Контрольная работа Математические особенности детей

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ»

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ

ФАКУЛЬТЕТ ПЕДАГОГИКИ И ПСИХОЛОГИИ

КАФЕДРА ДОШКОЛЬНОГО И НАЧАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА 

ПО ПРЕДМЕТУ: «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ

ИССЛЕДОВАНИЙ»

ВАРИАНТ № 1

Выполнила: Чарикова Н.С.

Студентка  группы ZSДO52 заочной формы обучения

Направление подготовки 

44.03.01 Педагогическое образование

Направленность (профиль)  Дошкольное образование 09.10.2023 г.

                                                                    Проверил:

доктор педагогических наук, профессор 

Р.В. Канбекова

.

                                                                                                  2023                                        

Задание № 1.  В результате проведенного педагогического эксперимента были получены следующие данные в условных баллах  (см. таблицу 1).

Таблица1 

№	Результат	№	Результат	№	Результат	№	Результат	№	Результат
1.	63 + Х	2.	55 + Х	3.	45 + Х	4.	55 + Х	5.	62 + Х
6.	66 + Х	7.	45 + Х	8.	66 + Х	9.	80 + Х	10	70 + Х
11.	45 + Х	12.	44 + Х	13.	64 + Х	14.	45+ Х	15.	75 + Х
16.	64 + Х	17.	75 + Х	18.	45+ Х	19.	63 + Х	20.	70 + Х
21.	45 + Х	22.	50 + Х	23.	55 + Х	24.	45 + Х	25.	63 + Х
26.	44 + Х	27.	70 + Х	28.	63+ Х	29.	60 + Х	30.	50+ Х

Найти следующие числовые характеристики: моду, медиану, среднее арифметическое значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить столбиковую диаграмму и полигон частот распределения. 

Решение   

Перепишем данную таблицу с учётом своего номера варианта, х=1

Таблица 2

№	Результат	№	Результат	№	Результат	№	Результат	№	Результат
1.	64	2.	56	3.	46	4.	56	5.	63
6.	67	7.	46	8.	67	9.	81	10.	71
11.	46	12.	45	13.	65	14.	46	15.	76
16.	65	17.	76	18.	46	19.	64	20.	71
21.	46	22.	51	23.	56	24.	46	25.	64
26.	45	27.	71	28.	64	29.	61	30.	51

Запишем таблицу распределения выборки по частотам:

Таблица3

xi	64	56	46	63	67	81	71	45	65	76	51	61
ni	4	3	7	1	2	1	3	2	2	2	2	1

N = 4+3+7+1+2+1+3+2+2+2+2+1=30 – объём выборки.

Определим моду. Мода – это такое числовое значение, которое  встречается в выборке наиболее часто [3, С.43]. Значит,  M =  46.

Для определения медианы сначала упорядочим выборку по величинам входящих в неё значений.  Получим упорядоченный ряд:

45,45,46,46,46,46,46,46,46,51,51,56,56,56,61,63,64,64,64,64,65,65,67,67,71,71,

71,76,76,81

Поскольку здесь имеется чётное число элементов (30),то существует две «середины» 61 и 63. В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений:

Md  .

Для вычисления среднего арифметического воспользуемся формулой:

Х_{среднее}  

Дисперсия определяется по формуле: 

D    n_i

Выполним вычисления по приведённой формуле.

Сначала выполним подсчёт квадратов отклонений каждого элемента от средней величины в данном ряду (результаты записаны в первом  столбце таблицы 4), затем результаты умножим на соответствующие частоты (результаты записаны во втором  столбце таблицы 4). 

Таблица 4

(64-59)2=25	25∙4=100
(56-59)2= 9	9∙3=27
(46-59)2=169	169∙7=1183
(63-59)2= 16	16∙1=16
(67-59)2=64	64∙2=128
(81-59)2= 484	484∙1=484
(71-59)2=144	144∙3=432
(45-59)2=196	196∙2=392
(65-59)2= 36	36∙2=72
(76-59)2=289	289∙2=578
(51-59)2=64	64∙2=128
(61-59)2=4	4∙1=4
	сумма ∑(𝑥 − 𝑥ср)2 ∙ ni =3544

D . 

