Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №11»
Методы решения тригонометрических уравнений
(10 класс)
Никулина Ольга Александровна,
учитель математики
Губкин
2017
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
Лейбниц.
Цели: 1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.
2. Содействовать развитию математического мышления учащихся.
3. Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, набор карточек для сбора на магнитной доске, схемы, фиксирующей связи между решениями и условиями, наложенными на коэффициенты уравнения α* + b*=1.
На партах учащихся: таблица со списком уравнений, карточки с заданием теста, копировальная бумага.
Для самоанализа своей деятельности на уроке ученики строят график. На вертикальной оси отмечают этапы урока.
Примеры графиков.
Выполнил: Иванов Вариант I: Петров
Ход урока:
Вводная беседа.
- Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.
Этап I (5 мин). Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решений (см. табл. – Этап 1).
Задание. Рядом с каждым уравнением 1-12 указать номер метода, которым можно решить данное уравнение наиболее рационально.
Обсуждение проводится в быстром темпе и выясняется, что наибольшее количество методов можно применить при решении последнего уравнения. Отмечается, что первые три из указанных методов являются традиционными для решения тригонометрических уравнений. Что касается последнего метода, то он рассматривается достаточно редко. Поэтому предлагается остановиться на этом методе особо.
Этап II(10 мин). Метод использования свойства ограниченности функции.
!
Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(x) и g(x) таковы, что для всех xвыполняются неравенства f(x) ≤ a и g(x) ≤ b, и дано уравнение f(x) + g(x) = a+b, то оно равносильно системе
Этап I. Классификация тригонометрических уравнений по методам решения.
п/п
Уравнения
№
метода
Методы
1
2
3
4
1
sin - cos 6x = 2
4(б)
1. Разложение на множители.
2. Введение новой переменной:
а) сведение к квадратному;
б) универсальная подстановка;
в) введение вспомогательного аргумента.
3. Сведение к однородному уравнению.
4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;
б) использование свойства ограниченности функции
2
*sin x= 4sin2x*cosx
1
3
sin x - *sin2x= sin2x
1
4
5 sinx – 2 cosx = 1
3,2
(б, в)
5
sin 3x*cos 2x =1
4(б)
6
cos 2x = (cos x- sin x)
1,2
(б, в), 3
7
1- sin 2x = cosx- sin x
1,2
(б, в), 3
8
cos 3x= sin x
4(а)
9
4- cos2x=4 sin x
2(а)
10
sin 3x - sin 5x=0
4(б)
11
tg 3x* tg(5x+) =1
4(а)
12
2 tg - cos x =2
1,2
(а, б, в),
3,4(а)
Решение уравнения №1 из таблицы.
Уравнение №1. sin - cos 6x = 2.
Решение. Поскольку │sin │≤ 1 и │ cos 6x │≤ 1, имеем систему:
Покажем общее решение на тригонометрической окружности. Решение первого уравнения системы обозначим □, а второго – точкой и найдём их общее решение.
Ответ: + 6
- Вспоминаем суть метода использования условия равенства одноимённых тригонометрических функций.
sin f(x)=sin (x)
cosf(x)=cos(x)
tgf(x)=tg(x)
Трое учеников решают уравнения № 10, 8 11 на доске, остальные учащиеся решают любой из этих номеров.
Уравнение №10. sin 3x-sin5x=0.
Решение. На основании условий равенства двух синусов имеем:
5x=3x+2, k 2x=2πk, k x=πk, k
5x=-3ч+, 8x=(2n + 1)π, n Z x=(2n + 1) , n Z
Ответ: x=πk, k , x=(2n + 1) , n Z.
Уравнение №8. cos 3x = sinx.
Решение. cos 3x = cos(- x). Воспользуемся равенством косинусов двух углов, имеем:
3x – ( - x )=, n4x=(4n + 1), n Z x=(4n + 1), n Z
3x+(– x )=, 2x=(4k + 1), k Zx=(4k - 1), k Z
Ответ: x=(4n + 1), n Z; x=(4k - 1), k Z
Уравнение №11. tg 3x*tg(5x + ) =1.
