Конспект урока по теме «Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую».

Тема урока: «Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую».

Цель: показать,  как могут быть представлены числа в позиционных системах счисления, рассмотреть перевод целых и дробных чисел двоичной системы счисления в десятичную и обратно.

Задачи урока:

·         образовательные: практическое применение изученного материала, закрепление знаний о способах перевода чисел из одной системы счисления в другую.

·         развивающие: развитие навыков индивидуальной практической работы, умения применять знания для решения задач.

·         воспитательные:  достижение сознательного усвоения материала учащимися.

Тип урока: комбинированный урок

Форма проведения урока: индивидуальная, фронтальная.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

У доски ученик.

2.14.    Какие числа записаны римскими цифрами:

а) МСМХСIХ;   б) СМLХХХVШ;   в) МСХLVII?

Решение:

а) М(1000) СМ(1000-100) ХС(100-10) IХ(10-1)            1999;

б) 988;

в) 1147.

№ 2.35 (практикум, Угринович Н.Д., стр. 46)

У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

Ответ:     Может быть, если все данные приведены в двоичной системе счисления.

Предложить учащимся устно перевести эту задачу в 10-ю систему счисления.

У меня 4 брата. Младшему 8 лет, а старшему 15 лет. Старший учится в 9 классе. Может ли такое быть?

Вопросы отвечающим учащимся:

1. Как перевести в десятичную систему дробное число? Приведите пример.

( ответ: в развернутой форме будут присутствовать степени с отрицательными показателями, например, 10,1₂ =1∙2¹ +1∙2^-1 =2+0,5 =2,5 ₁₀

2. Перечислите достоинства и недостатки двоичной системы счисления.

Оценить учащихся.

2.      Новый материал.

1. Свернутая и развернутая запись числа.

Любое десятичное число записано в привычной для нас форме – свернутой. Например, 555. Мы уже настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме:

Поэтому справедливы равенства (подстрочные индексы применим для  указания, в какой системе счисления записано число): 555,5₁₀=5×10²+5×10¹+5×10⁰+5×10^-1;  11,01₂=1×2¹+1×2⁰+0×2^-1+1×2^-2. Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

В общем виде свернутая форма числа A₁₀, где n –количество целых разрядов, m-количество дробных разрядов:

А₁₀ =а _n-1 a _n-2…a₀, a _-1….a_{-m .}

Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

В общем виде развернутая форма числа:

А₁₀ =а _n-1 ·10 ^n-1+a _n-2 ·10 ^n-2… a₀ ·10 ⁰, a_-1 ·10 ^-1….a _–m·10 ^-m _.

Задание 1:

1. Свернутая запись двоичного числа А₂=101, 01₂ . Запишите число в развернутой форме. 

Ответ: 1)    А₂=1·2² +0·2¹ +1·2⁰ +0·2^-1 + 1·2^-2

            В системе счисления с основанием P  (P-ичная  система  счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа P,  иначе говоря, P единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего  разряда.

В системах счисления с основанием P  (P-ичная  система  счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания P с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, P-1.

            А_P =а _n-1 ·P^n-1+a _n-2 ·P^n-2… a₀ ·P ⁰, a _-1 ·P^-1….a _–m·P ^-m _.

Задание 2: запишите число А₈ — 673,2₈ , шестнадцатеричное число А₁₆ = 8А,F_1б в развернутой форме.

Решение: А₈ = 6·8² + 7·8¹ + 3·8⁰ + 2·8^-1.

                  А₁₆ = 8·16¹ + А·16⁰ + F·16^-1.

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их деся­тичные значения (А=10, F=15), то запись числа примет вид:

А₁₆ = 8·16¹ + 10·16⁰ + 15·16^-1.

Задание 3 (Угринович, стр. 92, № 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10):

№ 2.6.  Записать числа 19,99₁₀,10,10₂, 64,5₈, 39,F₁₆ в развернутой фор­ме.

2.9. Какое минимальное основание может иметь система счисле­ния, если в ней записаны числа 23 и 67?

Решаем самостоятельно, с последующей проверкой у доски.

2. Перевод чисел из Р-ичной системы счисления в десятичную.

В связи с использованием в компьютере 2, 8, 16, 10 систем счисления, большое значение имеет перевод чисел из системы в систему.

Для того, чтобы перевести число  из любой системы счисления в десятичную, необходимо: 1.      Над каждой цифрой числа поставить ее место (разряд) (с конца, начиная с нуля). 2.      Каждую цифру числа умножить на основание с.сч. в степени того места. На котором оно стоит.

Задание 4:

Сравнить числа 1101_2, 45_8, 2В₁₆ , 3A,4₁₆

Решение:

Перевести числа в десятичную систему счисления, а затем сравнить.

