Конспект урока по алгебре ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Геометрическая вероятность

Цели: дать определение геометрической вероятности случайного события, познакомить с формулой геометрической вероятности; формировать навыки решения задач на нахождение геометрической вероятности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

Решение задач записывается на доске. В это время можно провести устный опрос.

– Что значит «стопроцентная и нулевая вероятности»?

– Дайте классическое определение вероятности. (Р(А) = .)

– Чему равна сумма вероятностей противоположных событий? (1.)

– В лотерее из 100 билетов 20 выигрышных. Событие А – вынули выигрышный билет. Назовите событие В – противоположное А.

– Вероятность события А равна , вероятность события В равна . Являются ли события А и В противоположными? (Да.)

– В классе 12 мальчиков и 13 девочек. Какова вероятность того, что случайным образом назначенный дежурный окажется мальчиком?
(Р(А) = .)

Разбираются задачи, записанные на доске.

III. Изучение нового материала.

1. Вводное слово учителя.

– Как оценивать вероятность того, что стрелок попадет в «десятку»?

– Как оценить, насколько вероятнее футболист попадет мячом в большие ворота, чем в маленькие, при тех же расстояниях и силе удара?

Существует целая серия задач, в которых можно подойти к определению вероятности из геометрических соображений.

2. Опыт 1. На доске карта мира, при наличии лучше использовать проектор.

– Выберем на карте мира случайным образом точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в России?

– Можем ли мы применить известную нам формулу вероятности?
(Нет.)

– По какой причине это невозможно? (1. Число исходов бесконечно.
2. Вероятность будет зависеть от размера карты.)

Для ответа на этот вопрос нужно знать, какую часть всей площади карты составляет площадь России.

3. Изображение на доске.

Общий случай: в некоторой ограниченной области Ω случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?

Р(А) =

S(L) = 0;   Р(L) =  = 0

4. Геометрическое определение вероятности.

Если предположить, что попадание в любую точку области Ω равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей Р(А) = .

Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.

Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой:

Р(А) = ;   Р(А) = .

5. Опыт 2. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на черном секторе?

Изображение на доске.

Для решения этой задачи можно вычислить площадь черных секторов и разделить ее на площадь всего круга:

S(А) = ;   S(Ω) = πR²;   Р(А) =  = 0,25.

6. Рассмотреть задачу 2, с. 130 учебника.

IV. Закрепление изученного материала.

№ 366 (разобрать решение на доске 1), 2), пункты 3), 4), 5) – самостоятельно, с последующей проверкой.

Решение:

1) А – точка Х попадает на отрезок АМ, АМ = 2 см, АВ = 12 см,

Р(А) =  = .

2) В – точка Х попадает на отрезок AN, AN = 2 см + 4 см = 6 см, АВ = 12 см, Р(В) = .

3) С – точка Х попадает на отрезок MN, MN = 4 см,

Р(С) = .

4) D – точка Х попадает на отрезок МВ, МВ = 12 см – 2 см = 10 см,

Р(D) = .

5) Е – точка Х попадает на отрезок АВ, Р(А) =  = 1.

Задача (разобрать на доске).

Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку, не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.

Решение:

Р(А) =

Р(А) =  =

 =          R² =

R =  ≈ 4,5 (см)

V. Итоги урока.

1. Что такое геометрическая вероятность? Каковы формулы геометрической вероятности (на плоскости, на прямой, в пространстве)? (Если предположить, что попадание в любую точку области Ω равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей Р(А) = . Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю. Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой: Р(А) = ;
Р(А) = .)

2. Можно ли вычислить геометрические вероятности для опыта, исходы которого не являются равновозможными? (Нет, только равновозможные исходы.)

Оценка работы учащихся.

Домашнее задание. § 25, №№ 365 (1, 3, 5), 367.

Дополнительная задача. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен 5 см.

Решение:

S_мяча = 5²π = 25π (см²)

S_кв = 400 (см²)

Р(А) =  ≈ 0,20

Решение № 365 (1, 3, 5):

Площадь решетки принимается за 1.

Тогда площадь сектора 1 равна , сектора 2 равна , секторов 3, 4 и 5 – .

Площадь поверхности, занятая секторами 1 и 5, – .

Площадь поверхности рулетки, занимаемая секторами 1 и 5,
– .

А – стрелка остановилась на секторе 1.

В – стрелка остановилась на секторе 1 или 2.

С – стрелка остановилась на части поверхности, занимаемой секторами 1 и 5.

Р(А) = ;   Р(В) = ;   Р(С) = .

№ 367.

S_кр = πR²;   S_кр = 4π (см²).

S_кв = а²;      S_кв = 14² = 196 (см²).

А – точка попадет в круг.

Р(А) = ;   Р(А) = .