Тема
урока:
Физический смысл производной в решении задач
Цель
урока:
Повторить
основные формулы и правила дифференцирования.
Рассмотреть
на примерах решения практических задач, как применяется производная в химии,
физике, биологии, экономике.
«Нет
ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая
когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».
Н.И.
Лобачевский
Прежде
чем вспомнит какую тему этого урока мы определили на предыдущем занятии, я
предлагаю вам выполнить тестовое задание. Вам необходимо в течении 3-х минут определить
ключевое слово сегодняшнего урока. Выполнив задание. запишите получившееся
слово в таблицу. Желаю вам успеха. (ученики работают над расшифровкой слова)
Тест
|
Найдите
производную функции:
|
Ответы:
|
|
1. 
2. 
3. 
4. 
5. у = х - 4
6. у = х - 
7. у = х5
+ 3х4 -2х – 5
|
И 1 + 
Р 3x
3 2x2
Ф 12x2
Ю 
С 1 - 
Я
5х4 +12х3 – 2
К -
Н 
Л x3
М 4x3
|
(Тест.
Проверка)
|
Номер задания
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
Ответ (буква)
|
Ф
|
Л
|
Ю
|
К
|
С
|
И
|
Я
|
-Какое слово у вас получилось?
(флюксия) В течении урока вы работаете с листом самооценивания, не забывая
оценивать себя после каждого этапа урока.
-
Что это означает?
Историческая
справка
Исаак
Ньютон (1642-1727) один из создателей дифференциального исчисления.
Главный его труд- «Математические начала натуральной философии».-оказал
колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в
истории естествознания.
Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её
физический и механический смысл.
Интересно: Исаак Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию - флюентой.
Итак, сегодня на уроке мы
будем говорить о производной, и не только.
Предлагаю вам решить задачу:
Мама
с своей дочкой гуляла в парке. Девочка захотела покататься на каруселях, а
мама решила сфотографировать дочку. Вращение карусели совершается по закону φ(t)=1/9t³-2/5t².
Фотография может быть хорошего качества только при ускорении равном 3 м/с². В
какой момент времени необходимо сделать снимок?
Проанализируем
условие задачи и вопрос .(известен закон движения
карусели и задано ускорение)
Какие
величины характеризуют условие задачи?
(физические величины: скорость, время, ускорение)
Какое
свойство производной функции может нам помочь выявить закономерности между
этими величинами и поможет решить задачу?
(Физический смысл производной).
Запишем тему урока в тетради " Физический смысл
производной в решении задач".
Вспомним
физический смысл производной.
Если известен
закон движения
материальной точки
(тела)
x(t),
s(t)
или φ(t),
то мгновенная
скорость в момент
времени t
вычисляется по
формуле
v(t)
= x׳(t) = s׳(t) = φ׳(t),
а
ускорение
a(t) = v׳(t)= x׳׳(t).
Прежде чем мы
продолжим решение предложенной вам задачи, обратимся к таблице №1 в которой
представлены задачи из открытого банка ЕГЭ, в решении которых используется
физический смысл производной. Вспомним этапы решения этих задач проговаривая и
фиксируя в правом столбце таблицы пошаговый алгоритм решения каждой задачи.
Попробуем
составить таблицу-алгоритм решения вместе (проговариваем вместе, решение задачи
на доске сравниваем с эталоном на экране, исправляем неточности и ошибки).
№1.
При движении тела по прямой расстояние S(км) от начальной точки меняется по закону S(t) = 8t +t³ . Найдите формулу для вычисления
скорости в любой момент времени и вычислите её при t= 2 с.
|
алгоритм
|
решение
|
|
Определим,
по какому закону изменяется скорость тела, применяя физический смысл
производной
|
v(t) = S ׳(t)
v(t)
= 8+3t²
|
|
По условию
задачи, время равно 2 секунды, Вычисляя значение полученного выражения при t= 2 с. отвечаем
на поставленный вопрос.
|
v(2)
= 8+3·2²
=
20
|
№2. Материальная точка движется
прямолинейно по закону x(t) = 1/6t² + 5t + 28 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t —
время в секундах, измеренное с начала движения).