1. 1101₂ =1*2³ +1*2² + 0*2 + 1*2⁰ = 8+4+0+1=13 ₁₀

2. 45₈ = 4*8+5*8⁰ =32+5=37₁₀

3. 2B₁₆ = 2*16 + B*16⁰ = 32+ 11=43 ₁₀

4. 3A,4₁₆ =3*16+А*16⁰ +4*16^-1 = 48+10+ ¼ =58, 25₁₀

Сравним числа 13<37<43< 58,25, значит 1101₂ <  45₈ < 2В₁₆ <3A,4₁₆

Перевод  чисел из десятичной системы счисления в любую другую  осуществляется последовательным делением на основание системы счисления! Напомнить и привести пару примеров.

Пример 1. Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

двоичная                                         восьмеричная                         шестнадцатеричная

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂   =  113₈  =  4B₁₆.

Часть 2. Перевод чисел в системах счисления с основанием 2ⁿ.

Табличный метод перевода чисел из одной системы счисления в другую.

 Создана таблица чисел в одной системе счисления и их эквивалентов в других системах.

Двоичные триады	000	001	010	011	100	101	110	111
Восьмеричные числа	0	1	2	3	4	5	6	7

Двоичные тетрады	0000	0001	0010	0110	0100	0101	0110	0111
Шестнадцатеричные числа	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичные тетрады	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Шестнадцатеричные числа	8	9	A	B	C	D	E	F

Для перевода чисел в системах счисления с основанием 2ⁿ используют следующее правило:

Для целого числа:  число разбивают на триады или тетрады (с конца). Затем, находят соответствия в таблице для каждой группы чисел. В случае «нехватки» цифр до триады или тетрады, можно дополнить незначащими нулями впереди числа.

Для дробного числа: число разбивают на триады или тетрады (от запятой). Затем, находят соответствия в таблице для каждой группы чисел. В случае «нехватки» цифр до триад или тетрад, можно дополнить незначащими нулями в конце числа.

Например.

001|100|010|101|011₂=14253₈

3.      Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

Пример 2. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

двоичная                         восьмеричная                            шестнадцатеричная

Замечание: для перевода смешанных дробей: отдельно переводят целую часть, отдельно дробную и записывают общий ответ.

5. Самостоятельная работа на листочках (15 -20 минут).

Самостоятельная работа (средний уровень)

по теме «Системы счисления».

Вариант 1.

1.      Выпишите алфавит  5-ричной системы счисления.

2.      Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа:
10, 21, 201, 1201?

3.      Переведите:

a.       321₈®А₁₀

b.      101,11₂®А₁₀

c.       345₁₀®А₅

d.      98₁₀®А₂

4.      В какой системе счисления справедливо равенство: 2х2=10.

5.      Какое число предшествует числу 10₈ в 8-ричной системе счисления.

Вариант 2.

1. Выпишите алфавит  9-ричной системы счисления.
2. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа:
   403, 561, 666, 125?
3. Переведите:
1. 131₄®А₁₀
2. 125,34₆®А₁₀
3. 234₁₀®А₂
4. 142₁₀®А₄
4. В какой системе счисления справедливо равенство: 2х3=11.
5. Какое число предшествует числу 10₉ в 9-ричной системе счисления.

Самостоятельная работа (высокий уровень). Системы счисления: Перевод чисел.

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
101010
	127
		269
			9В

Дополнительное задание:

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
0,101
	0, 6
		0,125
			0,4

Дополнительно

Практическая часть.

Упражнения

1.Переведите числа из 2-ой с/с в 8-ую, 16-ую с/с

1) 100101110₂
2) 100000111₂
3) 111001011₂
4) 1000111011₂
5) 1011001011₂
6) 110011001011₂

2.Переведите числа из 10-ой с/с в 8-ую, 16-ую с/с

1) 69₁₀
2) 73₁₀
3) 113₁₀
4) 203₁₀
5) 351₁₀
6) 641₁₀

3.Переведите числа из 8-ой с/с в 10-ую с/с

1) 35₈
2) 65₈
3) 215₈
4) 327₈
5) 532₈
6) 751₈

4.Переведите числа из 16-ой с/с в 10-ую с/с

1) D8₁₆
2) 1AE₁₆
3) E57₁₆
4) 8E5₁₆
5) FAD₁₆
6) ADC₁₆

Подведение итогов. Выставление оценок наиболее активным учащимся.

Вопросы:

1. Почему человечество стремится использовать в быту, в технике позиционную систему счисления?
2. Как вы думаете, если бы у человека на руках было 4 пальца, в какой системе счисления мы бы считали?
3. Чем отличается свернутая запись числа от развернутой?
4. Что такое вес цифры в числе? Назовите вес цифры 1 в числах 1001₁₀ , 11₂ , 213₈

Домашнее задание: § 2.7.2,  №2.26, 2.35 (практикум Угринович).