графика квадратичной функции
Цели: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и
перечислять ее свойства; выявить влияние коэффициентов а, b и
с на расположение графика квадратичной функции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, график какой функции изображен на рисунке:
|
у = х2 – 2х – 1;
у = –2х2 – 8х;
у = х2 – 4х – 1;
у = 2х2 + 8х + 7;
у = 2х2 – 1.
|
|
у = х2
– 2х;
у = –х2
+ 4х + 1;
у = –х2
– 4х + 1;
у = –х2
+ 4х – 1;
у = –х2
+ 2х – 1.
|
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 127 (а).
2. № 129.
Р е ш е н и е
Прямая у = 6х + b касается параболы у
= х2 + 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том
случае, когда уравнение 6х + b = х2 + 8 будет
иметь единственное решение.
Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:
х2 – 6х + 8 + b = 0;
D1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;
D1 = 0, если 1 + b = 0, то есть b = –1.
О т в е т: b = –1.
3. Выявить влияние коэффициентов а, b и с
на расположение графика функции у = ах2 + bх + с.
Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы
выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные
выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из
коэффициентов.
1) Коэффициент а влияет на направление ветвей
параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 –
вниз.
2) Коэффициент b влияет на расположение вершины
параболы. При b = 0 вершина лежит на оси оу.
3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы
с осью ОУ.
После этого можно привести пример, показывающий, что можно
сказать о коэффициентах а, b и с по графику функции.
|
Значение с можно назвать точно: поскольку график
пересекает ось ОУ в точке (0; 1), то с = 1.
Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви
параболы направлены вниз, то а < 0.
Знак коэффициента b можно узнать из формулы,
определяющей абсциссу вершины параболы: т = , так как а < 0 и т
= 1, то b> 0.
|
4. Определите, график какой функции изображен на рисунке,
опираясь на значение коэффициентов а, b и с.
а)
|
у =
–х2 + 2х;
у = х2
+ 2х + 2;
у =
2х2 – 3х – 2;
у = х2
– 2.
|
Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о
коэффициентах а, b и с:
а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = 2х2
– 3х – 2.
б)
|
у = х2
– 2х;
у =
–2х2 + х + 3;
у =
–3х2 – х – 1;
у =
–2,7х2 – 2х.
|
Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о
коэффициентах а, b и с:
а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у =
–2,7х2 – 2х.
5. По графику функции у = ах2 + bх
+ с определите знаки коэффициентов а, b и с:
а) б)
Р е ш е н и е
а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.
Парабола пересекает ось ординат в нижней
полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b
воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = . По графику
видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b >
0.
б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а, b
и с:
а < 0, с > 0, b < 0.
Сильным в учебе учащимся можно дать дополнительно выполнить №
247.
Р е ш е н и е
у = х2 + рх + q.
а) По теореме Виета, известно, что если х1
и х2 – корни уравнения х2 +
+ рх + q = 0 (то есть нули данной функции), то х1
· х2 = q и х1 + х2
= –р. Получаем, что q = 3 · 4 = 12 и р = –(3 + 4) = –7.
б) Точка пересечения параболы с осью ОУ даст значение
параметра q, то есть q = 6. Если график функции пересекает ось ОХ
в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х2 + рх
+ q = 0. Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р
= –5.
в) Своего наименьшего значения данная квадратичная
функция достигает в вершине параболы, поэтому , откуда р = –12. По
условию значение функции у = х2 – 12х + q
в точке x = 6 равно 24. Подставляя x = 6 и у = 24 в
данную функцию, находим, что q = 60.
Проверочная
работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции у
= 2х2 + 4х – 6 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у
> 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и
убывания функции;
г) наименьшее значение
функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у
= –х2 + 4х, найдите:
а) нули функции;
б) промежутки возрастания и
убывания функции;
в) область значения функции.
3.
По графику функции у = ах2 + bх + с
определите знаки коэффициентов а, b и с:
|
В а р и а н т 2
1.
Постройте график функции у = –х2 + 2х + 3 и
найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
г) наибольшее значение функции;
д) область значения функции.
2.
Не строя график функции у = 2х2 + 8х,
найдите:
а) нули функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3.
По графику функции у = ах2 + bх + с
определите знаки коэффициентов а, b и с:
|
Итоги урока.: – Опишите алгоритм построения квадратичной функции.
– Перечислите свойства функции у = ах2
+ bх + с при а > 0 и при а < 0.
– Как влияют коэффициенты а, b и с на
расположение графика квадратичной функции?
д/з : № 127 (б), № 128, № 248. № 130*
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.