|
Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии.
|
|
Школьный
курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии.
В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на
плоскости. Стереометрия-это раздел геометрии, в котором изучаются
свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от
греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрео» - измерять.
Простейшими и основными фигурами в пространстве является точки,
прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать
геометрические тела и их поверхности. Представление о
геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например,
кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых
составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками.
|
|
В отличие от реальных предметов геометрические
тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми
объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства,
отделенную от остальной части пространства поверхностью – границей этого
тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница
цилиндра состоит из двух кругов – оснований цилиндра и боковой
поверхности.
Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов,
мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их
форме, взаимном расположении и т.д.) и можем использовать эти свойства в
практической деятельности. При изучении пространственных фигур, в
частности геометрических тел, пользуются их изображениями на
чертеже. Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на
ту или иную плоскость.
В планиметрии основными
фигурами были точка и прямые. В
стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура –
плоскость (гладкая поверхность стола или стены). Плоскость как геометрическую
фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во
все стороны.
В
каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и тоже
плоскости. На рис.точки А и В лежат в плоскости
β (плоскость β проходит через эти точки), а точки
М, N, Р не лежат
в этой плоскости.
|
Простейшие многогранники:
  
куб
шар цилиндр
|
|
  
На
рис. изображены два многогранника параллелепипед и пирамида,
а так же фигура вращения – конус (невидимые части изображены
штриховыми линиями).
|
|
Плоскости
изображаются
в виде параллелограмма или в виде произвольной области
 
Точки обозначают прописными
латинскими буквами А, В, С и т.д..
Прямые – строчными
латинскими буквами а, в, с и т.д. или двумя прописными
латинскими буквами АВ, СД и т.д.
Плоскости обозначают греческими
буквами α, β, γ и т.д.
Это
записывается и читается так:
А,
В Î (точки А и В
принадлежат плоскости b);
М,
N, Р Ï β (точки М и N не
принадлежат плоскости b);
МN ∩ β =А (прямая МN пересекает плоскость b в точке А);
|
|
Аксиомы стереометрии.
|
|
В
курсе планиметрии свойства точек и прямых были выражены в системе аксиом
(аксиома – это высказывание,
истинность которого принимается без доказательства).
Введение
нового геометрического образа – плоскости заставляет расширить эту
систему в виде трех аксиом, которые выражают основные свойства
плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А1,
А2, А3.
|
|
А1:Через любые три
точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость
проходит через точки А, В, и С.
Можно сказать, что эти три точки задают плоскость АВС.
|
 Наглядное
подтверждение: Если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на
трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая
«точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
|
|
А2:Если две
точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В
этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или
что плоскость
проходит через прямую.
Из
аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в
данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая
и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
|
 
Краткая запись  
Свойство, выраженное в аксиоме А2,
используется для проверки "ровности" чертежной линейки.
|
|
А3: Если две различные плоскости имеют
общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих
плоскостей.
В
таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.
|
 
Пример: пересечение двух смежных стен,
стены и потолка комнаты.
|
|
Некоторые
следствия из аксиом
|
|
Теорема 1. Через
прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
|
Доказательство:
1)
Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М.
2)
На прямой а выберем точки В и С.
3) Так как все 3 точки М, В и С не
находятся на одной прямой, из А1 следует,
что через эти точки проходит некоторая плоскость α.
4) Точки прямой а, В и С, лежат на
плоскости α, поэтому из аксиомы А2
следует, что плоскость проходит через прямую а.
|
|
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые
можно провести плоскость, и притом только одну.
|
Доказательство:
1)
Рассмотрим прямые а и b, пересекающиеся в точке М.
2)
Выберем на прямой b какую-нибудь точку L, отличную
от точки М и рассмотрим плоскость α,проходящую
через точку L и прямую а
3) Так как две точки прямой b лежат в плоскости α,
то по аксиоме А2 плоскость α
проходит через прямую b.
Итак,
плоскость α проходит через прямые а и b.
|
|
Вопросы
и задачи по теме «Аксиомы стереометрии
следствия из них»
|
|
Вспомните математическую символику из
курса планиметрии и подпишите смысловое значение предложенных знаков:
║ -
параллельность; ⊥ - перпендикулярность,  - скрещивающиеся прямые;
∈ - принадлежит; ∉
- не
принадлежит; ⊂ - включает;
∋ - содержит; ∩
-
пересечение;
∪ - объединение ;
 - следование;  - равносильность;  -
подобно;
= -
равенство;  - приблизительно равно;  - неравенство;
∆
- треугольник; ∅ - пустое множество; ·
- точка
|
|
1.По рис.8
назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки
пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки,
лежащие в плоскостях ADB и DBC; г) прямые, по которым пересекаются плоскости
ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.
|
|
|
2. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие
в плоскостях DCC1 и
BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА1; в) точки пересечения
прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и ВР с плоскостью А1В1С1;
г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и ACD, РВ1С1 и АВС; д) точки пересечения прямых
МК и DC, В1С1 и
ВР, С1М и DC.
|
|
|
3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б)
любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в
одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
|
Подсказка:
б) например в) например
 
|
|
4. Точки А, В, С и
D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три из них лежать
на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ
обоснуйте.
|
Подсказка: Рассмотрите два случая
а)
 
|
|
5. Докажите, что
через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует
таких плоскостей?
|
Подсказка:
Выберем произвольно
 
|
|
6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все
отрезки лежат в одной плоскости.
|
Подсказка:
|
|
7. Две
прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через
точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в
одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
|
Подсказка: Рассмотрите
случаи
 
|
|
8.
Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и
вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в
плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
|
Подсказка: а)
|
|
9. Две смежные
вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α.
Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.
|
Подсказка: 
|
|
10.
Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а)
пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин
треугольника?
|
Подсказка:
|
|
11.
Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые,
проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной
плоскости.
|
Подсказка:
|
|
12. Точки А, В,
С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки
А, В, С и А, В, D?
|
Подсказка: 
|
|
13.
Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие
точки; в) только одну общую прямую?
|
Подсказка: см. аксиому А3
|
|
14.
Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена
плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
|
Подсказка: Рассмотрите
два случая:
|
|
15.
Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной
плоскости, либо имеют общую точку.
|
Подсказка: Рассмотрите
два случая:
 
|
|
|
|
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.