Конспект и презентация к уроку "Решение задач с квадратными уравнениями"

Цель: совершенствование навыков составления уравнения по условию задачи.

Задачи.

Обучающие.

• Познакомить с применением способа решения задач с помощью квадратного уравнения.
• Сформировать умения составлять алгоритмы для решения задач с помощью квадратных уравнений.

Развивающие.

• Развивать умение наблюдать, анализировать.
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
• Развивать логическое мышление учащихся.

Воспитательные.

• Воспитывать навыки сотрудничества в процессе совместной работы. Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей.

Ход урока

Этап урока	t,мин	Деятельность учителя	Деятельность ученика
1.Организационный момент	1	Приветствие	Приветствие, подготовка к уроку
2.Актуализация знаний	5	На предыдущих уроках мы занимались решением квадратных уравнений. 1)Какое уравнение называется квадратным? 2)Какие виды квадратных уравнений вы знаете? Чем они отличаются? 3)Что такое корень уравнения? 4)От чего зависит количество корней квадратного уравнения?	Отвечают на вопросы 1)уравнение вида ax2+bx+c=0 2)Приведенные и не приведенные 3)Корень уравнения – значение переменной, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль. 4)От дискриминанта. >0, <0, =0
3.Изучение нового материала	20	С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике. При решении задач с помощью линейных уравнений или систем могло быть два случая: 1)Каких? При решении задач с помощью квадратных уравнений возможны три случая: 2)Каких? Составим схему решения задач Анализ условия Выделение главных ситуаций Введение неизвестных величин Установление зависимости между данными задачи и неизвестными величинами Составление уравнения Решение уравнения Запись ответа Пример 1 Произведение двух натуральных чисел, одно их которых на 5 больше другого, равно 104. Найдите эти числа. Пусть х – меньшее число, тогда (х + 5) – большее число. По условию задачи произведение этих чисел равно 104. Поэтому получаем уравнение: х∙(х + 5) = 104 или х2 + 5х - 104 = 0 Решим это квадратное уравнение:  х2 + 5х - 104 = 0; D= (b)2 – 4ac = 52 – 4 ∙ 1 ∙ ( - 104) = 25 + 916 = 441 > 0; х1 =   =   = - 13; х2 =  =  =  8; Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Итак, меньшее число равно 8, тогда большее числа равно 8 + 5 = 13. Ответ: 8 и 13.  Пример2. Произведение двух натуральных чисел равно 84. Одно из чисел на 5 больше другого. Найти эти числа. Анализируем условие задачи, составляем и решаем уравнение. Пусть меньшее из данных чисел равно х, тогда большее число равно х+5. По условию произведение этих чисел равно 84. Составим уравнение х(х+5)=84. Получили квадратное уравнение х2+5х-84=0. Решим это уравнение. D=52-4*1*(-84)=25+336=361=192, х1=(-5+19):2=7; х2=(-5-19):2=-12. Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее число равно 7, а большее число равно 7+5=12. Ответ: 7 и 12.	1)одно решение или ни одного 2) задача имеет два решения, одно решение и не иметь ни одного решения.
4.первичное закрепление	12	А теперь давайте потренируемся в составлении уравнений по условию задачи. 1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 12 больше другого, а их произведение равно 315. Найдите эти числа. х( х – 12) = 315 х(х + 12) = 315 2х + 12 = 315 2х – 12 = 315 2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа. х( х + 17) = 468 х(х - 17) = 468 2х - 12 = 468 2х + 12 = 468 3. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Произведение двух последовательных натуральных нечетных чисел равно 575. Найдите эти числа. х( х + 2) = 575 х(х + 1) = 575 х • х + 1 = 575 2х - 2 = 575 Задача: Произведение двух натуральных  чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа. 1)Какие числа называются натуральными? 2)Какое самое маленькое натуральное число? 3)Известно ли нам хотя бы одно из чисел? 4)Что мы обозначаем за «х»?	Задача: 1)Натуральные – числа, которые используются для счета предметов. 2)Самое маленькое натуральное число - 1. 3)Нет. 4)Наименьшее. Решение: Пусть первое натуральное число: х, тогда второе натуральное число: (х+6). Произведение этих чисел равно 187. Составим  и решим уравнение: х (х+6) = 187 х2 + 6х -187=0 D =36-4×1×(-187)=784 › 0 → уравнение имеет  2 действительных различных корня х1=-17 – не удовлетворяет  условию задачи, х2=11 – 1 число, тогда 2 число : 17. Ответ: 11; 17.
5.Рефлексия	2	Что мы сегодня повторили на уроке? А что нового мы с вами сегодня узнали на уроке? Как вы думаете, пригодятся ли вам знания, которые мы сегодня получили?	1)Решение квадратных уравнений 2)Изучили решение задач с помощью квадратных уравнений

