Конспект на тему "Системы счисления"

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Существуют системы позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

Пример непозиционной системы счисления - римская. В качестве цифр в римской системе используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется.
Пример:

CCXXXII=232
IX =9

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. 
Любая позиционная сиситема характеризуется своим основанием. 
Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. 
За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Примеры позиционной системы счисления - двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления и т. д.

Десятичная система счисления.

В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.

Пример:
33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Основание системы - число 2. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц.

Пример:
10112 = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=1110

Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Пример:

6118 =011 001 0012

1 110 011 1012=14358 (4 триады)

Шестнадцатиричная система счисления. 
Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F.Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогочно тому, как это делается для восьмеричной системы. 

Перевод целых чисел в другие системы счисления

Целое число с основанием 10 переводится в систему счисления с основанием 2 путем последовательного деления числа , на основание 2 до получения остатка. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном полученному при делении. Сформированное число и будет являться числом с основанием N2.

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Пример.

а) Перевести 10101101 с.с.

101011012 = 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0 = 173

б) Перевести 7038.

7038 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0= 451

в) Перевести B2E16.

B2E16 = 11*16^2+ 2*16^1+ 14*16^0= 2862