Cреднее квадратическое отклонение Ϭ .

Графической иллюстрацией  дискретной таблицы частот является столбиковая диаграмма. При построении столбиковой диаграммы по горизонтальной оси отмечают значения вариант в порядке возрастания, на вертикальной оси можно указывать значения либо относительных частот, либо частот. На рис. 1 приведена диаграмма.

 

Рис.1 Столбиковая диаграмма На рис.2 приведён полигон.

Рис. 2 Полигон

Задание №2. 

Педагог  проводит индивидуальные занятия по математике с группой второклассников, которые по разным причинам не усвоили новую тему. Его задача – выяснить будет ли эффективен выбранный конкретный вариант деятельности для повышения уровня математических знаний этой группы детей. Для решения этой задачи педагог с помощью контрольной работы дважды выявляет уровень математических знаний у 14 второклассников до и после проведения индивидуальных занятий по математике. Результаты измерения (в условных баллах) приведены в таблице 5 (номер задания в этой таблице определяется для студента номером варианта студента, определяемого  по списку группы). 

Оформление решения и расчет произвести с помощью непараметрического критерия G,  с использованием  приведенного в образце решения алгоритма.

Таблица5

№	испыт	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	До	30	39	35	34	40	35	40	22	22	32	30	16	34	33
	после	34	39	36	38	43	40	45	34	33	34	15	27	40	25
2	До	25	33	36	21	27	33	25	33	41	38	17	23	21	36
	после	35	41	44	27	36	33	32	43	48	20	33	33	21	20
3	До	25	36	31	24	28	32	34	25	34	26	34	36	25	17
	после	31	38	25	33	34	32	18	33	21	28	21	36	30	26
4	До	35	33	26	31	38	15	35	19	31	35	23	24	17	17
	после	36	35	14	23	31	36	35	19	33	21	42	41	40	36
5	До	14	23	19	16	23	42	40	40	14	27	29	27	27	30
	после	30	36	25	30	41	42	30	31	23	42	42	35	23	14
6	До	14	18	23	36	40	25	33	23	21	18	36	40	25	40
	после	40	21	42	43	16	33	34	36	21	40	34	42	26	21
7	До	31	26	29	17	24	36	31	26	26	29	19	22	33	19
	после	39	23	35	32	36	39	23	35	35	24	22	28	23	19
8	До	16	23	35	26	17	17	17	21	25	36	41	40	21	26
	после	26	24	38	26	26	24	16	18	20	36	30	32	33	30
9	До	30	40	42	41	30	23	33	40	42	16	17	21	26	13
	после	42	41	33	35	34	36	19	40	21	33	20	30	40	41
10	До	20	30	40	22	31	35	31	22	20	30	31	18	17	17
	после	28	39	41	34	32	25	18	19	34	35	31	40	42	40

Решение   

Перепишем данную таблицу 5 с учётом своего номера варианта.

Таблица 5.1

№	испыт	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	До	30	39	35	34	40	35	40	22	22	32	30	16	34	33
	после	34	39	36	38	43	40	45	34	33	34	15	27	40	25

Данные в условии задачи  результаты измерения  уровня математических знаний оформим в виде таблицы 6, включив в неё столбец, необходимый для расчёта по критерию знаков G.