Решение. Делим обе части уравнения на tg 3x. Это допустимо, т. к. в данных условиях tg 3x не может равняться нулю:
tg(5x + ) =, tg(5x + ) = ctg 3x, tg(5x + ) = tg( - 3x ).
На основании условия равенства тангенсов двух углов имеем:
5x + - + 3x=
8x = + ; x = (6n+1), nZ.
При каждом значении x из этой совокупности каждая из частей уравнения tg(5x+ )=tg( - 3x ) существует.
Ответ: (6n+1), nZ.
Этап III (5мин). Систематизируем решения уравнения вида asinx + bcosx = с (abc 0) методом сведения данного уравнения к однородному уравнению. Выясняем преимущества данного метода над основными способами решения этого уравнения (введение вспомогательного угла, применение формул универсальной подстановки). Отмечаем, что он, так же как и метод рационализации, применяется в физике при сложении гармонических колебаний.
Знания учащихся проверяются тестом с последующим взаимоконтролем.
На доске ученик составляет системно-обобщающую таблицу, раскрывающую идею решения уравнения вида asinx+ и cosx =с (abc 0), из заранее подготовленных карточек.
Тест
(с взаимоконтролем)
Вариант I
Раскройте идею решения уравнения вида asinx + bcosx = c (abc 0), показав стрелками зависимость решений от условий, наложенных на коэффициенты.
Выполнил:____________ Оценка:____________
Вариант II
Раскройте идею решения уравнения вида asinx + bcosx = c (abc 0), показав стрелками зависимость решений от условий, наложенных на коэффициенты.
Выполнил:____________ Оценка:____________
Этап IV (13мин). Отмечаем, что в уравнении asinx + и cosx = с; a, b и с – любые действительные числа.
Если a = b = 0, а c 0, то уравнение теряет смысл;
Если a = b = с = 0, то x – любое действительное число, т.е. уравнение обращается в тождество.
Уравнение sinx + cosx = 1 можно решать, по крайней мере, шестью способами.
На доске 5-6 учеников показывают различные способы решения этого уравнения. Проводим сравнительный анализ и комментарий решений.
Способ 1.
Сведение к однородному уравнению.
- Выразим sinx, cosx и 1 через функции половинного аргумента:
2sincos + cos2 - sin2 = sin2+ cos2 ,
2sin cos - 2 sin2 = 0 : 2 cos2 .
tg – tg2 = 0,
tg(1- tg ) = 0.
Еслиtg = 0, то = πn, n Z; x = 2πn, n Z.
Еслиtg = 1, то = + πk, k Z; x = + 2πk, k Z.
Ответ: x = 2πn, n Z, x = + 2πk, k Z.
Способ 2. Преобразование суммы в произведение.
- Выразим cosx через sin(). Получим sinx + sin() = 1,
2sin * cos = 1,2 sin * cos (x - ) = 1,
cos(x - ) = 1, cos(x - ) = , x - arccos + 2πn, n Z, x = + 2πn, n Z.
Ответ: x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.
Способ 3. Введение вспомогательного угла.
- Разделим обе части уравнения на :
sinx+cos x=1 : * sin x + cos x = ,
cos sin x + sin cos x = , sin (x + ) = ,
x + = (-1)narcsin + πn, n Z, x = - + (-1)n + πn, n Z.
Ответ: x = - + (-1)n + πn, n Z.
Способ 4. Введение выражений для sinα и cosα через tg по формулам sinα =, cosα =. (1)
Обращение к функции tg предполагает, чтоcos ≠ 0, т. е. x ≠ π+ 2πn, nZ.
!
Такой способ решения получил название – метод рационализации, т.к. вспомогательное неизвестное вводится так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно этого вспомогательного неизвестного.
Итак, по формулам (1) исходное уравнение примет вид:
+ . = 1, + 1 – tg2 = 1 + tg2 ,
- 2tg2 = 0 :2. (1 - )= 0,
или = 1.
