Конспект по математике " Теорема косинусов"

Название предмета: геометрия

Класс: 9

УМК: геометрия 7-9 классы, автор Атанасян Л. С., 2010 год.

Уровень обучения: базовый

Тема урока: Теорема косинусов

Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1 урок

Место урока в системе уроков по теме: 5-й урок

Цель урока: создание условий для осознанного и уверенного владения теоремой косинусов при решении задач.

Задачи урока:

Образовательные:

-Сформулировать, доказать теорему косинусов и показать ее применение при решении задач;

-Способствовать усвоению всеми учащимися стандартного минимума по теме;

-Формировать  и совершенствовать  надпредметные умения обобщать путем  сравнения,   постановки и решения проблем, оперированием  уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами, рассуждением  по аналогии.

Развивающие задачи урока:

-Развивать творческую сторону мыслительной деятельности учащихся,

-развивать умения обобщать, аргументировать, строить умозаключения, доказывать, делать выводы;

-развивать коммуникативную компетенцию учащихся;

-создать условия для проявления познавательной активности учащихся.

Воспитательные задачи урока:

-воспитывать культуру умственного труда,

-воспитывать культуру коллективной работы,

-воспитывать информационную культуру.

Планируемые результаты: усвоение всеми учащимися стандартного минимума по теме «Теорема косинусов»;

Техническое обеспечение урока: Мультимедиапроектор, компьютер, экран.

Методическое и дидактическое обеспечение урока: -

учебник «Геометрия 7-9 класс», автор Л.С. Атанасян,

-«Математика» под редакцией Ф.Ф. Лысенко (тренажер по новому плану экзамена);

-поурочные разработки по геометрии,автор Н. Ф. Гаврилов;

-ГИА 3000 задач под редакцией А. Л. Семенова.

Содержание урока:

Краткий план урока

1. Организационный момент.
2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.
3. Мотивация и целеполагание.
4. 4. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление образцов применения теоремы косинусов при решении задач.
5. Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).
6. 5. Первичное осмысление и применение изученного материала.
7. 6. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока

1этап: Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в лист контроля.

2 этап: Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

1.Предлагаю для начала устные упражнения на закрепление  формул  приведения, «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».(На экране появляются формулы, учащиеся по цепочке называют их концовку).

2.Устное решение задач по готовым чертежам.

3.Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

3этап: Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

 Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия. Ннеобходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

Работа в группе.

Решение задачи. Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС ▲ АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).

Вывод: дадим словесную формулировку полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

-Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos90^o=0. Иногда теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай, теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то соs А = соs 90° = 0 и по формуле получаем , то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4этап: Физминутка. (Гимнастика для глаз)

5 этап: Первичное осмысление и применение изученного материала.
Задачи по готовым чертежам. Чертежи проектируются при помощи компьютера. При решении задач учащиеся каждый раз проговаривают формулировку теоремы.

Задача 1



Ответ: .

Задача 2



Ответ: 4.

Задача 3



Ответ: 60°.

Ещё раз повторить, как звучит теорема косинусов.

6 этап: Тест.
I  вариант.

1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны треугольника равен …

а) сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними;

б) сумме квадратов двух других его сторон;

в) сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике KHT .

а) KH;

б) HT;

в) TK.

3. В треугольнике CDO известны стороны CD и CO. Величину, какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны DO?

а) C;

б) D;

в) O.

4. Дан треугольник DEF. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике CKE найдите сторону CE, если CK = 6, KE = 8, ? K = 60°.

а) 52;

б) 4;

в) .

II вариант.

1. Выберите верное утверждение.

а) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

в) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике ESR

.

а) SE;

б) SR;

в) ER.

3. В треугольнике АВС известны: длина стороны ВС и величина угла С. Чтобы вычислить сторону АВ, нужно знать:

а) АС;

б) В;
в) С.

4. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике KHN найдите сторону KN, если KH = , HN = 5, H = 45°.
а) 53;б) 13;в) .

Ответы:
I вариант: в, в, а, б, в.

• II вариант: б, б, а, б, в.

7 этап: Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника.

Вопрос для обсуждения. Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

• находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

Зная, что формула имеет вид a²=b²+c² - 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b²+c²=2bc×cosγ+a².
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b²+c^2- a² =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже:

cosγ=√b²+c²-a2/2bc.
Вопрос для обсуждения. Что можно находить по этой формуле?

Значение косинуса угла в треугольнике.

Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.

Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны:

Вариант №1  c = 6, b = 8, a = 9

Вариант №2  c = 6, b = 8, a = 10

Вариант №3  c = 6, b = 8, a = 11

Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

Для определения вида треугольника ( остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)

необходимо:

Вычислить косинус угла, лежащего против большей стороны;

Если cos  α >0 , треугольник остроугольный;

Если cos α =0 , треугольник прямоугольный;

Если cos α <0, треугольник тупоугольный.

Вопрос для обсуждения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

8 этап: Построение перспективного плана дальнейшей работы.

 Вопрос для обсуждения. Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?

ответы учеников:

-находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

-определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам

-определять вид треугольника по трем известным сторонам.

9 этап: Закрепление. Мини-тест

Мини-тест

1.Если косинус большего угла треугольника отрицателен, то этот треугольник:

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

2.Длины двух сторон треугольника равны 1 и 3, а угол между ними 60⁰. Тогда длина третьей стороны равна:

А) 2; Б) 3; В) √5; Г) 5

3.В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Проверка.        Варианты ответа

1В) тупоугольный.

2 В)7

3 В) тупоугольный.

10 этап: Домашнее задание. П.98, № 1025(б, д, ж).

               Рефлексия

Предлагаю выставить итоговую отметку в листах контроля и провести рефлексию по заполнению таблицы.

Обсуждение заполнения таблицы. Оценки.