Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине "Математика: геометрия" по теме " Параллельность прямых и плоскостей" (часть 2)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО   ОБРАЗОВАНИЯ

 «ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»

  Волжский социально-педагогический колледж

Математика:Геометрия (10-11кл., 1 курс СПО)   

Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу

 «Параллельность прямых и плоскостей (часть2)» 

Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна

Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП

Должность: Преподаватель 

Скрещивающиеся прямые
Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, т. е. не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны. Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая — под эстакадой (рис. 19). Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.  Доказательство. Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости а, и прямую CD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ (рис. 20). Докажем, что АВ и CD — скрещивающиеся прямые, т. е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости β, то плоскость β будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадет с плоскостью а. Но это невозможно, так как прямая CD не лежит в плоскости α.          Теорема доказана.				Рис .20
Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: а) прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку (рис. 21, а); б) прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 21, б); в) прямые скрещивающиеся, т. е. не лежат в одной плоскости (рис. 21, в).
Докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых. Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Доказательство. Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ и СВ (рис. 22). Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и такая плоскость только одна. Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой а плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая CD не лежит в плоскости а и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD параллельна плоскости а. Ясно, что плоскость α — единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и параллельная прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, пересекается с прямой АЕ, а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана.
Углы с сонаправленными сторонами.
Согласно одной из аксиом (см. приложение 2) любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями (рис. 23). Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. Любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей — по разные стороны от этой прямой (см. рис. 23).
Два луча ОА и О1А1  не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОО1. Лучи ОА и О1А1.лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. На рис.24 лучи ОА и О1А1, а также лучи А2В2 и О2В2 сонаправлены, а лучи ОА и О2А2, ОА и О3А3, О2А2 и О2В2 не являются сонаправленными (объясните почему). Докажем теорему об углах с сонаправленными сторонами.
Теорема.  Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. Доказательство. Рассмотрим случай, когда углы О и O1 с соответственно сонаправленными сторонами лежат в разных плоскостях, и докажем, что O = O1. Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла O1 отрезки О1А1 = ОА и OlB1 = ОВ (рис. 25). Так как лучи ОА и О1А1  сонаправлены и ОА = О1А1 , то получится параллелограмм ОАА1 О1 и, следовательно, AA1 || ОО1 и AA1 = ОО1. Аналогично получаем: ВВ1 || ОО1 и ВВ1 = ОО1 Отсюда следует, что AA1 || ВВ1   и AA1 = ВВ1 , а, значит, АВВ1А1 — параллелограмм и АВ = A1B1. Сравним теперь треугольники АОВ и А1О1В1. Они равны по трем сторонам, и поэтому O = O1.Теорема доказана.
Угол между прямыми
Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла (рис. 26). Пусть а — тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен а. Очевидно, 0°  а 90°. Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые (рис. 27, а). Через произвольную точку M1проведем прямые А1В1 и C1D1 соответственно параллельные прямым АВ и CD (рис. 27, б). Если угол между прямыми А1В1 и C1Dl равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.   Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М1. Действительно, возьмем любую другую точку М2 и проведем через нее прямые А2В2 и C2D2, соответственно параллельные прямым АВ и CD (см. рис. 27, б). Так как A1B1 || А2В2, C1D1 || C2D2 (объясните почему), то стороны углов с вершинами М1 и М2попарно сонаправлены (на рис. 27, б такими углами являются A1M1C1 и A2M2C2, AlM1Dl и A2M2D2 и т. д.). Поэтому эти углы соответственно равны. Отсюда следует, что угол между прямыми А2В2 и C2D2 также равен  φ прямых. На рисунке 27, в на прямой CD отмечена точка М и через нее проведена прямая А'Б', параллельная АВ. Угол между прямыми А'Б' и CD также равен ф.			Рис.26 Рис.27
Решение задач по теме « Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми».
34.  Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: a) ND и АВ;    б) РК и ВС;    в) MN и АВ;    г) МР и АС; д) KN и AC;   е) MD и ВС.	Подсказка:
35. Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.	Подсказка:
37. Прямая m пересекает сторону АВ треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и ВС, если: а) прямая m лежит в плоскости ABC и не имеет общих точек с отрезком АС; б) прямая m не лежит в плоскости ABC	Подсказка: а) б)
38. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С — прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и CD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые.	Подсказка:
39. Докажите, что если АВ и CD скрещивающиеся прямые, то AD и ВС также скрещивающиеся прямые.	Подсказка:
41. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.
44. Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD, если: а) ∠АОВ = 40°; б) ∠АОВ= 135°; в) ∠АОВ = 90°.

Краткое описание документа:

Конспект лекций по геометрии составлен в соответствии с программой курса «Геометрия» (по учебнику для 10-11 классов. Атанасян Л.С.) для СПО (10-11 класс) и может быть использован в учебном процессе для активизации деятельности студентов как в аудиторной, так и для самостоятельной работы. Содержит материал, достаточный для успешного прохождения студентами текущей и промежуточной аттестации по вопросам данной темы. Может успешно применяться в качестве раздаточного материала, что особенно актуально при отсутствии или недостаточном количестве учебников при проведении теоретических занятий.