Конспект урока а 10 профильном физико-математическом классе по теме :Теорема Менелая.теорема Чевы.

ГЕОМЕТРИЯ  10-Б класс профильный физико-математический класс

Тема урока: Теоремы МЕНЕЛАЯ И ЧЕВЫ

Урок № 8   Дата проведения урока______________________________________

Задачи:

Образовательная:  изучить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.

Развивающая:  учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.

Воспитательная:  повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Оборудование: персональный компьютер, проектор, учебник.

Цель деятельности учителя	Создать условие для формирования навыков представления изучения теорем Менелая и Чевы и  примении их при решении задач.
Термины и понятия	определение подобных треугольников; признаки подобия; свойства подобных треугольников и их площадей
Планируемые результаты
Предметные умения	Универсальные учебные действия
Владеют базовым понятийным аппаратом	Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы. Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге. Личностные: проявляют критичность мышления
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	•  Задания для самостоятельной работы
Мотивационно-целевой этап
Постановка темы, цели и задач урока (Ф)	Чева Джованни  (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году. Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном. Ребята, как вы считаете, для чего мы с вами познакомились с великими математиками? Как вы считаете какая тема сегодняшнего урока?Какую цель мы смогли бы с вами поставить? Какие задачи мы поставим на сегодняшний урок?
Актуализация знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Выявить уровень сформированности теоретических знаний	В курсе геометрии мы рассматривали важные свойства геометрических фигур на плоскости, в том числе треугольников. Но не все удивительные факты и соотношения вошли в основной курс. А они значительно облегчают решение многих задач. Сегодня мы рассмотрим две теоремы, связанные с отношениями отрезков в треугольнике, и их применение. Но для этого нам потребуются следующие знания: определение подобных треугольников; признаки подобия; свойства подобных треугольников и их площадей.
Изучение новой темы
Цель деятельности	Совместная деятельность
Учащиеся заранее получили задания; 1.      Доказательство теоремы Менелая 2.      Доказательство теоремы Чевы. 3.      Историческая справка: жизнь и творчество Менелая и Чевы Замечание. Записывая отношение отрезков, следует двигаться по контуру треугольника от вершины до точки пересечения с прямой и от точки пересечения до следующей вершины	При изучении теорем учащиеся записывают формулировки теорем, делают рисунки и пишут план доказательства. К уроку приготовлена презентация. которую используют учащиеся во время отчета творческой группы. Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон ,  и  треугольника  соответственно в точках  , , , то имеет место равенство Доказательство. Проведём . Рассмотрим треугольник  и треугольник . Угол   как вертикальные.  (накрест лежащие при и секущей  ) Следовательно, треугольник  подобен треугольнику . Стороны подобных треугольников пропорциональны Рассмотрим треугольник   и треугольник  (вертикальные)  (накрест лежащие при  и секущей ) Следовательно, треугольник  подобен треугольнику . Следовательно, . У нас получилось два равенства  и Перемножим почленно эти равенства:.    Получим  Воспользуемся свойством дробей:   (Например . Имеем  Теорема доказана  Доказательство остаётся в силе и в том случае, когда все три точки , ,  лежат на продолжениях сторон треугольника . Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть и  – ненулевые  коллинеарные векторы. Если , то будем писать: . Значит, число k равно отношению длин векторов и , взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:    Докажем обратную теорему.  Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник , даны точки , , . Если выполняется равенство, то эти точки лежат на одной прямой.  Допустим, что выполнено равенство , и пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2. Согласно прямой теореме,  Сравнивая это соотношение с данным, получим, что   . Прибавим к обеим частям равенства  единицу. , получим:  т.е. , откуда, т.е. ,  и  совпадут. Теорема Чевы Теорема. Пусть на сторонах ; ;  треугольника  или их продолжениях взяты соответственно точки ; ; . Прямые ; ;  пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда Доказательство. Пусть прямые ; ;  пересекаются в точке , лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне  (рисунок б). Применим теорему Менелая к  и секущей , получим: Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим: Перемножим почленно эти равенства:    .Что и требовалось доказать. Замечание. Если , ,  параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми. Для решения задач чаще применяется обратная теорема. Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах ; ;  треугольника  или их продолжениях взяты соответственно точки ; ; .  Если выполняются равенство , то прямые ; ;  пересекаются в одной точке или параллельны. Доказательство.   Пусть . Проведём прямую , По теореме Чевы . Учитывая условие имеем: , откуда  . Вычтем второе равенство из первого По свойству векторов получим   Т.к. k -1 (иначе бы , то, но точки  и  не совпадают), следовательно, , т.е. точки ,совпадают. Но это и означает, что прямые ; ;  пересекаются в одной точке.  Аналогично доказывается, что если , то и .
Решение задач. Применение теории на практике
Цель деятельности	Совместная деятельность
Совершенствовать навыки решения задач(Ф/И) Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.	Дано: ABC; Найти:   Задача №1 Решение: Рассмотрим  и секущую  (точки пересечения , , ). По теореме Менелая: . т.к. ,  , тогда , то , следовательно, . Ответ:   Рассмотрим задачи на применение теоремы Чевы. Задача №2 Дано: . Доказать:      Доказательство Пусть , ,  – медианы  . Проверим равенство:   ,       (верно). Утверждение доказано согласно теореме Чевы. Задача №3 Дано: Доказать:     Доказательство   Пусть  – биссектрисы ABC. Воспользуемся свойством: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Значит, . Найдём произведение  , по теореме Чевы прямые пересекаются в одной точке.
Самостоятельная работа
Цель деятельности	Задания для самостоятельной работы
Проверить уровень понимания изученной темы	1.      Повторение теорем с помощью учебника 2.      Индивидуальные задачи из сборника для подготовки к ЕГЭ.
Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя	Деятельность учащихся
(Ф/И) – Задайте три вопроса по данной теме.	1.                    2.Информация о домашнем задании: (Ф)Творческая 2.                     Выбрать задачи  в книгах Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2015 Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2016г. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2017г. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2018г.