Таблица 6

№ испытуемых п/п	Уровень математических знаний «до» проведения индивидуальных занятий	Уровень математических знаний «после» проведения индивидуальных занятий	Сдвиг
1	30	34	+4
2	39	39	0
3	35	36	+1
4	34	38	+4
5	40	43	+3
6	35	40	+5
7	40	45	+5
8	22	34	+12
9	22	33	+11
10	32	34	+2
11	30	15	-15
12	16	27	+11
13	34	40	+6
14	33	25	-8

В столбце, обозначенном словом «Сдвиг», для каждого испытуемого отдельно определим, на сколько баллов изменился уровень его математических знаний после проведения индивидуальных занятий. Сдвиг это разность между уровнями математических знаний одного и того же испытуемого «после» и «до» проведения индивидуальных занятий. Величины сдвигов приведены в соответствующем столбце таблицы с учетом знаков.

В критерии знаков G по результатам, полученным в столбце таблицы, обозначенном словом «Сдвиг», подсчитываются: количество нулевых, положительных и отрицательных сдвигов. При использовании критерия знаков G учитывается только количество положительных и отрицательных сдвигов, а количество  нулевых — не учитывается.

Проведем необходимый подсчет для решаемой нами задачи:

количество нулевых сдвигов = 1; количество положительных сдвигов = 11; количество отрицательных сдвигов = 2.

Таким образом, отбросив количество нулевых сдвигов, получаем 13 ненулевых сдвигов. При этом заметим, что сдвиги имели место и что большая часть из них положительна (11>2). Для  ответа на вопрос: можно ли утверждать, что после проведения индивидуальных занятий по математике наблюдается достоверный сдвиг в сторону увеличения уровня математических знаний у испытуемых, воспользуемся критерием знаков G.

Для решения этого вопроса обратимся к таблице «Критические значения критерия знаков G для уровней статистической значимости р≤0,05 и р≤0,01».

 При работе с таблицей вводятся два обозначения: типичный сдвиг: n  (у нас n = 11) и нетипичный сдвиг G_эмп   (у нас G_эмп = 2). 

Типичный сдвиг используется при работе с таблицей 1 Приложения (эта таблица есть в любом учебнике по математической статистике), в которой приводятся критические величины 5% и 1% уровней значимости данного критерия. Второе – количество сдвигов, получившееся наименьшей, носит название – нетипичного сдвига и обозначается как – G_эмп. Эта величина (G_эмп) располагается на «оси значимости». В нашем случае G_эмп = 2. В целом типичный и нетипичный сдвиги рассматриваются как дополнительные друг к другу («эмп» – это сокращение слова эмпирическое (опытное)).

Подчеркнем, что в том случае, когда величины типичного и нетипичного сдвигов оказываются равными, критерий знаков неприменим.

Оценка статистической достоверности различий по критерию знаков производится по таблице 1 Приложения. В ней в столбце, обозначенном буквой п приведены величины типичных сдвигов, а в столбцах, имеющих обозначение, соответствующее уровнями значимости Р= 0,05 и Р = 0,01, — так называемые критические величины. Условно их также можно считать нетипичными сдвигами. Они обозначаются как Gкр и с ними сравнивается полученное значение нетипичного сдвига Gэмп.

Итак, оцениваем уровень достоверности различий решаемой задачи. Для этого воспользуемся таблицей 1 Приложения. Поскольку в нашем примере п = 11, (это количество типичных сдвигов), поэтому нужный нам участок таблицы 1 Приложения выглядит так:

Таблица 7

n	Р
	0,05	0,01
11	2	1

Более компактно соответствующую строчку таблицы 1 Приложения принято записывать следующим образом:

 

Эта запись означает, что при уровне значимости в 5%, сумма нетипичных сдвигов не должна превышать 1, а при уровне значимости в 1% — 0. В нашем случае G_эмп = 2, что равно 2.

 Для большей наглядности можно построить так называемую «ось значимости», на которой располагаются как величины критических сдвигов, так и величина G_эмп, т.е. величина нетипичного сдвига.

«Ось значимости» имеет следующий вид:

Использование «оси значимости» наглядно подтверждает, что G_эмп попало в зону незначимости, т.е. полученный в эксперименте общий положительный сдвиг, который соответствует увеличению уровня математических знаний испытуемых после проведения индивидуальных занятий статистически недостоверен. Иначе говоря, проведение индивидуальных занятий не привело к существенным изменениям в уровне математических знаний испытуемых.

