Конспект урока "Решение квадратных неравенств" 8 класс

Решение квадратных неравенств

У р о к  1

Цели: повторить алгоритмы построения параболы, правила решения квадратных уравнений; объяснить правило решения квадратных неравенств; формировать умение решать различные неравенства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Если с самостоятельной работой не справилось большинство учащихся, то необходимо провести работу по решению линейных неравенств.

6x > 72; 3x < –12; –7x ≥ 49; –11x < –33;

4x – 6 > 6x + 14; 13 – 5x ≤ x – 5; 7x + 1 < 21 – 3x; 5 – 8x < 21 – 5x;

5 – 2x ≤ 1 – (x – 2); 3 – x ≤ 1 – 7(x + 1); 6 – 6(x – 3) ≥ 2(x + 1) – 10; x – 5(x – 4) > 6x + 20.

III. Актуализация знаний.

Учащиеся должны вспомнить правила построения параболы и правила решения квадратных уравнений. Для этого на доске разбирается построение графиков следующих функций:

а) y = x2 – 4x + 3;

б) y = –x2 + 2x + 3.

Находятся точки пересечения данных графиков с осью абсцисс.

IV. Объяснение нового материала.

Учитель выводит понятие квадратного неравенства, алгоритм решения квадратного неравенства.

Для лучшего закрепления материала можно приготовить плакат с алгоритмом решения квадратного неравенства.

Рассмотреть решение неравенства по данному алгоритму:

x2 + 6x – 16 > 0

1) Найдем дискриминант трехчлена

x2 + 6x – 16

D = b2 – 4ac,

D = 36 – 4 × (–16) = 100 > 0

Следовательно, имеется два действительных корня трехчлена.

2) Найдем корни этого трехчлена, решив уравнение.

x2 + 6x – 16 = 0

x1 = –8, x2 = 2.

3) Построим схематический график функции y = x2 + 6x + 16.

4) О т в е т: x (–∞; –8)(2; +∞).

V. Закрепление нового материала.

1) Рассмотреть решение неравенств № 34.1; 34.2; 34.3; 34.8.

2) Рассмотреть решения неравенств № 34.11; 34.12.

3) Сильным учащимся можно предложить задания типа:

Для каждого a решите неравенство:

а) (x – 3)2 < a;                 б) (3 – 4x)2 ≤ a – 1;        в) |x – a|(x – 3) < 0;

г) (x – a)2(x – 7) ≥ 0;       д) (x – a)|x – 5| ≤ 0.

Р е ш е н и е:

б) (3 – 4x)2 ≤ a – 1;

9 – 24x + 16x2 ≤ a – 1;

16x2 – 24x + 10 – a ≤ 0;

16x2 – 24x + 10 – a = 0;

a = 16,  b = –24,  c = 10 – a;

D = b2 – 4ac = 576 – 640 + 64a = 64(a – 1);

1. При a = 1 D = 0;

 – единственное решение при условии a = 1.

2. При a < 1 D < 0.

При заданном значении a < 1 неравенство не имеет решения.

3. При a > 1 D > 0;

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 34, выучить алгоритм решения квадратных неравенств. Решить задачи № 34.5; 34.6; 34.10.

У р о к  2

Цели: рассмотреть решение квадратных неравенств различного уровня сложности; развивать умение решать неравенства разными способами.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для самостоятельного решения неравенств с карточек:

Карточка 1 x2 – 2x – 35 > 0	Карточка 2 x2 – 5x + 9 < 0
Карточка 3 –x2 + 6x – 5 ≥ 0	Карточка 4 x2 – 10x + 25 ≤ 0

III. Актуализация знаний.

Во время индивидуальной работы остальные учащиеся класса самостоятельно выполняют № 34.9.