5. Закрепление пройденного материала.

2) Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см².

Деятельность учителя	Деятельность учеников
Контролирует процесс решения задачи, отвечает на вопросы.	Решение: Пусть ширина прямоугольника – х см, тогда длина (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 см2. Составим и решим уравнение: Х (х+4) = 60 х2+4х-60=0 D1= 22-1×(-60) = 4+60= 64. Х1= -10 – не удовлетворяет  условию задачи, х2=6 – ширина прямоугольника, тогда длина 10 см. Периметр Р=2(а+в) , Р= 2( 6+10)= 32 (см). Ответ:  32 см.

3) Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м².

Деятельность учителя	Деятельность учеников
Контролирует процесс решения задачи, отвечает на вопросы.	Решение: По условию периметр прямоугольника равен 62 м, значит Р= 2(а+в)=62, тогда полупериметр равен Р/2= а+в=31 (м). Пусть одна сторона прямоугольника равна х м, тогда вторая сторона  (31-х) м. По условию задачи площадь прямоугольника 210 м2. Составим и решим уравнение: х ( 31-х)= 210 х2 – 31х + 210=0 D= 121 Х1= 10 х2=21 . Ответ:  10м; 21 м.

4) Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 м².

Деятельность учителя	Деятельность учеников
Контролирует процесс решения задач, отвечает на вопросы.	Работа в парах: «сильный» ученик помогает «слабому» с последующей проверкой – отвечает «слабый» ученик. Решение: Пусть один катет прямоугольного треугольника  равна х м, тогда второй катет  (23-х) м. По условию задачи площадь треугольника 60 м2. Составим и решим уравнение: ½ х ( 23-х)= 60 D= 49 Х1= 8 х2=15 . Ответ:  8 см; 15 см.

5) В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места?

Деятельность учителя	Деятельность учеников
Контролирует процесс решения задач, отвечает на вопросы.	Решение: Пусть в кинотеатре х рядов, тогда (х+8) мест. Всего в нем имеется 884 места. Составим и решим уравнение:  х ( х+8)= 884 D1= 900 Х1= -34 – не удовлетворяет смыслу задачи х2=26 . Ответ:  26 рядов.

• 1 слайд

  Произведение двух натуральных чисел, одно их которых на 5 больше другого, равно 104. Найдите эти числа.
  

• 2 слайд

  Произведение двух натуральных чисел равно 84. Одно из чисел на 5 больше другого. Найти эти числа.
  
  

• 3 слайд

  1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х - меньшее из чисел: Одно из чисел на 12 больше другого, а их произведение равно 315. Найдите эти числа.
  1) х( х – 12) = 315
  2) х(х + 12) = 315
  3) 2х + 12 = 315
  4) 2х – 12 = 315
  

• 4 слайд

  2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа.
  1) х( х + 17) = 468
  2) х(х - 17) = 468
  3) 2х - 12 = 468
  4) 2х + 12 = 468
  

• 5 слайд

  3. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Произведение двух последовательных натуральных нечетных чисел равно 575. Найдите эти числа.
  1) х( х + 2) = 575
  2) х(х + 1) = 575
  3) х • х + 1 = 575
  4) 2х - 2 = 575
  

• 6 слайд

  Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.