Некоторые задачи из исследовательских работ

Доказательство: Пусть АА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы треугольника АВС, т.к. биссектриса угла треугольника делит  противолежащую сторону на отрезки, длины которых пропорциональны противолежащим сторонам, то Перемножив полученные равенства, получим: Т.о. по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке.

С

Задача:  Доказать, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

В1

А1

                                                            

Задача Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Так как точки А₁, С₁, В₁ лежат на сторонах треугольника, достаточно доказать, что выполняется равенство

 Так как ВВ_1, СС₁, АА₁ медианы имеем,  что

Тогда в силу теоремы Чевы прямые ВВ_1, СС₁, АА₁ пересекаются в одной точке. Ч.т.д.

Школьное доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения медиан АА₁ и ВВ₁.

Проведём среднюю линию А₁В₁ этого треугольника.

 Отрезок А1В1параллелен стороне АВ, поэтому

Следовательно, и значит их стороны пропорциональны:

АВ = 2 А₁В₁,  поэтому АО = 2А₁О и ВО = 2В₁О.

Таким образом, точка О пересечения медиан АА₁

и ВВ1делит каждую из них в отношении 2:1,

считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения

медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них

 в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая с вершины.

Задача Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. 

Пусть BN,AM,CK высоты треугольника АВС проведённые соответственно к сторонам АС,СВ ,АВ.

 Так как точки M,N,K лежат на сторонах треугольника АВС, то достаточно доказать, что

Тогда в силу теоремы Чевы прямые  BN, AM, CK пересекаются в одной точке.Ч.т.д.

Школьное доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем. Что прямые АА₁, ВВ₁,СС₁, содержащие его высоты пересекаются в одной точке.

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую ,параллельную каждой стороне. Получим треугольник А₂В₂С₂.

Точки А, В, С середины сторон треугольника АВС. АВ = А₂С,

АВ = СВ₂как противоположные стороны параллелограмма АВА₂С и АВСВ₂, поэтому А₂С  = СВ₂.

Аналогично С₂А = АВ₂, С₂В = ВА₂.

.

Таким образом прямые АА₁, ВВ₁,СС₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₂В₂С₂.Значит, они пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Задача Доказать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона.

 (французский математик Жозеф Диаз Жергон, 1776 – 1831 г.г)

	С		Доказательство: Пусть окружность касается сторон треугольника АВС в точках А1, В1, С1, т.к. длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, то  АВ1=АС1, ВС1=ВА1, СА1=СВ1. Тогда Следовательно, по теореме Чевы, данные прямые пересекаются в одной точке.

 

А1

В

А

                                                                          

Доказательство:

Тогда, из прямоугольных треугольников ОВС₁, ОАС₁ получим: ;

из прямоугольных треугольников О₂В₁С, О₂АВ₁  получим: ;

из прямоугольных треугольников О₁ВА₁, О₁А₁С  получим: ,  составим произведение соответствующих отрезков с использованием равенства из теоремы Чева:

 

Т.о. данные прямые пересекаются в одной точке.

Таким образом, мы добавили к замечательным точкам треугольника ещё две: точку Жергонна и точку Нагеля.