                              1. cosx =a,                X=± arccos a+2n,nZ

                                                                                2. cos x=-a,            X=±(  - arccos a)+2n,nZ

Частные случаи: 1. cosx =-1,                                   X=  +2n,nZ

                                        2. cosx =0,                                             

                          3. cosx =1,                           X=  2n,nZ

3. Функция y= tg x.

Тут всего одна формула, без частных случаев: tg x =±a .

                                                                             х= ± arctg a+n,nZ                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

В-третьих, надо знать значения тригонометрических функций;

( Приложение 2)

В- четвёртых, Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

 

V. Уравнения,  предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет.

       «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии  подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели».               

                                                                            Лейбниц

1. Уравнения, сводящиеся к квадратному.

 С1. Решить уравнение: 

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством,  перепишем уравнение в виде

Заменой cos=t  уравнение сводится к квадратному:2t²+ 9 t -5 =0, которое имеет корни  t ₁= ½  и t₂ = -5. Возвращаясь к переменной х, получим ,

Второе уравнение корней не имеет так как  |cosx|≥1, а из первого x=±+6k,kZ

Ответ: =±+6k,kZ

 

Вывод: вводя новую переменную, нужно   учитывать, что значения sin x и cos x ограничены отрезком      , а иначе появятся посторонние корни.                                                                                                                                                                                                                                                             

 

2. Уравнения, решаемые разложением на множители

                           Задание С1 ( 2011 г.)

а) Решить уравнение

б) Указать корни уравнения, принадлежащие отрезку

 

Решение: а) решаем разложением левой части на множители:

 группируем и выносим общий множитель за скобки, получим

 

 

 

Уравнение 1) решений не имеет.

Второе уравнение однородное, решается делением почленно на cosx ≠0, получим , откуда

б)  

Ответ: а)  б)

Вывод:

1.При решении уравнения такого вида, во – первых, нужно знать, что |sinх|≤1 и |cosx|≤1, и уравнение sinx=-2 решений не имеет;

2.Во – вторых, обосновать деление на cosx≠о ( так как , если cosx=0,то sinх=0 , а это невозможно;

в- третьих, обоснованно произвести отбор корней, принадлежащие данному промежутку

3.Уравнение на применение формул приведения

С1 ( 2010 г.) Дано уравнение

 

а) решить уравнение;

 

б) Указать корни, принадлежащие отрезку

 

Решение:  Используя формулы приведения, получим :  

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

сosx (2 sinx -1 )=0, откуда cosx= 0 или sinx =½,

     

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать

указанному промежутку. Для того, чтобы выбрать корни. принадлежащие  заданному промежутку, решение представим в виде :

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать указанному промежутку.

                                                             2)

                                                      

                                                 Решая это неравенство, целого

                                            значения к не получим.

3)

 

Ответ:  а) 

            б)

Вывод:

При решении уравнения такого вида, необходимо знать формулы приведенного уравнения и правильно её применить; уметь представлять решениена две серии корней; правильно выбрать корни, принадлежащие заданному отрезку.

 

 

4. Системы тригонометрических уравнений   

С1 (2010).  Решить систему уравнений

Решение: О.Д.З 

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Из уравнения 2sin²x – 3 sinx +1 =0, решая методом введения новой переменной, находим 

 или sin x=1.

1)Пусть , тогда  и у = cos x = ›0 ( используя основное тригонометрическое тождество)

либо  и - нет решения.

2)  Пусть sinx = 1, тогда у = cos x = 0 – нет решения.

                       Ответ: и у =

 

Вывод: 1) нужно учитывать  ограниченность тригонометрических

               функций

2)  Записывать и учитывать О.Д.З.

 

 

 

5. С1 ( ЕГЭ 2011 г.)  Решить уравнение:

О.Д.З. – cos x ≥ 0, sin х ≤ 0.

4sin² x + 12 sinx + 5 = 0            или           cos x =0

sinx = t                                                        

4 t² + 12 t + 5=0, откуда        t₁=-½ , t₂ = -

sinx = -½                                sinx =-  - не имеет решения

х =

х =

с учётом О.Д.З. х =

Ответ: х =

Вывод: Ответ записать с учётом О.Д.З.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В проделанной мною работе были изучены  решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, методы решения тригонометрических уравнений и рассмотрены ошибки, которые возможны при их решении.

 Я пришла к следующим выводам:

1. Задания типа С1 проверяют умение решать тригонометрические уравнения.  Эти задания являются, действительно, несложными, что  придаёт лишнюю самоуверенность и усыпляют внимательность. Единственной сложностью этих заданий является то, что, решив уравнение или систему уравнений, отбросить посторонние корни.

2. Задача С1 – это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились – немедленно нужно остановиться, проверить  решение и попробовать понять, что же здесь не так.

3. В конечном итоге, главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Нужно постараться  записать свое решение кратко и понятно, но главное – правильно!

4.  И самое главное  - чтобы научиться без ошибок решать уравнения , надо их решать!     Ведь, как говорил Пойа,  « Если хотите научиться плавать, то смело ныряйте в воду, а если хотите научиться решать задачи, надо их решать!»  

 

                                                                                                           

Приложение 1 ( основные формулы тригонометрии)

1) основное тригонометрическое тождество sin²α +cos² α= 1,

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем

 2)формулы двойного аргумента sin2α =2 sinα cos α,

                                                  cos 2α =  cos² α - sin²α,

                                                  cos 2α =  1- 2sin²α,

 3)формулы понижения степени: 

 4) формулы суммы и разности двух аргументов:

sin(α+β)=sinα cos β +cos α sin β

sin(α-β)=sinα cos β -cos α sin β

cos(α+β)=cosα cos β +sin α sin β

cos(α-β)=sinα cos β +sinα sin β

 5)Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Суммы суммы и разности тригонометрических уравнений

 

 

           Чётность

           Косинус— чётная, синус, тангенс и котангенс— нечётные, то есть:

         Непрерывность

         Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и имеет точки разрыва

,котангенс   0; ±π; ±2π;…

       Периодичность

       Функции y = cos x, y = sin x — периодические с периодом 2π,

       функции  y = tg x и  y = ctg x — c периодом π.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

 

 

                     

 

 

 

 

 

Приложение 2(Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов)

 

 

 

                                                                                                                         

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

2. Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций/ Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. – М.: Издательство «Экзамен», 2008-2010

3. Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979.

4. Синакевич С.В. Тригонометрические уравнения - М.: Учпедгиз, 1959.

5. Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.

6. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978.

7. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, «Просвещение», 1994.

8. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11. Учебник - М.: Просвещение, 2001.

9. ЕГЭ. Контрольно-измерительные материалы. М: Просвещение, 2002-2011г.

10.http://www.ucheniki.hut2.ru/sprav/sprav_mathem/sprav_mathem_text/trigonom/sprav_mathem_znashen.php

11.  http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php