Конспект урока по алгебре для 11 класса на теме «Применение производной к исследованию функции в рамках подготовки к ЕГЭ»

Конспект урока по теме «Применение производной к исследованию функции в рамках подготовки к ЕГЭ»

Учитель математики – Кушнерева Мария Петровна

Класс: 11 «А»

Продолжительность занятия – 2 часа.

Цель урока: а) образовательная - создание условий для систематизации и обобщения знаний учащихся по теме занятия, сформировать представление о многообразии заданий под №7(с 2022 года - №6)   в тестах ЕГЭ профильного уровня, провести их классификацию, научить выполнять;

б) развивающая – совершенствовать умение работать с графиками функции и производной, устанавливать соответствие между ними, развивать наблюдательность, навыки логического мышления, математически грамотную речь;  

 в) воспитательная – воспитывать трудолюбие, целеустремленность, умение работать в коллективе, слушать своих одноклассников, отстаивать свою точку зрения.

6.Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и умений

7. Формы обучения: фронтальная, индивидуальная, групповая, работа в паре, самостоятельная работа.

8.Методы: словесный, наглядный, проблемно – поисковый, репродуктивный.

9.Оборудование: компьютер, проектор, презентация, раздаточный материал.

Ход урока

1.Организационный этап

Учитель проверяет готовность класса к уроку и наличие раздаточного материала на партах.

2.Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся 

- Начинаем наше занятие со слов К.Д. Ушинского: «Мечтать – легко и приятно, но думать трудно. Умственный труд едва ли не самый тяжёлый труд для человека» (слайд 1) А еще, можно заметить, что мозг человека - самый ленивый орган. А скоро вам предстоит сдавать экзамены. Поэтому необходимо прикладывать усилия.

Накануне вы писали контрольный срез по теме «Применение производной к исследованию функции», который показал, что некоторые задания вызвали у вас затруднения. Это связано с тем, что на уроках вы рассматривали задачи, отличающиеся от тех, которые будут на ЕГЭ. К тому же надо добавить, что такие задачи очень разнообразны. Необходимо привести все знания и умения по данной теме в систему.

Тема нашего урока «Применение производной к исследованию функции в рамках подготовки к ЕГЭ» Задачи, которые будем сегодня решать, находятся в тестах ЕГЭ профильного уровня под №7 (с 2022 года - №6). 

3. Актуализация знаний и умений

1) – При выполнении заданий на применение производной к исследованию функции необходимо, в первую очередь, обращать внимание на то, какой график изображен на рисунке, функции, или ее производной. К тому же надо четко знать и представлять  на чертеже, как связана производная с поведением функции. Вспомните эту взаимосвязь и продолжите утверждение:

Если f '(x)>0, то функция… (возрастает).

Если f '(x)<0, то функция… (убывает).

- Заполните таблицу:

Таблица 1 – Взаимосвязь функции и ее производной.

у= f '(x)	+	0			+
у= f (x)			убывает	точка минимума

 2) Работа над ошибками контрольного среза.

- Рассмотрим задания из контрольного среза и допущенные вами ошибки.

4. Обобщение и систематизация знаний и умений

- Как вы думаете, что может помочь нам справиться с большим многообразием данных заданий? (Классификация и систематизация).

- Разобьём все задания на группы,  сопроводив каждую из них теоретическим материалом по теме «Производная».

Для наглядности вы будите заполнять следующую таблицу:

№ группы	Вид задач	Теория	Пример

Записи должны быть краткими. Можно в виде схемы и знаков.

1группа. 1. Нахождение промежутков, где производная функции положительна, или отрицательна по графику функции.

2.Нахождение промежутков возрастания и убывания функции по графику производной функции.

Теория. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b). Тогда, если производная функции больше нуля для всех x принадлежащих [a; b], то функция возрастает на [a; b], а если производная функции меньше нуля, то она убывает на этом отрезке.

Рисунок 1 – Задания 1 группы

2 группа. 1. Нахождение точек максимума и минимума функции по графику производной функции.

2. Нахождение наибольших и наименьших значений функции по графику производной функции.

Теория. Если в точке производная функции меняется знак с «-» на «+», то это точка минимума функции; если в точке производная функции меняется знак с «+» на «-», то это точка максимума функции. Наибольшее значение функция может иметь в точках максимума, а наименьшее в точках минимума.

Рисунок 2 – Задания 2 группы

3 группа: 1. Нахождение точек экстремума функции по графику производной функции.

Теория. Условие f '(x)=0 является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции f(x). Так как в точках пересечения графика производной функции с осью Ох производная функции равна нулю, то данные точки являются точками экстремума.

2. Определение точек, где производная равна нулю, по графику функции

Теория. Производная функции равна нулю в точках экстремума функции. В данной задаче это точки, где функция переходит с возрастания на убывание или наоборот.

Рисунок 3 – Задания 3 группы

4 группа:  Нахождение значения производной функции в точке по углу наклона касательной.

Найти значение производной функции в точке, это значит найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох или к прямой параллельной оси Ох. Если угол наклона касательной к оси Ох острый, то тангенс угла положительный, если угол наклона касательной к оси Ох тупой, то тангенс угла отрицательный.

Рисунок 4 – Задания 4 группы

5 группа Нахождение точек, в которых  касательная к графику функции параллельна некоторой прямой, по графику производной функции.

Теория. 1) Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

2) Значение производной функции  f '(x) в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y= f(x) в точке х₀

Рисунок 5 – Задания 5 группы

5. Применение знаний и умений в новой ситуации.

- На слайде изображен график производной функции у=f(x), заданной на промежутке (-8;8). Исследуя свойства графика производной, мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не предоставлено.

Рисунок 6 – Иллюстрации на слайде к уроку

а) Первоначальное изображение графика производной функции.

б) Работа  над графиком в процессе выполнения заданий.

Задания:

1) Найдите точки, в которых производная равна нулю.

2) Исследуйте функцию на экстремумы и укажите количество точек минимума.

3) Найдите точку экстремума функции у=f(x) на отрезке [-6;-1].

4) Найдите промежутки возрастания функции у=f(x). В ответ укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

5) Найдите промежутки убывания функции у=f(x). В ответ укажите длину наибольшего из них.

6) В какой точке отрезка [-4;-1] функция у=f(x) принимает наибольшее значение?

6.Контроль усвоения знаний и умений, обсуждение допущенных ошибок, коррекция. 

1) - У каждого на парте есть листы с заданиями (8 заданий) из типовых тестов для подготовки к  ЕГЭ. Каждое задание постарайтесь соотнести с группой задач, которые мы рассмотрели. Решите их самостоятельно, можно обсуждать решение в паре. Если будут затруднения, то обращайтесь ко мне. Сложные задания рассмотрим сообща.

2) – Проверьте свои ответы по таблице, если есть ошибки, то разберите их.

Самопроверка и взаимопроверка.

Таблица 2 – Ответы к заданиям на этапе контроля знаний по теме «График функции и ее производной»

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8
Ответ	14	44	-3	4	-0,25	5	1	4

7.Подведение итога урока. Рефлексия. 

- Какие вопросы мы рассмотрели сегодня?

- Принесло ли пользу вам это занятие?

- Как вы оцениваете свои знания по данной теме?

- Какие затруднения остались?

- С каким настроением вы подошли к концу занятия?