Полученный выше результат может быть переформулирован также в терминах нулевой и альтернативной гипотез: поскольку преобладание типичного положительного направления сдвига в данном конкретном эксперименте является случайным, то должна быть принята гипотеза Н0 об отсутствии различий, или о наличии сходства. Возвращаясь к исследовательской задаче, укажем, что, согласно критерию знаков, примененного исследователем, способ проведения индивидуальных занятий по математике неудовлетворителен, поскольку не дает статистически достоверных изменений в уровне  математических знаний второклассников.

Задание №3. 

На основании данных стартового результата (в условных баллах) некоторого эксперимента, проводимого с учениками  по математике, испытуемые были разбиты на 2 группы:  экспериментальную и контрольную. С этой целью сначала были выделены пары с близкими стартовыми  показателями (в условных баллах), а затем из каждой пары случайно был выбран  испытуемый для экспериментальной группы. Второй член пары был отнесен к контрольной группе.

После этого в течение месяца проводились  по специально составленному плану дополнительные занятия по повышению успеваемости по математике в экспериментальной группе.

В заключение была предложена аналогичная  контрольная работа обеим группам с учетом изученного за это время программного материала. Общие результаты эксперимента приведены в таблицах 1,2.

Таблица 1

Данные экспериментальной группы

№         по порядку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Среднее значение
старт	26	42	63	20	36	35	31	13	25	34
финал	51	53	54	57	60	61	62	65	70	72
прогресс

Таблица 2

Данные контрольной группы

№         по порядку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Среднее значение
старт	67	24	19	34	32	65	64	50	65	59
финал	52	52	54	55	60	62	63	66	69	74
прогресс

Вопросы: 1) Произошло ли повышение среднего значения успеваемости в экспериментальной группе по сравнению с контрольной группой?

2)Убедитесь, что повышение успеваемости произошло (или не произошло) благодаря проведенным дополнительным занятиям. 

Решение задачи выполните, применяя t-критерий (критерий Стьюдента), выбрав уровень допустимой ошибки =0,05. 

Решение

Заполним таблицы 1 и 2, выполнив требуемые вычисления.

Вычисления в таблице 1.

26 +42+63+20+36+35+31+13+25+34= 325; среднее значение  (старт) 325:10 =

32,5.

51+53+54+57+60+61+62+65+70+72 =605; среднее значение (финал) 605:10=

60,5.

Третья строка таблицы  (прогресс) – это разность чисел второй и первой строк: 51-26=25; 53-42=11 и т.д. Заполним её и вычислим среднее арифметическое значение чисел третьей строки таблицы, получим  280:10=28. Аналогично выполним вычисления и заполним  таблицу 2. 

Заполним таблицы 1 и 2, вставив в них требуемые результаты вычислений, получим  ниже следующие таблицы 1 и 2.

Таблица 1

Данные экспериментальной группы

№         по порядку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Среднее значение
старт	26	42	63	20	36	35	31	13	25	34	32,5
финал	51	53	54	57	60	61	62	65	70	72	60,5
прогресс	25	11	-9	37	24	26	31	52	45	38	28

Таблица 2

Данные контрольной группы

№         по порядку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Среднее значение
старт	67	24	19	34	32	65	64	50	65	59	47,9
финал	52	52	54	55	60	62	63	66	69	74	60,7
прогресс	-15	28	35	21	28	-3	-1	16	4	15	12,8

Сравнивая средние значения прогресса, замечаем, что произошло повышение среднего значения успеваемости по экспериментальной группе, успеваемость увеличилась  на 28 баллов, а в контрольной группе на 12,8 балла. Первый важный вопрос, достаточно  ли этого изменения, чтобы сказать, что успеваемость учеников  заметно повысилась? Не могло ли так случиться, что успеваемость учеников испытывала некоторые случайные колебания. Второй важный вопрос, чем можно удостоверить, что повышение  успеваемости произошло благодаря проведенным занятиям: а не благодаря какому-то другому обстоятельству?