Если = 0, то πn, nZ и тогда x = 2πn, nZ.
Если = 1, то + πk, kZ, или x = + 2πk, kZ.
Ответ: x = 2πn, nZ, x = + 2πk, kZ.
Способ 5. Замена cosx выражением :
sin = 1,
= 1- sin x,
= 2,
2 = 0,
( = 0,
2() sinx = 0,
sinx = 1 илиsinx = 0.
Если = 1, то + 2πn, nZ.
Если = 0, то πk, kZ.
Из серии x = πk решением является только x = 2πk.
Ответ: + 2πn, nZ, πk, kZ.
Способ 6. Применение формулы sinx + cosx = sin (x + )
Исходное уравнение примет вид:
sin (x + ) = 1 │:.
sin (x + ) = , x + = (-1)narcsin + πn, n Z.
Ответ: x = - + (-1)n + πn, n Z.
y
x
- Все решения показываемна тригонометрическом круге цветными точками, отмечаем их совпадение.
Затем решаем уравнение №12: 2 tg – cosx = 2.
Решение. Подставим в исходное уравнение вместо 2 tg, получим
– cos =2, ОДЗ: x(2n+1), nZ.
2 – 2(sin x + cos x) – sin x cos x = 0. (2)
Пусть sin x + cos x = y, тогдаимеем 1+2 cos x sin x = y2,
сosxsinx = .
Уравнение (2) примет вид
2 – 2y - = 0 y2 – 4y – 5 = 0 y = -5,
y=1.
- Вернёмся к исходным переменным:
1) sin x + cos x = -5 x .
2) sin x + cos x = 1, x =(-1)n + (4n - 1) , n Z.
Ответ: x =(-1)n + (4n - 1) , n Z.
Этап V (10 мин). Урок завершает самостоятельная работа (под копировальную бумагу).
Учащимся предлагается решить уравнение из таблицы.
Вариант I- №6; №2.
Вариант II - №7; №3.
Учитель собирает копии решений.
Учащиеся осуществляют самопроверку по готовым решениям на экране, получают разъяснение по возникающим при этом вопросам.
В дальнейшем учитель планирует индивидуальную работу с теми, кто допустил ошибки.
Решения
Вариант I
№6.
cos 2x = (cos x – sin x) cos2 x – sin2 x = (cos x – sin x) (cos x – sin x)(cos x + sin x - - )=0
tg x = 1 x = (4n + 1), n Z
cos(x - )=1x = (8k + 1), k Z
Ответ: x = (4n + 1), x = (8k + 1), k Z.
№2*. * sin x = 4sin2 x cos x.
Решение.cos x 1, sin x = 4 sin2 x cos x sin x(4sin x cos x - 1)=0, тогда
sin x = 0 x = (2m + 1), m Z
2sin 2x = 0 x =(-1)n + , n Z
Ответ: x = (2m + 1), m Z, x =(-1)n + , n Z.
y
x
Вариант II
№7.
1 – sin 2x = cos x – sin x sin2 x + cos2 x – 2sin x cos x = cos x – sin x (cos x – sin x)2 – (cos x -– sin x) = 0 (cos x – sin x) (cos x – sin x – 1) = 0
cos x – sin x = 0x = (4n + 1), n Z
cos x – sin x = 1x = + (8k - 1), k Z.
Ответ: x = (4n + 1), n Z, x = + (8k - 1), k Z.
№3*. * sin2 x = sin2 x.
Решение. cos x 1, - 2 sin2 x = 0, sin x( - 2 sin x)=0.
Полученное уравнение равносильно совокупности:
sinx = 0 x = 2, kZ
sin x = x =(-1)n +, n Z
Ответ: x = 2, k Z, x =(-1)n +, n Z.
y
x
Далее учитель подводит итоги урока; сообщает, даёт пояснения к домашнему заданию (2мин).
Домашнее задание: решить уравнения из таблицы: №4 (несколькими способами), №5, №9.
Дополнительно: решить уравнение cos2002 x + sin2003x = 1.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.