IV. Решение задач.

1) На конкретном примере учащимся предлагается еще один способ решения квадратных неравенств – метод интервалов:

–2x2 + 3x + 9 < 0

2x2 – 3x – 9 > 0

Разложим квадратный трехчлен 2x2 – 3x – 9 на множители. Корнями трехчлена являются числа x1 = –1,5; x2 = 3.

2x2 – 3x – 9 = 2(x + 1,5)(x – 3).

Отметим на числовой прямой корни трехчлена

Определим знаки произведения 2(x + 1,5)(x – 3) на каждом из этих промежутков.

при x < –1,5 x + 1,5< 0, x – 3 < 0, а (x + 1,5)(x – 3) > 0;

при –1,5 < x < 3 (x + 1,5)(x – 3) < 0;

при x > 3 (x + 1,5)(x – 3) > 0.

Квадратный  трехчлен принимает положительное значение для любого x (–∞; –1,5)(3, +∞).

2) Рассмотреть решение неполных квадратных неравенств № 34.16; 34.18.

3) Решить неравенства № 34.20; 34.21 (б); 34.22 (б); 34.31; 34.32.

V. Обучающая самостоятельная работа.

Вариант 1	Вариант 2
Решите неравенства:
а) 9x2 ≤ –25 – 30x; б) –x2 > 16; в) 3x2 – x < 0; г) –x2 – 4 ≤ 4x; д) x2 – 2x > –1; е) 6x2 ≥ 15 – x.	а) x2 ≥ –12x – 36; б) 7x2 + 12x < –5; в) 4x – x2 < 7; г) 6x2 – 4 ≥ 0; д) –10x2 > 17x; е) 9x2 – 24x ≤ –16.

Ответы данной самостоятельной работы проверяется на уроке. Неравенства, которые вызвали затруднения, разбираются на доске. Оценки выставляются выборочно.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 34.15; 34.19; 34.21(а); 34.30.

У р о к  3

Цели: закрепить умение решать квадратные неравенства; рассмотреть решение различных заданий, с использованием квадратных неравенств; проверить умение учеников решать неравенства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Вызывается четыре ученика для самостоятельного выполнения заданий с карточек.

Карточка 1 Решите неравенство: x2 – 100 ≤ 0	Карточка 2 Решите неравенство:
Карточка 3 Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства: –7x2 – 12x – 5 > 0	Карточка 4 Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства: x2 + 3x + 2 ≥ 0

III. Актуализация знаний.

В момент выполнения индивидуальной работы остальные ученики самостоятельно выполняют задания № 34.28.

IV. Решение задач.

1) Рассмотреть решение различных заданий, с использованием неравенств № 34.23; 34.24; 34.33; 34.34; 34.36; 34.39; 34.44.

Сильным ученикам предлагается решить задачу № 34.46.

2) При каком наименьшем целом значении k уравнение 4y2 – 3y + k = 0 не имеет действительных корней?

3) Найдите область определения функций:

а)      б)      в)

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1	Вариант 2
1) Решить неравенства:
а) 17x – 6x2 < 12; б) 0,5x2 – 12 ≤ 0; в) 4x2 + 1 ≤ –4x; г) 3x2 – 4x < 7.	а) 20 < –4x2; б) 20x – 25x2 < 4; в) x – 3x2 ≥ –24; г) –3x2 ≥ 4x.
2) При каких значениях параметра a квадратное уравнение x2 + ax + a – 1 = 0 имеет два различных корня?	2) При каких значениях параметра a квадратное уравнение x2 – ax – a – 1 = 0 не имеет корней?

О т в е т ы:

В а р и а н т  1

1 (а)	1 (б)	1 (в)	1 (г)
		–0,5
2) Чтобы уравнение x2 + ax + a – 1 = 0 имело два корня, необходимо условие

В а р и а н т  2

1 (а)	1 (б)	1 (в)	1 (г)
2) Не  существует  таких  значений  параметра a,  при которых уравнение x2 – ax – a – – 1 = 0 не имело бы корней.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 34.26; 34.37; 34.40; 34.45.