Для ответа на поставленные вопросы, обратимся к методам математической статистики.

В статистике выбирается некоторый уровень допустимой ошибки отвергнуть  гипотезу о случайном происхождении полученного результата, когда он на самом деле случаен (такая ошибка называется ошибкой первого рода).

В условии задачи задан уровень допустимой ошибки 𝑝=0,05. Для педагогических и психологических результатов такой уровень значимости считается приемлемым. 

Итак, предположим, что в таблицах 1,2 были представлены результаты контрольной работы по математике двух групп учеников начальных классов. Испытуемые экспериментальной группы между двумя  контрольными работами занимались дополнительно по заранее составленному плану, направленному на снижение ошибок при выполнении математических заданий. Испытуемые  контрольной группы между контрольными работами занимались в традиционном режиме.

Для ответа на вопросы, поставленные в условии задачи, используем tкритерий (критерий Стьюдента), обозначаемый в статистике формулой для расчёта значения t  [4, С. 304]. Ниже приводится сама формула.

 выборочная дисперсия  вычисляется по формуле

.

Составим формулу

.

Далее решение задачи   выполнялось по следующему алгоритму: 1) Открыть таблицу «Распределение Стьюдента», в которой  приведены граничные значения t- распределения. (Таблицу можно найти в приложении к любому учебнику по математической статистике или по названию таблицы в интернете). По условию задачи имеется 10 наблюдений, значит, число степеней свободы К = (10-1); в строке, соответствующей К=9 степеням свободы находим в столбце «Уровень значимости одностороннего критерия 0,05 число 2, 26».[3,С.313]

2) Теперь вычислим t-статистику для данных решаемой задачи. Сначала для экспериментальной группы (данные берутся из таблицы 1). Для подсчёта t-статистики предварительно по формуле вычислим выборочную дисперсию

-

289 + 100) =304,6. Далее нужно извлечь корень из расчётного  значения выборочной дисперсии   ,     получим               =       17,4.

иещёвформулунужноподставить   √10 = 3,16.

Подставляя подготовленные числа в формулу искомой t-статистики, получим:  5,08. 

3)                Сравним граничное значение 2,26 (из таблицы, мы его нашли в пункте 1) с вычисленным (5,08) выборочным значением. Отвергнуть или принять гипотезу о равенстве нулю среднего значения в зависимости от того правее или левее граничного значения t 0,05  расположится полученное выборочное значение t. В нашем случае t = 5,08 расположено правее t _0,05 = 2,26. Это значит, что на уровне значимости 𝑝=0,05 мы отвергаем гипотезу об отсутствии изменения уровня успеваемости по математике испытуемых

экспериментальной группы. Уровень успеваемости повысился, поскольку  t _выб >  t_0,05  так как 5,08>  2,26.

4)                Те же расчёты проведем для данных контрольной группы. Проверим гипотезу о сходстве, то есть об отсутствии «изменений уровня успеваемости по математике испытуемых контрольной группы» для уровня значимости

𝑝=0,05.

Вычислим по формуле  t-статистику для контрольной группы. По формуле вычислим сначала выборочную дисперсию:

 

+4,84) = 258,62.        = 16,08.  Критерий  t  

Для контрольной группы гипотеза отвергается при 𝑝=0,05 (2.51> 2,26).

На уровне значимости 𝑝=0,05 обе группы испытуемых демонстрируют повышение уровня успеваемости по математике. 

 Однако можно заметить, что экспериментальная группа демонстрирует несколько большее повышение, в самом деле, поскольку нами получены следующие неравенства для сравнения: для экспериментальной группы 5,08>  2,26, для контрольной группы 2,51> 2,26 на уровне значимости 𝑝=0,05.