В
какой момент времени её скорость будет равна 6 м/с?
|
алгоритм
|
решение
|
|
Определим,
по какому закону изменяется скорость тела, применяя физический смысл
производной
|
v(t)=x´(t)
v(t)
= 1/3t + 5
|
|
По
условию задачи, скорость равна 6 м/с. Тогда полученное выражение приравниваем
к 6, т.е. получаем уравнения, при решении которого отвечаем на поставленный
вопрос.
|
1/3t
+ 5= 6
t=3 с.
|
№3.
Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) = t³ -3/2t² + 2t - 1 (где S — расстояние от точки
отсчета в метрах, t — время в секундах, измеряемое с начала движения).
В какой момент времени её
ускорение будет равно 9 м/с²?
|
алгоритм
|
решение
|
|
Определим,
по какому закону изменяется скорость тела, применяя физический смысл
производной: 
|
v(t)
= S
׳(t)=3t²-3t
+2
|
|
Определим,
по какому закону изменяется ускорение данного тела, применяя механический
смысл производной: 
|
a(t)=v´(t)
= 6t -3
|
|
По
условию задачи, ускорение равно 9 м/с²
, тогда полученное выражение приравниваем к 9, т.е. получаем уравнения, при
решении которого отвечаем на поставленный вопрос.
|
6t
-3= 9
t=
2 с.
|
Проверим решение задач на слайде.
А
теперь вернёмся к предложенной ранее задаче и сравним её условие с условиями
уже решённых задач. По какому из алгоритмов можно решить эту задачу?
Решают
самостоятельно ( проверяем со слайда)
v(t)
= φ ׳(t)=1/3t²-5t
a(t)=v´(t) = 2/3t -5
2/3t
-5= 3
Ответ:
фотографировать девочку необходимо на 12 секунде.
Итак,
мы решили задачу связанную с реальной жизненной ситуацией.
Рассмотрим ещё несколько примеров
применения производной в процессах и явлениях реального мира.
|
ƒ(х)
|
Перемещение
S
(t)
|
Количество
электричества
q
(t)
|
Объём
продукции
V(t)
|
Количество
вещества
p(t)
|
Численность
популяции
Р(t)
|
|
ƒ'(х)
|
Скорость
v
(t)
|
Сила
тока
I
(t)
|
Производительность
П (t)
|
Скорость
химической
реакции
v (t)
|
Скорость
роста популяции
v (t)
|
На основании данных этой таблицы вам
предлагается самостоятельно решить задачи , представленные в таблице №2 с
предложенными указаниями.
Решение
различных практических
задач физики, химии, биологии, экономики.
Самостоятельная
работа. Учащиеся самостоятельно решают задание на карточке.
Таблица 2.
|
Применение
производной в различных задачах
|
|
Задача 1. Объем
продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону
Вычислите производительность труда П(t) в момент времени t = 2.
|
Указание:
П(t)= V'(t),
П(2)-?
|
|
Задача
2. Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию
задается зависимостью:
 (моль)
Найти
скорость химической реакции через 3 секунды.
|
Указание:
 =?
|
|
 Задача
3.Пусть популяция бактерий в момент t
(с) насчитывает x(t)
особей.
Найти скорость
роста популяции в произвольный момент t и при t = 1 c.
|
Указание:
v(t)=x´(t)
v(1)=?
|
Проверим решение этих задач на доске.
Оцените выполненную свою работу на уроке в листе самооценки.
Подведение
итогов урока.
Сегодня на уроке
мы использовали физический материал; применяли математический аппарат
для решения прикладных задач; расширили представление о роли математики в
изучении окружающегося мира; увидели разницу между физическим явлением и его
математической моделью
Выставление
оценок: учащиеся самостоятельно подсчитывают средний бал согласно оценочному
листу.
Лист самооценки
Класс:
-----------------------
Фамилия имя
учащегося: ----------------------------- -----------------------
|
Тест
Полностью-2б
Частично-1б
|
Задачи
(решение каждой задачи -1 балл)
|
|
№1
|
№2
|
№3
|
№4
|
№5
|
№6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого:___________Баллов
Критерии оценивания: 8-7 баллов-«5»; 6-5 баллов-«4»; менее 5
баллов-«3»
Домашнее
задание.( на карточках)
Подведение итога
занятия. Рефлексия.
Продолжите фразу:
1)На
уроке я работал активно/пассивно
2) своей работой на уроке я (доволен/
не доволен)
3)материал урока мне был (
понятен/ не понятен, интересен/ скучен)
4) моё настроение (стало
лучше/стало хуже)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.